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    苏科版9.3 平行四边形同步达标检测题

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    这是一份苏科版9.3 平行四边形同步达标检测题,共23页。

    八年级下册 第九章《中心对称图形—平行四边形》
    常考综合题练习(一)

    1.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.
    (1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长;
    (2)取CQ的中点M,连接MD,MP,MD⊥MP,求AQ的长.





    2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,线段AB为边向外作等边△ABD,点E是线段AB的中点,连接CE并延长交线段AD于点F.
    (1)求证:四边形BCFD为平行四边形;
    (2)若AB=4,求平行四边形BCFD的面积.




    3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点、F是AC中点,AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线,延长DF交AN于点E.连接CE.
    (1)求证:四边形ADCE是矩形;
    (2)填空:①若AB=BC=3,则四边形ADCE的面积为   ;
    ②当△ABC满足   四边形ADCE是正方形.




    4.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.求证:四边形AECF是平行四边形.




    5.如图,P是矩形ABCD内一点,AP⊥BP于点P,CE⊥BP于点E,BP=EC.求证:四边形ABCD是正方形.



    6.如图,在▱ABCD中,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,AE=CG,AH=CF.
    (1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
    (2)若EG平分∠HEF,请判断四边形EFGH的形状,并说明理由.




    7.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
    (1)求证:四边形ABCD是菱形;
    (2)若AB=,BD=2,求OE的长.


    8.如图,∠MON=90°,正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上,AB=13,OB=5,E为AC上一点,且∠EBC=∠CBN,直线DE与ON交于点F.
    (1)求证:BE=DE;
    (2)判断DF与ON的位置关系,并说明理由;
    (3)△BEF的周长为   .

    9.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,O是AC的中点,AD∥BC.
    (1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
    (2)若AC⊥BD,且AB=3,则平行四边形ABCD的周长为   .




    10.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,F为BC边的中点,连接EF,DF.
    (1)求证:EF=DF;
    (2)若BC=6.求△DEF的周长;
    (3)在(2)的条件下,若EC=BF,求四边形EFDA的面积.


    11.如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.
    (1)求证:AF⊥BE;
    (2)若AB=6,DE=2,求AG的长.

    12.如图,在正方形ABCD中,AB=6,连接AC、BD,P是图中线段上的一点,若PD=2AP,求AP的长.




    13.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.
    (Ⅰ)当x为何值时,AP、ND长度相等?
    (Ⅱ)当x为何值时,以PQ、MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边能构成一个三角形?
    (Ⅲ)当x为何值时,以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形?

    14.如图,正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A,点B在线段DG上.
    (1)判断DG与BE的位置关系,并说明理由:
    (2)若正方形ABCD的边长为2,正方形AEFG的边长为2,求BE的长.

    15.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线AC的中点,过点O作EF⊥AC交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.
    (1)求证:四边形AECF是菱形;
    (2)连接OB,若AB=8,AF=10,求OB的长.






















    参考答案
    1.解:(1)∵△CDQ≌△CPQ,
    ∴DQ=PQ,PC=DC,
    ∵AB=DC=5,AD=BC=3,
    ∴PC=5,
    在Rt△PBC中,PB==4,
    ∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1,
    设AQ=x,则DQ=PQ=3﹣x,
    在Rt△PAQ中,(3﹣x)2=x2+12,
    解得x=,
    ∴AQ=.
    (2)方法1,如图2,过M作EF⊥CD于F,则EF⊥AB,
    ∵MD⊥MP,
    ∴∠PMD=90°,
    ∴∠PME+∠DMF=90°,
    ∵∠FDM+∠DMF=90°,
    ∴∠MDF=∠PME,
    ∵M是QC的中点,
    ∴DM=QC,PM=QC,
    ∴DM=PM,
    在△MDF和△PME中,

    ∴△MDF≌△PME(AAS),
    ∴ME=DF,PE=MF,
    ∵EF⊥CD,AD⊥CD,
    ∴EF∥AD,
    ∵QM=MC,
    ∴DF=CF=DC=,
    ∴ME=,
    ∵ME是梯形ABCQ的中位线,
    ∴2ME=AQ+BC,即5=AQ+3,
    ∴AQ=2.

    方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点,
    ∴DM=CM,
    ∴∠DMQ=2∠DCQ,
    ∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点,
    ∴MP=CM,
    ∴∠PMQ=2∠PCQ,
    ∵∠DMP=90°,
    ∴2∠DCQ+2∠PCQ=90°,
    ∴∠PCD=45°,°∠BCP=90°﹣45°=45°,
    ∴∠BPC=45°=∠BCP,∴BP=BC=3,
    ∵∠CPQ=90°,
    ∴∠APQ=180°﹣90°﹣45°=45°,
    ∴∠AQP=90°﹣45°=45°=∠APQ,
    ∴AQ=AP=2.


