初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形同步测试题

这是一份初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形同步测试题，共17页。试卷主要包含了观察图A和图B，请回答下列问题，已知等内容，欢迎下载使用。

（一）
1．已知，如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
2．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，DE，交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
3．观察图A和图B，请回答下列问题：
（1）请简述由图A变换为图B的形成过程：；
（2）若AD＝3，DB＝4，△ADE与△BDF面积的和 ．
4．已知：如图，△ABD≌△FEC，D与C的对应顶点．
（1）△FEC可以看作是由△ABD通过怎样的旋转变换得到的？
（2）BD与EC的位置关系是什么，为什么？
5．如图，等边△ABC以2m/s的速度沿直线l向菱形DCEF移动，直到AB与CD重合，其中∠DCE＝60°，设x s时，三角形与菱形重叠部分的面积为y m2．
（1）写出y与x的关系表达式．
（2）当x＝0.5，1时，y分别是多少．
（3）当重叠部分的面积是菱形面积一半时，三角形移动了多长时间？
6．（1）如图1，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，AG⊥EF于点G，若AG＝AB．求证：EF＝BE+DF．
（2）如图2，M是正方形PQRS的边QR上一点，仿第（1）题，在边SR上求作一点N，使MN＝QM+SN（不写作法，保留作图痕迹）．
7．如图，O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，M、N两点分别在BC与AB上，且OM⊥ON．
（1）试说明OM＝ON；
（2）试判断CN与DM的关系，并加以证明．
8．已知：正方形ABCD中，E，F分别是边CD，DA上的点，且CE＝DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）判断AE与BF的数量关系和位置关系（不必说明理由）．
9．如图，点O是正方形ABCD的中心，△ANB与△AMD都是等腰直角三角形，试说明下列旋转变换过程中，旋转中心、旋转方向与旋转角的大小：
（1）△DCO→△DAM；
（2）△AOB→△AMD；
（3）△COB→△ANB→△AOD．
10．如图所示，△ACD和△BCE都是等边三角形，△DCB经过旋转后得到△ACE．
（1）指出旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）图中还存在是旋转关系的三角形吗？
（二）
11．过平行四边形ABCD的对角线交点O任作直线l，总能将平行四边形分成面积相等的两部分，试说明理由．
（1）由此你能设计一个方案将封闭的中心对称图形面积平分吗？举例说明，这种方案对所有中心对称图形都适用吗？
（2）若四边形ABCD是菱形，l交AB、CD于点E、F，试探求梯形AEFD的三边AD，AE，DF之间的关系．
12．如图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，△ADE经过旋转后△ABF的位置．
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转角度是多少度？
（3）旋转后的线段与原图中的对应线段的位置有何关系？
（4）如果M是AE的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
（5）若正方形的边长3cm，直接写出四边形AECF的面积为 cm2．
13．如图，已知AD是△ABC的中线．
（1）画出以点D为对称中心与△ABD成中心对称的三角形．
（2）画出以点B为对称中心与（1）所作三角形成中心对称的三角形．
（3）问题（2）所作三角形可以看作由△ABD作怎样的变换得到的？
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°．将△ACB绕点A逆时针引旋转，使点A落在AB边上的点D，得到△DCE．
（1）点B的对应点是 ，AC对应线段是 ．
（2）判断△ACD的形状．
（3）求∠BCE的度数．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是斜边AB的中点．把三角尺的直角顶点与D重合，当三角尺转动时，两直角边与AC、BC交于F、E，四边形CEDF的面积会不会随三角尺的转动而发生变化？若不变，求出它的面积；若变化，请说明理由．
16．如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，∠BAC＝30°，若△EAC旋转后能与△BAD重合．问：
