初中苏科版第9章 中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形巩固练习

苏科版数学八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》

综合题练习

1．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F两点，垂足是点O．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）问：四边形AFCE是什么特殊的四边形？（直接写出结论，不需要证明）．

2．如图，在正方形ABC1D1中，AB＝1，连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2，连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3．

（1）求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长；

（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长．

3．如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF＝90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．

（1）求证：EG＝CF；

（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．

4．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．

（1）求证：AD＝CE；

（2）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．

5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在的直线翻转180°得到△ABF．且使C、B、F三点在一条直线上，连接AD．

（1）求证：四边形AFCD是菱形；

（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？

6．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．

（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；

（2）EF和BC满足什么关系时，平行四边形EGFH是正方形？

7．如图，菱形ABCD（图1）与菱形EFGH（图2）的形状、大小完全相同．且点A、C、E、G在同一直线上，点M是线段AG的中点．

那么菱形EFGH可由菱形ABCD经一次图形变换得到，这次图形变换可以是轴对称变换、平移变换和旋转变换．请你具体描述这三种变换．（轴对称变换已描述）

轴对称变换：菱形ABCD以线段AG的垂直平分线为对称轴作轴对称变换得到菱形EFGH．

平移变换：

旋转变换：

8．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．

（1）求证：△ABE≌△DFE；

（2）连接CE，当CE平分∠BCD时，求证：CE⊥BF．

9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

（1）求证：△BED≌△CFD；

（2）当∠A＝90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．

10．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD于点F，

（1）说明：；

（2）▱ABCD周长为12，AD：DE＝3：2，求DE+BF的值．

11．如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA＝∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE＝DF．

（1）求证：△ADF≌△ABE；

（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE＝AE．请你说明理由．

12．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G．

（1）求证：DE∥BF；

（2）问∠G为多少度时，四边形DEBF是菱形．并证明你的结论．

13．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．

（1）求证：△ABE≌△DFE；

（2）连接CE，当CE平分∠BCD时，求证：ED＝FD．

14．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点F是AD的中点，△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接BE，DE，AC．

（1）求证：△EAB≌△EFD；

（2）求的值．

15．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE＝PB．

（1）求证：PE＝PD；

（2）PE⊥PD．

参考答案

1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC（平行四边形的对边相互平行）．

∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO（两直线平行，内错角相等）；

∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC．

在△AOE和△COF中，

∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，OA＝OC．

∴△AOE≌△COF（AAS）；

（2）由（1）知，

△AOE≌△COF，则OE＝OF，

∴AC垂直平分EF，

又∵AC的垂直平分线是EF，

∴四边形AFCE是菱形．

2．解：（1）∵四边形ABC1D1是正方形，

∴∠B＝90°，BC1＝AB＝1，

∴AC1＝＝，

即第二个正方形AC1C2D2的边长为，

∵四边形AC1C2D2是正方形，

∴∠AC1C2＝90°，C1C2＝AC1＝，

∴AC2＝＝2，

即第三个正方形AC2C3D3的边长是2；

（2）由上述过程可得出，第n个正方形ACn﹣1∁nDn的边长为（）n﹣1，则第七个正方形的边长为8．

3．（1）证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，

∴AG＝EC，△BEG为等腰直角三角形，

∴∠AGE＝180°﹣45°＝135°，

又∵CF为正方形外角平分线，

∴∠ECF＝90°+45°＝135°，

∴∠AGE＝∠ECF，

∵∠AEF＝90°，

∴∠GAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，

∴△AGE≌△ECF，

∴EG＝CF；

（2）解：画图如图所示，

旋转后CF与EG平行．

4．（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，

∴OA＝OC，∠AOD＝∠EOC＝90°．

∵CE∥AB，

∴∠DAO＝∠ECO，

在△ADO与△CEO中，

，

∴△ADO≌△CEO（ASA），

∴AD＝CE；

（2）解：四边形ADCE是菱形．理由如下：

由（1）得OA＝OC，AD＝CE，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵AC⊥DE，

∴平行四边形ADCE是菱形．

5．（1）由旋转60°得到AC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝60°，△ACD是等边三角形

∴AD＝DC＝AC，

又∵Rt△ABC沿着AB所在的直线翻转180°，易证△AFC是等边三角形，

∴AD＝DC＝FC＝AF

∴四边形AFCD是菱形

（2）四边形ABCG是矩形

由（1）知△ACD是等边三角形，DE⊥AC于E

∴AE＝EC，易证△AEG≌△CEB

∴AG＝BC

∴四边形ABCG是平行四边形，且∠ABC＝90°

∴平行四边形ABCG是矩形．

6． 证明：（1）∵G、F分别是BE、BC的中点，

∴GF∥EC，

同理FH∥BE．

∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）EF和BC满足关系：且EF⊥BC时，平行四边形EGFH是正方形，

