高三数学三角函数专题 方法14：已知三角函数值求函数值

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方法14 已知三角函数值求函数值
一、单选题
1．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据同角三角函数基本关系得出的值，再用两角差的余弦公式即可解题.
【解析】
因为，所以，
又，所以，
所以
.
故选：D
【小结】
该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下：
（1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得的值；
（2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.
2．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，若最长边为，则最短边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得角的正余弦，再利用三角形内角和为和诱导公式计算角的正余弦，判断c为最大边，为最短边，利用正弦定理求出即可.
【解析】
由知，利用同角三角函数基本关系可求得，，由知，得，，
∴，，
即为钝角，为最大角，故c为最大边，有，
由知，最短边为，
于是由正弦定理，即求得，
故选：A.
【小结】
本题解题关键在于通过计算内角的正余弦值判断c为最大边，为最短边，才能再利用已知条件和正弦定理计算突破答案.
3．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角的余弦公式，即可求出结果.
【解析】
因为，
所以.
故选：D.
4．若，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用，结合辅助角公式、基本不等式，得出，即可得出结果
【解析】
，，则，
，
，当且仅当时取等号，由，
，
，，，，
故选：D
【小结】
本题考查了三角函数值的计算，考查了辅助角公式、基本不等式，解题的关是得出，属于中档题.
5．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则（ ）


A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由弧田面积求出矢，设半径为，圆心到弧田弦的距离为，列出方程组求出，，从而得到，再由，能求出结果．
【解析】
如图，由题意可得：，
弧田面积（弦矢矢矢矢平方米．
解得矢，或矢（舍，
设半径为，圆心到弧田弦的距离为，
则，解得，，
，
，可得．
故选：D

【小结】
关键小结：解答本题的关键在于求出，其中涉及直角三角函数，这个问题解决了，后面的问题就迎刃而解了.
6．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先根据诱导公式化简，再根据同角三角函数关系得，最后结合诱导公式以及正弦倍角公式求得求即可.
【解析】
因为，，所以，
则，
故选：D.
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用，结合二倍角公式可求得结果.
【解析】
由得：.
故选：A.
8．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据角的终边经过点，利用三角函数的定义可求出的正弦和余弦，进而利用二倍角公式，两角和的余弦公式即可求解.
【解析】
解：角的终边经过点，
，
由三角函数的定义知：，，
，
，
.
故选：A.
9．已知是第二象限的角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题可得，再由二倍角的正切公式即可求出.
【解析】
因为是第二象限的角，，则，，
.
故选：B.
10．若，，则（ ）
A． B．0 C． D．或0
【答案】B
【分析】
根据题意，化简得到，所以，取得，再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式，即可求解.
【解析】
由，可得，
即，
因为，所以，所以，
解得，所以，所以，所以，
又，所以，
所以.
【小结】
三角函数的化简求值的规律总结：
1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；
2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；
3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意并结合诱导公式可得出，再由二倍角的余弦公式，即可得出求出结果.
【解析】
解：由题意可知，，
根据诱导公式可得：，
则．
故选：A.
12．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
化简，再利用二倍角公式化简求值.
【解析】

=.
故选：B
【小结】
三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.
13．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简已知得，再化简代入求值即得解.
【解析】
由题得，
.
故选：C

二、解答题
14．已知角的终边经过．
（1）求及m的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1），，；（2）.
【分析】
（1）根据任意角的正切函数的定义结合点的坐标求解出的值；再根据任意角的正弦函数、余弦函数的定义求解出的值；
（2）先根据诱导公式化简原式，再结合两角和的正弦、余弦、正切公式计算出原式的值.
【解析】
（1）因为，所以，所以
（2）原式，
因为，，所以，
所以原式的值为.
【小结】
解答本题的第二问的关键是熟悉诱导公式的运用，利用诱导公式对原式进行化简，同时对于两角和的正弦、余弦、正切公式要很熟练，方便对原式进行计算求值.
15．已知点是角的终边上一点．
（1）求；
（2）求的值．
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）先求出，由三角函数的定义可得答案.
（2）,将（1）中的结果代入可得答案.
【解析】
（1）点在角的终边上一点，则
由三角函数的定义可得：
（2）
16．已知．
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若，且，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）化简函数得，令可得增区间；
（Ⅱ）由，则，结合，可得，再由展开求解即可.
【解析】
（Ⅰ）