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转角为多少度？
（3）若BD＝5cm，求EC的长度．
17．如图，△ABC是等腰直角三角形，原点O是斜边BC的中点．点B的坐标为（﹣，0）．将△ABO绕点A经过旋转后到达△ACE的位置，恰与△AOC组成正方形AOCE．
（1）△ABO经过怎样的旋转到达△ACE？
（2）求点E的坐标．
18．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转能与△CBP′合，若此时BC平分∠PBP′，PP′交BC于点E，BE＝3，求PP′的长．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），BC＝6cm，点P从A点以1cm/s的速度向D点出发，同时点Q从C点以2cm/s的速度向B点出发（Q运动到B点，Q停止运动）．设运动时间为ts，问：t为何值时，四边形ABQP为平行四边形？
20．如图，已知点D，E，F分别是△ABC的三边的中点．
（1）若BC＝8cm，求EF的长；
（2）若DE＝3cm，求AC的长．
参考答案
1．证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，
∴∠EAM＝∠FCN，
又∵AD∥BC，
∴∠E＝∠F．
∵在△AEM与△CFN中，
，
∴△AEM≌△CFN（ASA）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD
又由（1）得AM＝CN，
∴BM＝DN，BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
2．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
3．解：（1）由图A变换为图B，则把△DA1F绕点D顺时针旋转90°得△DAE，DA1与DA重合，DF与DE重合；
（2）∵△DA1F绕点D顺时针旋转90°得△DAE，
∴DA1⊥AB，A1D＝AD＝3，△ADE与△BDF面积的和等于Rt△A1DB的面积，
∴Rt△A1DB的面积＝×3×4＝6，
∴△ADE与△BDF面积的和等于6．
故答案为：△DA1F绕点D顺时针旋转90°得△DAE；6．
4．解：（1）△FEC可以看作是由△ABD绕CD的中点旋转180°得到；
（2）BD∥EC．根据中心对称中，对应点的连线被对称中心平分，则对应线段一定平行或在一条直线上．
5．解：（1）由平移的性质知，三角形与菱形重叠部分为边长2x的等边三角形，它的高为，
所以y＝＝；
（2）当x＝0.5时，y＝×＝；当x＝1时，y＝×12＝；
（3）∵，令y＝25，得25＝，解得x＝5，
∴三角形移动了5S．
6．解：（1）连AE、AF，
∵正方形ABCD，AG⊥EF于G，
∴∠B＝∠AGE＝∠AGF＝∠D＝90°，
∵AG＝AB，AE＝AE，
∴△ABE≌△AGE，
∴BE＝EG，
同理可证△AGF≌△ADF，DF＝FG，
∴EF＝EG＝FG＝BE+DF
（2）连接PM，
作MP＝NP，
可得∠PMN＝∠PMS，
交SR于N；即为所求．
7．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∵OC＝OB，∠OCM＝∠OBN＝45°，BD⊥AC，
∵OM⊥ON，
∴∠MON＝∠COB＝90°，
∴∠MON﹣∠MOB＝∠COD﹣∠MOB，
∴∠COM＝∠BON，
∵在△ONB和△OMC中，
∴△ONB≌△OMC（ASA），
∴OM＝ON．
（2）CN＝DM，CN⊥DM，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，BD⊥AC，
∴∠DOC＝∠BOC＝90°，
∵∠COM＝∠BON，
∴∠DOC+∠COM＝∠BOC+∠BON，
即∠DOM＝∠CON，
∵在△DOM和△CON中
∴△DOM≌△CON（SAS），
∴CN＝DM，∠DMO＝∠CNO，
∵∠MON＝90°，
∴∠NEO+∠CNO＝90°，
∵∠MEC＝∠NEO，
∴∠DMO+∠MEC＝90°，
∴∠MFE＝180°﹣90°＝90°，
∴CN⊥DM．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，AD＝AB＝DC，
∵DF＝CE，
∴AF＝DE，
∵在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
（2）解：AE＝BF，AE⊥BF，
理由是：∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，∠AFB＝∠DEA，
∵∠D＝90°，
∴∠DEA+∠DAE＝90°，
∴∠AFB+∠DAE＝90°，
∴∠AMF＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF．
9．解：在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
（1）由△DCO绕点D按照顺时针方向旋转90°得到△DAM；