    2.(1)证明:∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,
    ∴BC=AB,∠ABC=60°,
    ∵△ABD是等边三角形,
    ∴∠ABD=∠BAD=60°,AB=AD,
    ∴∠ABC=∠BAD,
    ∴BC∥DA,
    ∵点E是线段AB的中点,
    ∴CE=AB=BE=AE,
    ∵∠ABC=60°,
    ∴△BCE是等边三角形,
    ∴∠BEC=60°=∠ABD,
    ∴BD∥CF,且BC∥DA
    ∴四边形BCFD为平行四边形;
    (2)解:在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AB=4,
    ∴BC=AB=2,AC=BC=2,
    ∴S平行四边形BCFD=2×2=4.
    3.证明:∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
    ∴∠MAE=∠MAC,
    ∵∠MAC=∠B+∠ACB,
    ∵AB=AC,
    ∴∠B=∠ACB,
    ∴∠MAE=∠B,
    ∴AN∥BC,
    ∵F为AC的中点,D为BC的中点,
    ∴FD∥AB,
    ∴四边形ABDE为平行四边形,
    ∴AE=BD,
    ∵BD=CD,
    ∴AE=CD,
    ∴四边形ADCE为平行四边形,
    ∵AB=AC,点D为BC中点,
    ∴AD⊥BC,
    ∴AD⊥AE,
    ∴∠DAE=90°,
    ∴四边形ADCE为矩形;
    (2)①解:∵AB=AC,D是BC中点,F是AC中点,
    ∴DF∥AB,
    由(1)知AE∥BD,
    ∴四边形ABDE是平行四边形,
    ∵BC=AB=3,AB=AC,
    ∴△ABC是等边三角形,
    ∴∠ABD=60°,
    ∵D为BC的中点,
    ∴∠ADC=90°,BD=,
    ∴AD=BD•tan60°=×=,
    ∴四边形ABDE的面积为BD×AD=×=.
    故答案为:;
    ②解:答案不唯一,如当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.
    ∵∠BAC=90°,AB=AC,
    ∴△ABC为等腰直角三角形,
    ∵D为BC的中点,
    ∴AD=DC,
    ∵四边形ADCE为矩形,
    ∴四边形ADCE为正方形.
    故答案为:∠BAC=90°.
    4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,
    ∴∠OAF=∠OCE,
    在△AOF和△COE中,

    ∴△AOF≌△COE(ASA)
    ∴FO=EO,
    又∵AO=CO,
    ∴四边形AECF是平行四边形.
    5.证明:
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠ABC=90°,
    即∠ABP+∠PBC=90°,
    ∵AP⊥BP,
    ∴∠ABP+∠PAB=90°,
    ∴∠PBC=∠PAB,
    ∵CE⊥BP,
    ∴∠APB=∠BEC=90°,
    在△ABP与△BCE中,

    ∴△ABP≌△BCE,
    ∴AB=BC,
    ∴矩形ABCD为正方形.
    6.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴∠A=∠C,∠B=∠D,AB=CD,AD=BC,
    在△AEH与△CGF中,,
    ∴△AEH≌△CGF(SAS),
    ∴EH=GF,
    同理:△BEF≌△DGH(SAS),
    ∴EF=GH,
    ∴四边形EFGH是平行四边形;
    (2)解:四边形EFGH是菱形,理由如下:
    由(1)得:四边形EFGH为平行四边形.
    ∴EH∥FG,
    ∴∠HEG=∠FGE.
    ∵EG平分∠HEF,
    ∴∠HEG=∠FEG,
    ∴∠FGE=∠FEG,
    ∴EF=GF,
    ∴EFGH是菱形.
    7.(1)证明:∵AB∥CD,
    ∴∠OAB=∠DCA,
    ∵AC平分∠BAD,
    ∴∠OAB=∠DAC,
    ∴∠DCA=∠DAC,
    ∴CD=AD=AB,
    ∵AB∥CD,
    ∴四边形ABCD是平行四边形,
    ∵AD=AB,
    ∴四边形ABCD是菱形;
    (2)解:∵四边形ABCD是菱形,
    ∴OA=OC,BD⊥AC,
    ∵CE⊥AB,
    ∴OE=AC=OA=OC,
    ∵BD=2,
    ∴OB=BD=1,
    在Rt△AOB中,AB=,OB=1,
    ∴OA===3,
    ∴OE=OA=3.
    8.解:(1)∵四边形ABCD正方形,
    ∴CA平分∠BCD,BC=DC,
    ∴∠BCE=∠DCE=45°,
    ∵CE=CE,
    ∴△BCE≌△DCE(SAS),
    ∴BE=DE.
    (2)DF⊥ON,理由如下:
    ∵△BCE≌△DCE,
    ∴∠EBC=∠EDC,
    ∵∠EBC=∠CBN,
    ∴∠EDC=∠CBN,
    ∵∠EDC+∠1=90°,∠1=∠2,
    ∴∠2+∠CBN=90°,
    ∴∠EFB=90°,
    即DF⊥ON;
    (3)如图所示,过C作CG⊥ON于G,过D作DH⊥CG于H,则∠CGB=∠AOB=90°,四边形DFGH是矩形,
    又∵∠ABC=90°,
    ∴∠ABO+∠BAO=90°=∠ABO+∠CBG,
    ∴∠BAO=∠CBG,
    又∵AB=BC,
    ∴△ABO≌△BCG(AAS),
    ∴BG=AO==12,CG=BO=5,
    同理可得△CDH≌△BCG,
    ∴DH=CG=5,CH=BG=12,
    ∴HG=5+12=17,
    ∴DF=HG=17,GF=DH=5,
    ∴BF=BG﹣GF=12﹣5=7,
    ∴△BEF的周长=BF+EF+BE=BF+EF+DE=BF+DF=7+17=24,
    故答案为:24.


