初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形课后复习题

八年级下册 第九章《中心对称图形—平行四边形》

常考综合题练习（二）

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动（不与点A，B重合）；同时点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动（不与点C、D重合），经过几秒，△PDQ为直角三角形？说明理由．

2．如图菱形ABCD的一个内角∠B＝60°，E为BC的中点，F为CD的中点，连接AF、EF．

（1）△AEF的形状如何？试证明；

（2）若E为BC上的任意一点，F为CD上的点，且∠EAF＝60°，△AEF的形状如何？试证明．

3．如图，已知正方形ABCD的边长是8，E是AB边上的点，且AE＝6，△DAE经过逆时针旋转后到达△DCF的位置．

（1）旋转中心是　   　，旋转角度是　   　，△DEF的形状是　   　三角形；

（2）现将△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交DE于点G．

①试说明：AH⊥DE；

②求AG的长．

4．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．

（1）若∠B＝30°，CE与CF的数量关系是　   　，CF长为　   　；

（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，则四边形CEGF的形状为　   　，若AB＝10，求CE的长．

5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．

（1）求证：△ABC≌△EAD；

（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．

6．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝4，AO＝6，求AC．

7．如图，在正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点（点E不与点B、C重合），点B关于直线AE的对称点为F，作射线EF交CD于H，连接AF．

（1）求证：AF⊥EH；

（2）连接AH，小王通过观察、实验，提出猜想：点E在运动过程中，∠EAH的度数始终保持不变．你帮助小王求出∠EAH的度数．

8．如图，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点M是边AD上一点（与点A，D不重合），射线ME与BC的延长线交于点N．

（1）求证：△MDE≌△NCE；

（2）过点E作EF∥CB交BM于点F，当MB＝MN时，求证：AM＝EF．

9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC⊥AB，点E为BC边上一动点，过点E作EF∥AB，EF，AC交于点P，连接AE，CF．

（1）若AE取最小值时，求四边形AECF的面积；

（2）当点E运动到BC的中点时，判断四边形AECF的形状，请说明你的理由．

10．已知△ABC，∠ACB＝90°，直线DE平行BC，交AB于D，AC于E，直线CF平行AB交DE于F，AC＝3，BC＝2．求当CE为何值时，四边形BCFD为菱形．

11．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．

（1）求证：四边形BPEQ是菱形；

（2）若AB＝6，BE＝10，求PQ的长．

12．如图，在正方形ABCD中，正方形的边长为4a，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，判断△AEF的形状并说明理由．