.
令，解得，
则的单调递增区间为
（Ⅱ）若，则，
，则，
因为，所以，
所以，
所以

.
【小结】
本题解题的关键点有两个，一是利用，结合，得，二是利用展开求值.
17．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据化简原式的分子分母，然后分式上下同除，将原式变形为的表示形式，由此计算出原式的值；
（2）先根据正切的二倍角公式计算出的值，然后根据角的关系：，结合两角和的正切公式求解出的值.
【解析】
（1）因为，所以且，
所以；
（2）因为，所以，
.
【小结】
解答本题的第二问的关键是找到与的之间的关系，从而借助正切的两角和公式、二倍角公式完成求解.
18．已知，且为第二象限角．
（I）求：的值；
（II）求：的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角公式即可求出结果；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果利用两角差余弦公式，即可求出结果.
【解析】
（Ⅰ），，
又为第二象限角，得，
；
（Ⅱ）

．
19．已知，．
（1）求证：．
（2）若为第一象限角，为第四象限角，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）分别将已知条件展开，两式相减、相加可得，的值，两式相除即可求证；
（2）利用同角三角函数的平方关系结合角所在的象限求出、的值，利用即可求解.
【解析】
（1）由题意可得：

得
得．
得：，即
（2）若为第一象限角，

因为为第四象限角，
，

.
【小结】
本题解题的关键是灵活运用同角三角函数基本关系，要证，化切为弦即证，所以想到将已知条件展开，给值求值型的关键是用已知角表示所要求的角，即.
20．已知．
（1）求值：；
（2）求值：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用诱导公式化简，再利用齐次式即可求解.
（2）利用诱导公式以及两角和的正切公式即可求解.
【解析】
（1），


，
原式=.
（2）


.
21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
（1）求角B的大小；
（2）若，求的值；
（3）若，，求边a的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由正弦定理的边角转化得，结合三角形内角性质即可求角B.
（2）由两角差、倍角公式展开，根据已知条件及（1）的结论即可求值.
（3）根据余弦定理列方程即可求a的值.
【解析】
（1）由正弦定理有：，而为的内角，
∴，即，由，可得，
（2），
∵，，可得，而，
∴，
（3）由余弦定理知：，又，，，
∴，可得.
22．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求与的值；
（2）若角满足，且角为第三象限角，求的值．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）利用三角函数的定义求出、的值，再利用诱导公式可求得与的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角和的余弦公式可求得的值．
【解析】
（1）由任意角的三角函数定义可得，.
由诱导公式可得，；
（2）由于角满足，且角为第三象限角，所以，，
因此，.
23．已知函数的最小正周期为.
（1）求与的单调递增区间；
（2）在中，若，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据函数的最小正周期为，可求，并写出函数式进而求的单调递增区间；
（2）由（1）结论，求角，根据三角形内角和的性质可知角B、C的关系，进而求B的范围，即可求的取值范围.
【解析】
（1）因为的最小正周期为，即
∴，令
解得
∴的单调递增区间是
（2）在中，若，
由（1）得，，所以
因为 所以，即

因为，所以；
所以
所以的取值范围
【小结】

（1）由最小正周期求参数，利用整体代入法求的单调递增区间；
（2）应用三角形内角和性质可得内角B、C的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.
24．已知函数，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）若，求．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用三角恒等变换公式化简函数得解析式，再代入即可求解；
（2）利用图像平移变换“左加右减”即可得到的解析式；
（3）由，可求出或，再分类讨论求出．
【解析】
（1）


（2）根据图像平移变换可知：
（3），，即，
解得：或
所以：或
当时，
当时，
综上可知，
【小结】
本题主要考查函数的图像变换规律，做题时要注意三点：
（1）弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由的图像得到的图像时，需平移的单位数应为，而不是．
25．已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由为锐角，可求出，利用同角之间的关系可求出.
（2）根据结合余弦的差角公式可得出答案.
【解析】
（1），，

