
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苏科版9.3 平行四边形同步达标检测题
展开八年级下册 第九章《中心对称图形—平行四边形》
常考综合题练习(一)
1.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.
(1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长;
(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,MD⊥MP,求AQ的长.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,线段AB为边向外作等边△ABD,点E是线段AB的中点,连接CE并延长交线段AD于点F.
(1)求证:四边形BCFD为平行四边形;
(2)若AB=4,求平行四边形BCFD的面积.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点、F是AC中点,AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线,延长DF交AN于点E.连接CE.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)填空:①若AB=BC=3,则四边形ADCE的面积为 ;
②当△ABC满足 四边形ADCE是正方形.
4.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.求证:四边形AECF是平行四边形.
5.如图,P是矩形ABCD内一点,AP⊥BP于点P,CE⊥BP于点E,BP=EC.求证:四边形ABCD是正方形.
6.如图,在▱ABCD中,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,AE=CG,AH=CF.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)若EG平分∠HEF,请判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
7.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=,BD=2,求OE的长.
8.如图,∠MON=90°,正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上,AB=13,OB=5,E为AC上一点,且∠EBC=∠CBN,直线DE与ON交于点F.
(1)求证:BE=DE;
(2)判断DF与ON的位置关系,并说明理由;
(3)△BEF的周长为 .
9.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,O是AC的中点,AD∥BC.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若AC⊥BD,且AB=3,则平行四边形ABCD的周长为 .
10.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,F为BC边的中点,连接EF,DF.
(1)求证:EF=DF;
(2)若BC=6.求△DEF的周长;
(3)在(2)的条件下,若EC=BF,求四边形EFDA的面积.
11.如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.
(1)求证:AF⊥BE;
(2)若AB=6,DE=2,求AG的长.
12.如图,在正方形ABCD中,AB=6,连接AC、BD,P是图中线段上的一点,若PD=2AP,求AP的长.
13.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.
(Ⅰ)当x为何值时,AP、ND长度相等?
(Ⅱ)当x为何值时,以PQ、MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边能构成一个三角形?
(Ⅲ)当x为何值时,以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形?
14.如图,正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A,点B在线段DG上.
(1)判断DG与BE的位置关系,并说明理由:
(2)若正方形ABCD的边长为2,正方形AEFG的边长为2,求BE的长.
15.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线AC的中点,过点O作EF⊥AC交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)连接OB,若AB=8,AF=10,求OB的长.
参考答案
1.解:(1)∵△CDQ≌△CPQ,
∴DQ=PQ,PC=DC,
∵AB=DC=5,AD=BC=3,
∴PC=5,
在Rt△PBC中,PB==4,
∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1,
设AQ=x,则DQ=PQ=3﹣x,
在Rt△PAQ中,(3﹣x)2=x2+12,
解得x=,
∴AQ=.
(2)方法1,如图2,过M作EF⊥CD于F,则EF⊥AB,
∵MD⊥MP,
∴∠PMD=90°,
∴∠PME+∠DMF=90°,
∵∠FDM+∠DMF=90°,
∴∠MDF=∠PME,
∵M是QC的中点,
∴DM=QC,PM=QC,
∴DM=PM,
在△MDF和△PME中,
,
∴△MDF≌△PME(AAS),
∴ME=DF,PE=MF,
∵EF⊥CD,AD⊥CD,
∴EF∥AD,
∵QM=MC,
∴DF=CF=DC=,
∴ME=,
∵ME是梯形ABCQ的中位线,
∴2ME=AQ+BC,即5=AQ+3,
∴AQ=2.
方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点,
∴DM=CM,
∴∠DMQ=2∠DCQ,
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点,
∴MP=CM,
∴∠PMQ=2∠PCQ,
∵∠DMP=90°,
∴2∠DCQ+2∠PCQ=90°,
∴∠PCD=45°,°∠BCP=90°﹣45°=45°,
∴∠BPC=45°=∠BCP,∴BP=BC=3,
∵∠CPQ=90°,
∴∠APQ=180°﹣90°﹣45°=45°,
∴∠AQP=90°﹣45°=45°=∠APQ,
∴AQ=AP=2.
2.(1)证明:∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴BC=AB,∠ABC=60°,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠BAD=60°,AB=AD,
∴∠ABC=∠BAD,
∴BC∥DA,
∵点E是线段AB的中点,
∴CE=AB=BE=AE,
∵∠ABC=60°,
∴△BCE是等边三角形,
∴∠BEC=60°=∠ABD,
∴BD∥CF,且BC∥DA
∴四边形BCFD为平行四边形;
(2)解:在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AB=4,
∴BC=AB=2,AC=BC=2,
∴S平行四边形BCFD=2×2=4.