（2）由△AOB绕点A按照逆时针方向旋转90°得到△AMD；
（3）由△COB绕点B按照逆时针方向旋转90°得到△ANB，再由△ANB绕点A按照逆时针方向旋转90°得到△AOD．
10．解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴CD＝CA，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴△DCB绕点C逆时针旋转60°得到△ACE；
∴旋转中心为点C；
（2）旋转角为60°；
（3）△PCE绕点C顺时针旋转60°得到△QCB；△DCQ绕点C逆时针旋转60°得到△ACP．
11．解：（1）过中心对称点作一条直线即可；
举例：如图平行四边形ABCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，
则可得：△DF0≌△BEO，△ADO≌△CBO，△CF0≌△AEO，
∴直线l将四边形ABCD的面积平分．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠EB0＝∠FDO，
在△DF0和△BEO中，
∵，
∴△DF0≌△BEO（AAS），
∴DF＝BE，
∴AE+DF＝AE+BE＝AB＝AD．
即三边AD，AE，DF之间的关系为：AE+DF＝AD．
12．解：（1）如图，旋转中心是点A；
（2）如图，∠DAB是旋转角，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，即旋转角度是90度；
（3）由（2）知，旋转角的度数是90度，所以旋转后的线段与原图中的对应线段相垂直；
（4）如图，线段AE的对应线段是AF，所以经过旋转后，点M转到AF的中点处；
（5）根据旋转的性质知，△ADE≌△ABF，
则S△ADE≌S△ABF，
所以S四边形AECF＝S正方形ABCD＝3×3＝9（cm2）．
故答案为：9．
13．解：（1）如图所示，△ECD是所求的三角形：
（2）如图所示，△E'C'D'是所求的三角形：
（3）△E'C'D'是由△ABD沿DB方向平移得到的．
14．解：（1）点B的对应点是E，AC对应线段是DC．
（2）答：△ACD是等边三角形．
理由：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
又∵AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形；
（3）∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BCE＝∠DCE﹣∠BCD＝90°﹣30°＝60°．
故答案是：E、DC．
15．解：四边形CEDF的面积不会随三角尺的转动而发生变化，
理由如下：在Rt△ABC中，D是AB的中点，且AC＝BC，
∴CD＝AB＝BD，
∠DCA＝∠B＝45°，CD⊥AB，
∵∠BDE+∠CDE＝90°，∠FDC+∠CDE＝90°​，
∴∠BDE＝∠FDC．
在△BDE和△CDF中
∴△BDE≌△CDF（ASA）．
∴S四边形FDEC＝S△FDC+S△CDE＝S△BDE+S△CDE＝S△BCD＝S△ACB＝4
∴四边形CEDF的面积为4是一个定值．
16．解：（1）∵△EAC逆时针旋转后能与△BAD重合，
∴A点即为两三角形的公共顶点，故旋转中心是A点；
（2）∵△EAC逆时针旋转后能与△BAD，
∴AE与AB重合，
∵∠BAE＝90°，
∴旋转的度数为：90；
（3）由题意知EC和BD是对应线段，据旋转的性质可得BD＝EC＝5cm．
17．解：（1）∵△ABO绕点A旋转到△ACE的位置，恰好与△ACO组成正方形AOCE，
∴∠EAO＝90°，
∴△ABO按逆（顺）时针方向旋转了90°（270°）；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，原点O是斜边BC的中点，点B的坐标为（﹣，0），
∴AO＝BO＝CO＝，
∵△ABO按逆（顺）时针方向旋转了90°（270°）到△ACE的位置；
∴AE＝EC＝
∴点E的坐标为：（，）．
18．解：∵将△ABP绕点B按顺时针旋转90°到△CBP′，此时BC平分∠PBP′
∴P′B＝PB，∠PBP′＝90°，∠PBE＝∠EBP′，
∴PP′＝2BE＝6．
19．解：∵运动时间为t秒，
∴AP＝tm，QC＝2tcm，
∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴t＝6﹣2t，
∴t＝2，
∴t为2秒时，四边形ABQP为平行四边形．
20．解：（1）如图，∵E，F分别是AB、AC边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC．
又∵BC＝8cm，
∴EF＝4cm；
（2）如图，∵E，D分别是AB、BC边的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED＝AC．
又∵DE＝3cm，
∴AC＝2DE＝6cm．