苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形习题

苏科版数学八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》

解答题培优练习

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，中线BD，CE交于点M，EG∥BD，DF∥CE，EG与DF交于点N，连结DE，MN．

（1）猜想线段MN与DE间的关系；

（2）试证明你的猜想．

2．如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．

（1）求证：△ADE≌△FCE；

（2）连接AC、DF，则四边形ACFD是下列选项中的（　　）

A、梯形；B、菱形；C、正方形；D、平行四边形．

3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，易证：DE＝AD+BE

（1）如果：当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，那么试问线段DE，AD，BE又分别具有怎样的数量关系？请写出你的猜想．　   　．

（2）如果：当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，那么试问线段DE，AD，BE又分别具有怎样的数量关系？请写出你的猜想．　   　．

（3）请你对上面（1）（2）中的一种情况给予证明．

4．已知：如图在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．

（1）观察图形并找出一对全等三角形：△　   　≌△　   　，请加以证明；

（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？

5．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．

（1）求证：BE＝DG；

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动．

（1）四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由；

（2）若BD＝12cm，AC＝16cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形？

7．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．

（1）求证：△BDE≌△CDF；

（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．

8．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD．

（1）求证：△ABC≌△ADE；

（2）如果∠AEC＝75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．

9．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．DF平分∠ADC交BC于F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．

10．已知：如图，平行四边形ABCD中，E，F点分别在BC、AD边上，BE＝DF．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若∠BCD＝2∠B，求∠B的度数；

（3）在（2）的条件下，过点A作AG⊥BC于点G，若AB＝2，AD＝5，求平行四边形ABCD的面积．

11．点O是三角形ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能构成四边形．

（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）当点O在△ABC外时，（1）的结论是否成立？（画出图形，指出结论，不需说明理由；）

（3）若四边形DEFG是菱形，则点O的位置应满足什么条件？试说明理由．

12．在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE．

（1）求∠BAD的度数；

（2）求∠B的度数；

（3）求线段DE的长．

13．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF、BE和CF．

（1）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；

（2）若AB＝6，BD＝2DC，求四边形ABEF的面积．

14．如图，正方形ABCD中，点F在边BC上，E在边BA的延长线上．

（1）若△DCF按顺时针方向旋转后恰好与△DAE重合．则旋转中心是点　   　；最少旋转了　   　度；

（2）在（1）的条件下，若AE＝3，BF＝2，求四边形BFDE的面积．

15．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE＝CF；

（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

参考答案

1．（1）解：MN与DE互相垂直平分；

（2）证明：∵EG∥BD，DF∥CE，

∴四边形MEND是平行四边形．

∵AB＝AC，CE，BD是中线，

∴EB＝DC，∠ABC＝∠ACB，ED∥BC，

∴△EBC≌△DCB，∠DEC＝∠ECB，

∴∠DBC＝∠ECB，

∴∠DEN＝∠EDN，

∴NE＝ND，

∴平行四边形MEND是菱形，

∴MN垂直平分ED．

2．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BF，∴∠D＝∠ECF．

∵E是CD的中点，∴DE＝CE．

又∠AED＝∠FEC，

∴△ADE≌△FCE．

（2）填“D”