3.证明:∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠MAC,
∵∠MAC=∠B+∠ACB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠MAE=∠B,
∴AN∥BC,
∵F为AC的中点,D为BC的中点,
∴FD∥AB,
∴四边形ABDE为平行四边形,
∴AE=BD,
∵BD=CD,
∴AE=CD,
∴四边形ADCE为平行四边形,
∵AB=AC,点D为BC中点,
∴AD⊥BC,
∴AD⊥AE,
∴∠DAE=90°,
∴四边形ADCE为矩形;
(2)①解:∵AB=AC,D是BC中点,F是AC中点,
∴DF∥AB,
由(1)知AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∵BC=AB=3,AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABD=60°,
∵D为BC的中点,
∴∠ADC=90°,BD=,
∴AD=BD•tan60°=×=,
∴四边形ABDE的面积为BD×AD=×=.
故答案为:;
②解:答案不唯一,如当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∵D为BC的中点,
∴AD=DC,
∵四边形ADCE为矩形,
∴四边形ADCE为正方形.
故答案为:∠BAC=90°.
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠OAF=∠OCE,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE(ASA)
∴FO=EO,
又∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形.
5.证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
即∠ABP+∠PBC=90°,
∵AP⊥BP,
∴∠ABP+∠PAB=90°,
∴∠PBC=∠PAB,
∵CE⊥BP,
∴∠APB=∠BEC=90°,
在△ABP与△BCE中,
,
∴△ABP≌△BCE,
∴AB=BC,
∴矩形ABCD为正方形.
6.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,AB=CD,AD=BC,
在△AEH与△CGF中,,
∴△AEH≌△CGF(SAS),
∴EH=GF,
同理:△BEF≌△DGH(SAS),
∴EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形;
(2)解:四边形EFGH是菱形,理由如下:
由(1)得:四边形EFGH为平行四边形.
∴EH∥FG,
∴∠HEG=∠FGE.
∵EG平分∠HEF,
∴∠HEG=∠FEG,
∴∠FGE=∠FEG,
∴EF=GF,
∴EFGH是菱形.
7.(1)证明:∵AB∥CD,
∴∠OAB=∠DCA,
∵AC平分∠BAD,
∴∠OAB=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴CD=AD=AB,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AD=AB,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,BD⊥AC,
∵CE⊥AB,
∴OE=AC=OA=OC,
∵BD=2,
∴OB=BD=1,
在Rt△AOB中,AB=,OB=1,
∴OA===3,
∴OE=OA=3.
8.解:(1)∵四边形ABCD正方形,
∴CA平分∠BCD,BC=DC,
∴∠BCE=∠DCE=45°,
∵CE=CE,
∴△BCE≌△DCE(SAS),
∴BE=DE.
(2)DF⊥ON,理由如下:
∵△BCE≌△DCE,
∴∠EBC=∠EDC,
∵∠EBC=∠CBN,
∴∠EDC=∠CBN,
∵∠EDC+∠1=90°,∠1=∠2,
∴∠2+∠CBN=90°,
∴∠EFB=90°,
即DF⊥ON;
(3)如图所示,过C作CG⊥ON于G,过D作DH⊥CG于H,则∠CGB=∠AOB=90°,四边形DFGH是矩形,
又∵∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠BAO=90°=∠ABO+∠CBG,
∴∠BAO=∠CBG,
又∵AB=BC,
∴△ABO≌△BCG(AAS),
∴BG=AO==12,CG=BO=5,
同理可得△CDH≌△BCG,
∴DH=CG=5,CH=BG=12,
∴HG=5+12=17,
∴DF=HG=17,GF=DH=5,
∴BF=BG﹣GF=12﹣5=7,
∴△BEF的周长=BF+EF+BE=BF+EF+DE=BF+DF=7+17=24,
故答案为:24.
9.(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠CBO,
∵O是AC的中点,
∴OA=OC.
在△AOD和△COB中,,
∴△AOD≌△COB(AAS),
∴OD=OB.
∵OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
又∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD=AD=AB=3,
∴四边形ABCD的周长=4AB=12;
故答案为:12.
10.(1)证明:∵BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,
∴∠BDC=∠BEC=90°,
∵BF=CF,
∴DF=EF=BC.
(2)解:∵FE=FB=FC=FD,
∴∠FBE=∠FEB,∠FCD=∠FDC,
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BFE+∠DFC=180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB=120°,
∴∠EFD=60°,
∵EF=DF,
∴△EFD是等边三角形,
∵EF=BC=3,
∴△DEF使得周长为9.
(3)∵EC=BF,BF=CF,
∴EC=BC,
∴cos∠BCE=,
∴∠ECB=45°,
∵BC=6,
∴EB=EC=3,
∵∠A=60°,∠AEC=90°,
∴AE=×3=,
∴AB=BE+AE=3+,
在Rt△ADB中,∵∠ABD=30°,
∴AD=AB=,
∴S四边形EFDA=S△EDF+S△ADE=×32+×××=3+.