（2）由为锐角，，
.
【小结】
本题考查同角三角函数的关系，余弦函数的差角公式以及角的变换关系，在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，，等等，属于一般题.
26．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据利用两角差的正切公式计算可得；
（2）利用弦化切代入计算可得；
【解析】
（1），
又，．
（2）
【小结】
三角函数化简求值，常用拼凑角：
（1）再利用诱导公式求值或化简时，巧用相关角的关系会简化解题过程，常见的互余关系有：与，与，与等；常见的互补关系有： 与，与等；
（2）在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，，等等.
27．设是钝角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据及题干条件，可求得的值，根据即可得答案；
（2）根据（1）可得的值，利用两角和的余弦公式，即可求得答案.
【解析】
（1）是钝角，，根据，
解得，所以.
（2），
.
28．已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）根据对称轴和周期可求和的值．
（2）由题设可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用诱导公式和两角和的正弦可求的值．
【解析】
（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为，
所以，故．
又图象关于直线，故，
所以，因为，故．
（2）由（1）得，
因为，故，
因为，故，故．
又
．
【小结】
三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
29．已知，为锐角，，.
（1）求的值.
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值；
（2）先求出，再利用即可求解.
【解析】
解：（1）由题意知：为锐角，且，
解得：，
；
（2）由（1）知，，
则，
，
，
故.
30．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由求出，利用两角和与差的正弦公式求解即可；
（2）利用二倍角公式和两角和与差公式计算出结果．
【解析】
（1），，
，


.
（2）由（1）可得：



，


.
31．如图，在中，于，且.

（1）若，求角的大小；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）设，则，从而可得，利用二倍角公式正切公式即可求解.
（2）根据题意可得，由同角三角函数的基本关系可得，即，再由，利用两角和的正切公式即可求解.
【解析】
（1）设，则，，
因为，，
又因为，所以，
即，所以，
因为，所以，所以.
（2）因为，，，
所以，
又因为，，
所以，
所以，，
又因为，
所以．
32．设函数．
（1）若，求．
（2）在锐角中，为锐角，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，．求b．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
利用二倍角公式及降幂公式进行化简，（1），求得与，再运用和差公式以及二倍角公式求值；（2）由，求得，再运用余弦定理求值.
【解析】
（1）,
由，得，，
故，，
；
（2）由（1）得，且，
得，，
又为锐角三角形，
，
在由余弦定理可知，
故.
【小结】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
33．已知 ，，，
求，，的值.
【答案】；；
【分析】
由已知条件，利用同角三角函数基本关系结合角所在的象限求出，，以及的值，再利用两角和的正弦公式，两角差的余弦公式，正切的二倍角公式即可求解.
【解析】
因为，，
所以，
因为，，
所以，
所以，

因为，所以，
综上所述：，，.
34．已知向量，，且函数的图象经过点.
（1）求的解析式及最小正周期；
（2）若，，求的值.
【答案】（1），最小正周期为；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及两角和的正弦公式化简可得，由结合的取值范围可求得的值，进而可得出函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；
（2）由已知条件得出，利用同角三角函数的平方关系可求得，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【解析】
（1），，
，
由已知可得，可得，
又，，则，该函数的最小正周期为；
（2），
，则，，
所以，
.
【小结】
给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
35．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意结合正弦定理可得的值
（2）利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【解析】
（1）
在中，由正弦定理得，
，即，.
（2）由（1）可得，
从而，，
故.
【小结】
在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

三、填空题
36．若，则____________
【答案】
【分析】
由题意结合诱导公式、二倍角余弦公式直接运算即可得解.
【解析】
若，则，
.
故答案为：.
37．已知，则______．
【答案】或
【分析】
利用两角和的正切公式，展开即可求解.
【解析】

即，解得或.
故答案为：或
38．若，是第三象限角，则___________.
【答案】
【分析】
先化简，再结合同角三角函数关系求解即可得答案.
【解析】
解：，
，
，
为第三象限角，
，
故答案为：
【小结】
本题解题的关键在于结合半角公式化简，考查运算求解能力，是基础题.
39．已知，则________.
【答案】
【分析】
将未知角化为已知角，结合三角恒等变换公式化简即可.
【解析】
解：因为，
所以.
故答案为：.
【小结】
三角公式求值中变角的解题思路
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

四、双空题
40．已知，且，则______，______.
【答案】
【分析】
①根据x的范围利用平方关系求出余弦，即可求得正切，
②利用二倍角公式化简，利用商数关系求解 .
【解析】
①由题：，且，所以，
所以
②


=
故答案为：；