证明：连接EF，GH．

∵G、H分别是BE，CE的中点，

∴GH∥BC．

∵EF⊥BC，

∴EF⊥GH．

∵又∵四边形EGFH是平行四边形，

∴四边形EGFH是菱形，

∵EF＝BC，GH＝BC，

∴EF＝GH．

∴平行四边形EGFH是正方形．

7．解：平移变换：菱形ABCD沿AC方向（或从左往右）平移线段AE（或CG）的长得到菱形EFGH．

旋转变换：菱形ABCD以点M为旋转中心顺时针（或逆时针）旋转180°得到菱形EFGH．

8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∴∠BAD＝∠FDE．（1分）

又∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．

在△ABE与△DFE中，

∵∠BAD＝∠FDE，AE＝DE，∠BEA＝∠FED，

∴△ABE≌△DFE．（4分）

（2）证明：∵△ABE≌△DFE∴DF＝AB

又∵CD＝AB∴CF＝2CD（5分）

∵CE平分∠BCD∴∠BCE＝∠FCE．

又∵AD∥BC∴∠BCE＝∠DEC（6分）

∴∠FCE＝∠DEC∴DE＝CD（7分）

又∵AE＝DE∴BC＝2CD，

∴CF＝BC（8分）

又∵CE平分∠BCD，

∴CE⊥BF．（9分）

9．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED＝∠CFD＝90°（1分）

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD（2分）

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠EDB＝∠FDC，

∴△BED≌△CFD（3分）

（2）解：∵∠BED＝∠CFD＝∠A＝90°

∴四边形DFAE为矩形．（4分）

∵△BED≌△CFD，

∴DE＝DF，（5分）

∴四边形DFAE为正方形．（6分）

10．（1）证明：∵在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥AD，

∴S▱ABCD＝AB•DE＝AD•BF，

∴＝；

（2）∵＝，且＝，

∴＝＝，

又∵▱ABCD的周长为12，

∴AD+AB＝×12＝6，

∴＝，

∴DE+BF＝4．

11．证明：（1）∵四边形正ABCD是正方形，

∴AB＝AD，

∵在△ADF和△ABE中，

，

∴△ADF≌△ABE；

（2）理由如下：

由（1）有△ADF≌△ABE，

∴AF＝AE，∠3＝∠4，

在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠BAF+∠3＝90°，

∴∠BAF+∠4＝90°，

∴∠EAF＝90°，

∴△EAF是等腰直角三角形，

∴EF2＝AE2+AF2，

∴EF2＝2AE2，

∴EF＝AE，

即DE﹣DF＝AE，

∴DE﹣BE＝AE．

12．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE＝AB，DF＝CD．

∴BE＝DF，BE∥DF，

∴四边形DFBE是平行四边形，

∴DE∥BF；

（2）∵∠G＝90°．

理由：AG∥BD，AD∥BG，

∴四边形AGBD是矩形，

∴∠ADB＝90°，

在Rt△ADB中

∵E为AB的中点，

∴DE＝BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

∵四边形DFBE是平行四边形，

∴四边形DEBF是菱形．

13．（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAD＝∠FDE，

又∵点E是AD的中点，

∴AE＝DE．

在△ABE与△DFE中，

∵∠BAD＝∠FDE，AE＝DE，∠BEA＝∠FED，

∴△ABE≌△DFE．

（2）

证明：∵△ABE≌△DFE，

∴DF＝AB，

又∵CD＝AB，

∴CF＝2CD，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE＝∠FCE．

又∵AD∥BC，

∴∠BCE＝∠DEC，

∴∠FCE＝∠DEC，

∴DE＝CD，

∵CD＝DF，

∴DE＝DF．

14．（1）证明：∵△AEF是等腰直角三角形，

∴∠EAF＝∠EFA＝45°，EA＝EF，

又∵∠BAD＝90°，∠EFD+∠EFA＝180°，

∴∠EAB＝∠EFD＝135°，

又∵AD＝2AB，FD＝AD，

∴AB＝FD，

∴△EAB≌△EFD；

（2）解：如图，连接BD．

∵∠AEF＝90°，

∴△EFD可由△EAB绕点E逆时针旋转90°得到，

∴EB＝ED，且∠BED＝90°．

∴△BED也是等腰直角三角形．

∴BD＝，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD．

∴＝．

15．证明：（1）①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．

∵四边形ABCD是正方形，

∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．

∴GD＝FC＝FP，GP＝AG＝BF，∠PGD＝∠PFE＝90度．

又∵PB＝PE，

∴BF＝FE，

∴GP＝FE，

∴△EFP≌△PGD（SAS）．

∴PE＝PD；

（2）∵△EFP≌△PGD，

∴∠1＝∠2．

∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝90度．

∴∠DPE＝90度．

∴PE⊥PD．

证法二

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．

∵PC＝PC，

∴△PBC≌△PDC （SAS）．

∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC．

又∵PB＝PE，

∴PE＝PD；

（2）∵PB＝PE，

∴∠PBE＝∠PEB，

∴∠PEB＝∠PDC，

∴∠PEB+∠PEC＝∠PDC+∠PEC＝180°，

∴∠DPE＝360°﹣（∠BCD+∠PDC+∠PEC）＝90°，

∴PE⊥PD．