11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,
∵DE=CF,
∴AE=DF,
在△BAE和△ADF中
∴△BAE≌△ADF(SAS),
∴∠DAF=∠ABE,
∵∠BAG+∠DAF=90°,
∵∠BAG+∠ABE=90°,
∴∠AGB=90°,
即AF⊥BE;
(2)由(1)得:△BAE≌△ADF,
∴∠EBA=∠FAD,
∴∠GAE+∠AEG=90°,
∴∠AGE=90°,
∵AB=6,DE=2,
∴AE=4,
∴BE===2,
在Rt△ABE中,AB•AE=BE•AG,
AG==
12.解:∵四边形ABCD是正方形,AB=6,
∴AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,
AB=BC=CD=AD=6,∠ABC=∠DAB=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:
AC=
=
=6,
∴OB=OA=OC=OD=3.
∵PD=2AP,
∴设AP=x,则PD=2x,
①当点P在AD边上时,如图1所示,
∵AD=6,
∴AP+PD=6,
∴x+2x=6,
∴x=2,即AP=2;
②当点P在DC边上时,如图2所示,
在Rt△ADP中,AP>PD,
∴PD≠2AP;
③当点P在BC边上时,如图3所示,
∵PD≤BD=6,AP≥6,
∴PD≠2AP;
④当点P在AB边上时,如图4所示,
在Rt△ADP中,AP2+AD2=PD2,
∴x2+62=(2x)2,
解得x1=2,x2=﹣2(舍),
∴AP=2;
⑤当点P在对角线AC上时,如图5所示,
在Rt△ABC中,AC=6,AO=3,
在Rt△PDO中,PO=3﹣x,PD=2x,DO=3,
∴PD2=DO2+PO2,
即(2x)2=+,
解得x1=﹣,x2=﹣﹣(舍),
∴AP=﹣;
⑥当点P在对角线DB上时,如图6所示,
在Rt△PPO中,AP2=AO2+PO2,
∴x2=+,
整理得x2﹣4x+12=0,
∴△=﹣16<0,
∴方程无实数根.
综上所述,AP=2或2或﹣.
13.解:(Ⅰ)∵AP=2xcm,DN=x2cm,
∴AP=ND时,即2x=x2,
解得:x=2,或x=0(舍去),
∴当x为2时,AP、ND长度相等;
(Ⅱ)当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形,
①当点P与点N重合时,
由题意得:x2+2x=20,
解得:x1=﹣1,x2=﹣﹣1(舍去),
∵BQ+CM=x+3x=4(﹣1)<20,此时点Q与点M不重合,
∴x=﹣1符合题意;
②当点Q与点M重合时,
由题意得:x+3x=20,
解得:x=5,
此时DN=x2=25>20,不符合题意,
∴点Q与点M不能重合.
综上所述,所求x的值为:﹣1;
(Ⅲ)∵当N点到达A点时,x=2,此时M点和Q点还未相遇,
∴点Q只能在点M的左侧,
①当点P在点N的左侧时,如图1所示:
由题意得:20﹣(x+3x)=20﹣(2x+x2),
解得:x1=0(舍去),x2=2,
当x=2时四边形PQMN是平行四边形;
②当点P在点N的右侧时,如图2所示:
由题意得:20﹣(x+3x)=(2x+x2)﹣20,
解得:x1=﹣10(舍去),x2=4,
当x=4时四边形NQMP是平行四边形;
综上所述,当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形.
14.解:(1)DG⊥BE,
理由如下:∵四边形ABCD,四边形AEFG是正方形,
∴AB=AD,∠DAB=∠GAE,AE=AG,∠ADB=∠ABD=45°,
∴∠DAG=∠BAE,
在△DAG和△BAE中
∴△DAG≌△BAE(SAS).
∴DG=BE,∠ADG=∠ABE=45°,
∴∠ABD+∠ABE=90°,即∠GBE=90°.
∴DG⊥BE;
(2)连接GE,
∵正方形ABCD的边长为2,正方形AEFG的边长为2,
∴BD=2,GE=4,
设BE=x,则BG=x﹣2,
在Rt△BGE中,利用勾股定理可得
x2+(x﹣2)2=42,
∴x=+
∴BE的长为+.
15.证明:(1)∵O是AC的中点,且EF⊥AC,
∴AF=CF,AE=CE,OA=OC,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AFO=∠CEO,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE(AAS),
∴AF=CE,
∴AF=CF=CE=AE,
∴四边形AECF是菱形;
(2)如图,
∵AB=8,AF=AE=EC=10,
∴BE===6,
∴BC=16,
∴AC===8,
∵AO=CO,∠ABC=90°,
∴BO=AC=4.
苏科版八年级下册9.3 平行四边形综合训练题: 这是一份苏科版八年级下册9.3 平行四边形综合训练题,共19页。试卷主要包含了已知等内容,欢迎下载使用。
初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形达标测试: 这是一份初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形达标测试,共15页。试卷主要包含了已知,操作与证明等内容,欢迎下载使用。
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