13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．

（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；

（2）连接BF，求证：四边形BCAF是矩形．

14．如图，正方形ABCD的边长为6，取BC中点E，连接DE，点F在AB边上，且∠EDF＝45°，连接EF．

（1）利用画图工具，在图中画出满足条件的图形；

（2）求EF的长．

15．如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC

（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；

（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC＝，求PF的长．

参考答案

1．解：经过2s或s或s时，△DPQ为直角三角形，理由如下：

∵点P不与点A重合，

∴∠PDQ≠90°，

∴△DPQ为直角三角形分两种情况：

①当∠DPQ＝90°时，△DPQ为直角三角形，

过点Q作QM⊥AB于M，如图所示：

则四边形BCQM为矩形．

∵AP＝3xcm，BM＝CQ＝2xcm，则PM＝（16﹣5x）cm，DQ＝（16﹣2x）cm，

∴（16﹣5x）2+62+（3x）2+62＝（16﹣2x）2，

解得：x1＝2，x2＝；

②当∠DQP＝90°时，AP+CQ＝16，

所以3x+2x＝16，

解得：x＝．

综上可知：经过2s或s或s时，△DPQ为直角三角形．

2．解：（1）△AEF为正三角形．理由如下：

连接AC，如图1所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°，

∴△ABC和△ADC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠ACD＝60°，

∵E、F分别是边BC、CD的中点，

∴AE平分∠BAC，AF平分∠DAC，

∴∠CAE＝∠CAF＝30°，

∴∠EAF＝60°，

∵菱形ABCD的面积＝BC×AE＝CD×AF，

∴AE＝AF，

∴△AEF为正三角形；

（2）△AEF为正三角形，理由如下：

连接AC，如图2所示：

由（1）得：△AB是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，AB＝AC，

∵∠EAF＝60°＝∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△BAE与△CA F中，，

∴△BAE≌△CAF（AAS），

∴AE＝AF，

∵∠EAF＝60°，

∴△AEF为正三角形．

3．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠ADC＝90°，

即A绕D旋转到C点，

∴旋转中心是点D，旋转角度是90°，

∠EDF＝∠ADC＝90°，DE＝DF，

∴△DEF是等腰直角三角形，

故答案为：点D，90°，等腰直角；

（2）①依题意，得：△ADE≌△BAH≌△CDF，

∴∠BAH＝∠ADE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，

∴∠BAH+∠GAD＝90°，

∴∠ADE+∠GAD＝90°，

∴∠AGD＝90°，

∴AH⊥DE；

②在Rt△ADE中，根据勾股定理，得：

DE＝＝＝10，

∵S△ADE＝×AD×AE＝×DE×AG，

∴DE×AG＝AD×AE，

∴8×6＝10×AG，

AG＝4.8．

4．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠CAB＝60°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD＝30°，

∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF＝∠BAF＝30°，

∴∠CFE＝∠ECF＝60°，

∴△CEF是等边三角形，

∴CE＝CF，

∵AC＝6，

∴CF＝AC＝2，

故答案为：相等，2；

（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，

∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，

在Rt△ACF与Rt△AGF中，，

∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），

∴∠AFC＝∠AFG，

∵CD⊥AB，FG⊥AB，

∴CD∥FG，

∴∠CEF＝∠EFG，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF，

∴CE＝FG，

∴四边形CEGF是菱形；

∵AC＝6，AB＝10，

∴BC＝8，

设CE＝CF＝FG＝x，

∵AG＝AC＝6，

∴BG＝4，

∴BF＝8﹣x，

∵BF2＝FG2+BG2，

∴（8﹣x）2＝42+x2，

解得：x＝3，

∴CE＝3．

故答案为：菱形．

5．解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC．

∴∠DAE＝∠AEB．

∵AB＝AE，

∴∠AEB＝∠B．

∴∠B＝∠DAE．

在△ABC和△AED中，

，

∴△ABC≌△EAD（SAS），

（2）∵△ABC≌△EAD，

∴∠AED＝∠BAC，

∵AE平分∠DAB（已知），

∴∠DAE＝∠BAE；

又∵∠DAE＝∠AEB，

∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．

∴△ABE为等边三角形．

∴∠BAE＝60°．

∵∠EAC＝25°，

∴∠BAC＝85°，

∴∠AED＝85°．

6．解：在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，

∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°，

∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°，

∵∠AHB＝∠OHC，

∴∠ABO＝∠ACO，

在△BAO和△CGO中

，

∴△BAO≌△CGO（SAS），

∴OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，

∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°，

∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°，

即△AOG是等腰直角三角形，

由勾股定理得：AG＝＝12，

即AC＝12+4＝16．

7．解：（1）证明：∵点B关于直线AE的对称点为F，

∴AB＝AF，BE＝EF，

又∵AE＝AE，

∴△ABE≌△AFE（SSS），

∴∠AFE＝∠B＝90°，

∴AF⊥EH；

（2）连接AH，如图：

由（1）得AB＝AF，AF⊥EH，

∴AF＝AD，∠D＝∠AFH＝90°，AH＝AH，

∴△AFH≌△ADH（HL），

∴∠FAH＝∠DAH，

又∵∠BAE＝∠FAE，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠EAH＝45°．

8．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DME＝∠CNE，∠MDE＝∠ECN，

∵E为CD的中点，

∴DE＝CE，

∴△MDE≌△NCE（AAS）；

（2）证明：过点M作MG⊥BN于点G，

∵BM＝MN，

∴BG＝NG＝BN，

∵矩形ABCD中，∠A＝∠ABG＝90°，

又∵MG⊥BN，

∴∠BGM＝90°，

∴四边形ABGM为矩形，

∴AM＝BG＝，

∵EF∥BN，E为DC的中点，

∴F为BM的中点，

∴EF＝BN，

∴AM＝EF．

9．解：（1）∵AE取最小值，

∴AE⊥BC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AF∥BE，

又∵EF∥AB，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴AF＝BE；

∵AC⊥AB，

∴∠BAC＝90°，

Rt△ABC中，AB＝3，BC＝5，

∴AC＝4；

∵AF＝BE，

∴AF+EC＝BE+EC＝BC＝5，

∴S四边形AECF

＝（AF+EC）•AE

＝BC•AE

＝S△ABC

＝AB•AC

＝×3×4

＝6；

∴AE取最小值时，四边形AECF的面积为6；

（2）当点E运动到BC的中点时，四边形AECF为菱形．理由如下：

∵E为BC的中点，∠BAC＝90°，

∴AE＝BC＝EC＝BE，

∵四边形ABEF是平行四边形，

∴AF＝BE，

∴AF＝AE＝EC．

∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴AF∥EC，

又∵AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵AF＝AE，

∴四边形AECF为菱形．

10．解：∵DE∥BC，CF∥AB，

∴四边形DBCF是平行四边形，

∴∠B＝∠F，

∵AB＝＝＝，

∵CF∥AB，

∴∠A＝∠FCE，且∠B＝∠F，

∴△CEF∽△ACB，

∴，

∵四边形BCFD为菱形，

∴CF＝BC＝2，

∴

∴CE＝

∴当CE＝时，四边形BCFD为菱形．

11．证明：（1）∵PQ垂直平分BE，

∴PB＝PE，OB＝OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PEO＝∠QBO，

在△BOQ与△EOP中，

，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

∴PE＝QB，

又∵AD∥BC，

∴四边形BPEQ是平行四边形，

又∵PB＝PE，

∴四边形BPEQ是菱形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°

∴AE＝＝＝8

设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，

在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，

解得，

∴BP＝PE＝，

∵四边形BPEQ是菱形，

∴，

在Rt△EOP中，，

∴．

12．解：△AEF为直角三角形．理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，且边长为4a，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∵E是BC的中点，且CF＝CD，

∴BE＝CE＝2a，CF＝a，DF＝3a，

在Rt△ABE中，由勾股定理可得：

AE2＝AB2+BE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2，

同理在Rt△EFC，Rt△ADF中，可得

EF2＝CE2+CF2＝（2a）2+a2＝5a2，

AF2＝AD2+DF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2，

∴AE2+EF2＝AF2，

∴△AEF为直角三角形．

13．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，

∴BC＝AB，∠ABC＝60°，

∵△ABD是等边三角形，

∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD，

∴∠ABC＝∠BAD，

∴BC∥DA，

∵点E是线段AB的中点，

∴CE＝AB＝BE＝AE，

∵∠ABC＝60°，

∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC＝60°＝∠ABD，

∴BD∥CF，

∴四边形BCFD为平行四边形；

（2）证明：如图所示：

∵BD∥CF，BE＝AE，

∴AF＝DF＝AD，

∴BC＝AF，

又∵BC∥DA，

∴四边形BCAF是平行四边形，

∵∠ACB＝90°，

∴四边形BCAF是矩形．

14．解：（1）如图1．

（2）如图2，在BA的延长线上截取AG＝CE，连接DG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC＝AB＝6，∠DAF＝∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°．

∴∠GAD＝90°．

在△AGD和△CED中，

，

∴△AGD≌△CED（SAS）．

∴∠GDA＝∠EDC，GD＝ED，

∵∠FDE＝45°，

∴∠ADF+∠EDC＝45°．

∴∠ADF+∠GDA＝45°．

∴∠GDF＝∠EDF．

在△GDF和△EDF中，

，

∴△GDF≌△EDF（SAS），

∴GF＝EF．

设AF＝x，则FB＝6﹣x，

∵点E为BC的中点，

∴BE＝EC＝3．

∴AG＝3．

∴FG＝EF＝3+x．

在Rt△BEF中，∠B＝90°，

由勾股定理，得 BF2+BE2＝EF2，

∴32+（6﹣x）2＝（3+x）2．

∴x＝2．

∴AF＝2，

∴EF＝3+x＝3+2＝5．

15．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，

∵AF⊥DE，

∴∠APD＝∠DPF＝90°，

∴∠ADP+∠DAF＝90°，∠ADP+∠EDC＝90°，

∴∠DAF＝∠EDC，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（AAS），

∴DF＝CE，

∵EC＝BC，BC＝DC，

∴DF＝DC，

∴F点为DC的中点；

（2）延长PE到N，使得EN＝PF，连接CN，

∵∠AFD＝∠DEC，

∴∠CEN＝∠CFP，

又∵E，F分别是BC，DC的中点，

∴CE＝CF，

∵在△CEN和△CFP中

，

∴△CEN≌△CFP（SAS），

∴CN＝CP，∠ECN＝∠PCF，

∵∠PCF+∠BCP＝90°，

∴∠ECN+∠BCP＝∠NCP＝90°，

∴△NCP是等腰直角三角形，

∴PN＝PE+NE＝PE+PF＝，

∴PF＝﹣PE＝8﹣6＝2．