证明：由（1）可得：

AD∥CF，AD＝CF，

∴四边形ACFD是平行四边形．

3．解：（1）DE＝AD﹣BE；

（2）DE＝BE﹣AD；

（3）证明（1）

∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC＝∠BEC＝90°

∴∠2+∠3＝90°

∵∠1+∠3＝90°

∴∠1＝∠2

∵AC＝BC

∴△ADC≌△CEB

∴AD＝CE，CD＝BE

∵DE＝CE﹣CD

∴DE＝AD﹣BE．

4．解：（1）△DOE≌△BOF；

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠EDO＝∠FBO，∠E＝∠F．

又∵OD＝OB，

∴△DOE≌△BOF（AAS）．

①△BOM≌△DON．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD．

∴∠MBO＝∠NDO，∠BMO＝∠DNO．

又∵BO＝DO，

∴△BOM≌△DON（AAS）．

②△ABD≌△CDB．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，AB＝CD．

又∵BD＝DB，

∴△ABD≌△CDB（SSS）．

（2）绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．

5．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，

∴BC＝DC，EC＝GC，

∠BCE＝∠DCG＝90°，

∴△BCE≌△DCG，

∴BE＝DG；

（2）解：图中存在通过旋转能够重合的两个三角形，它们是Rt△BCE和Rt△DCG．

将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°，可与Rt△DCG完全重合．

6．解：（1）是．

理由：在平行四边形ABCD中，则OD＝OB，OA＝OC，

∵E、F两点移动的速度相同，即AE＝CF，

∴OE＝OF，

又∵OD＝OB

∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）因为矩形对角线相等，所以当EF＝12时，其为矩形，

即AE＝CF＝（16﹣12）＝2，

所以当t＝2或16﹣2＝14时，四边形DEBF是矩形．

7．（1）证明：∵CF∥BE，

∴∠FCD＝∠EBD．

∵D是BC的中点，

∴CD＝BD．

∵∠FDC＝∠EDB，

∴△CDF≌△BDE（ASA）．

（2）解：四边形BECF是平行四边形．

理由：∵△CDF≌△BDE，

∴DF＝DE，DC＝DB．

∴四边形BECF是平行四边形．

8．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠B＝∠D，

∴△ABC≌△ADE．

（2）解：∵△ABC≌△ADE，

∴AC与AE是一组对应边，

∴∠CAE为旋转角，

∵AE＝AC，∠AEC＝75°，

∴∠ACE＝∠AEC＝75°，

∴∠CAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°．

9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠ABE＝∠CDF，

∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）解：若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．

证明：由△ABE≌△CDF，得AE＝CF，

在平行四边形ABCD中，AD平行BC，AD＝BC，

∴DE∥BF，DE＝BF，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∴若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．

10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC．

∵BE＝DF，

∴AF＝CE，

∴四边形AECF是平行四边形．

∴AE＝CF．

（2）解：由题意，得∠BCD+∠B＝180°，且∠BCD＝2∠B，

解得∠B＝60°．

（3）解：如图．

∵AG⊥BC，且∠B＝60°，

∴∠BAG＝30°．

∴BG＝AB＝1．

∴AG＝＝．

∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝AD•AG＝5．

11．证明：（1）∵AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G

∴DG、EF分别为△ABC和△OBC的中位线

∴DG∥BC  EF∥BCDG＝BC  EF＝BC

∴DG∥EF且DG＝EF

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解：成立，

理由是：如图所示，

∵由（1）知，DG∥BC  EF∥BCDG＝BC  EF＝BC

∴DG∥EF且DG＝EF

∴四边形DEFG是平行四边形；

（3）当点O满足OA＝BC，四边形DEFG是菱形．

由三角形中位线性质得DE＝EF，

所以平行四边形DEFG是菱形．

12．解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAC＝100°，

∴∠BAD＝50°；

（2）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠；

（3）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD是等腰△ABC底边BC上的高，即∠ADB＝90°

在直角三角形ABD中，点E是AB的中点，

∴DE为斜边AB边上的中线，

∴DE＝．

13．解：（1）∵CD＝CE，∠BCA＝60°，

∴△DEC是等边三角形，

∴∠DEC＝∠EDC＝∠AEF＝60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∴AB∥DF，

∵EF＝AE，∠AEF＝60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠AFD＝60°，

∴BD∥AF，

∴四边形ABDF是平行四边形；

（2）∵四边形ABDF是平行四边形，

∴EF∥AB，且EF≠AB，

∴四边形ABEF是梯形．

过点E作EG⊥AB于点G，

∵BD＝2DC，AB＝6，

∴AE＝BD＝EF＝4，

∵∠AGE＝90°，∠BAC＝60°，

∴∠AEG＝30°，

∴AG＝AE＝2，

EG＝＝＝2，

∴S＝（4+6）×2＝10．

14．解：（1）∵△DCF按顺时针方向旋转后恰好与△DAE重合，

∴DA与DC重合，这旋转角为∠CDA＝90°，

∴旋转中心是点 D；最少旋转了 90°；

（2）∵△DCF旋转后恰好与△DAE重合，

∴△DCF≌△DAE，

∴AE＝CF＝3，

又∵BF＝2，

∴BC＝BF+CF＝5，

∴S四边形BFDE＝S△AED+S四边形ABFD＝S△DCF+S四边形ABFD＝S正方形ABCD＝BC2＝25．

15．（1）证明：如图1，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF＝∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，

∴∠CEF＝∠F．

∴CE＝CF．

（2）解：连接GC、BG，

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD为矩形，

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF＝∠BAF＝45°，

∵∠DCB＝90°，DF∥AB，

∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°

∴△ECF为等腰直角三角形，

∵G为EF中点，

∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，

∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，

∴BE＝DC，

∵∠CEF＝∠GCF＝45°，

∴∠BEG＝∠DCG＝135°

在△BEG与△DCG中，

∵，

∴△BEG≌△DCG，

∴BG＝DG，

∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA＝90°，

又∵∠DGC＝∠BGA，

∴∠BGA+∠DGA＝90°，

∴△DGB为等腰直角三角形，

∴∠BDG＝45°．

（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，

∴四边形AHFD为平行四边形

∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD

∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°

∴△DAF为等腰三角形

∴AD＝DF，

∴CE＝CF，

∴平行四边形AHFD为菱形

∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形

∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°

∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，

∴BH＝GF

在△BHD与△GFD中，

∵，

∴△BHD≌△GFD，

∴∠BDH＝∠GDF

∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°