    9.(1)证明:∵AD∥BC,
    ∴∠ADO=∠CBO,
    ∵O是AC的中点,
    ∴OA=OC.
    在△AOD和△COB中,,
    ∴△AOD≌△COB(AAS),
    ∴OD=OB.
    ∵OA=OC,
    ∴四边形ABCD是平行四边形;
    (2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    又∵AC⊥BD,
    ∴四边形ABCD是菱形,
    ∴BC=CD=AD=AB=3,
    ∴四边形ABCD的周长=4AB=12;
    故答案为:12.
    10.(1)证明:∵BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,
    ∴∠BDC=∠BEC=90°,
    ∵BF=CF,
    ∴DF=EF=BC.

    (2)解:∵FE=FB=FC=FD,
    ∴∠FBE=∠FEB,∠FCD=∠FDC,
    ∵∠A=60°,
    ∴∠ABC+∠ACB=120°,
    ∴∠BFE+∠DFC=180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB=120°,
    ∴∠EFD=60°,
    ∵EF=DF,
    ∴△EFD是等边三角形,
    ∵EF=BC=3,
    ∴△DEF使得周长为9.

    (3)∵EC=BF,BF=CF,
    ∴EC=BC,
    ∴cos∠BCE=,
    ∴∠ECB=45°,
    ∵BC=6,
    ∴EB=EC=3,
    ∵∠A=60°,∠AEC=90°,
    ∴AE=×3=,
    ∴AB=BE+AE=3+,
    在Rt△ADB中,∵∠ABD=30°,
    ∴AD=AB=,
    ∴S四边形EFDA=S△EDF+S△ADE=×32+×××=3+.

    11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,
    ∵DE=CF,
    ∴AE=DF,
    在△BAE和△ADF中
    ∴△BAE≌△ADF(SAS),
    ∴∠DAF=∠ABE,
    ∵∠BAG+∠DAF=90°,
    ∵∠BAG+∠ABE=90°,
    ∴∠AGB=90°,
    即AF⊥BE;
    (2)由(1)得:△BAE≌△ADF,
    ∴∠EBA=∠FAD,
    ∴∠GAE+∠AEG=90°,
    ∴∠AGE=90°,
    ∵AB=6,DE=2,
    ∴AE=4,
    ∴BE===2,
    在Rt△ABE中,AB•AE=BE•AG,
    AG==
    12.解:∵四边形ABCD是正方形,AB=6,
    ∴AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,
    AB=BC=CD=AD=6,∠ABC=∠DAB=90°,
    在Rt△ABC中,由勾股定理得:
    AC=

    =6,
    ∴OB=OA=OC=OD=3.
    ∵PD=2AP,
    ∴设AP=x,则PD=2x,
    ①当点P在AD边上时,如图1所示,

    ∵AD=6,
    ∴AP+PD=6,
    ∴x+2x=6,
    ∴x=2,即AP=2;
    ②当点P在DC边上时,如图2所示,

    在Rt△ADP中,AP>PD,
    ∴PD≠2AP;
    ③当点P在BC边上时,如图3所示,

    ∵PD≤BD=6,AP≥6,
    ∴PD≠2AP;
    ④当点P在AB边上时,如图4所示,

    在Rt△ADP中,AP2+AD2=PD2,
    ∴x2+62=(2x)2,
    解得x1=2,x2=﹣2(舍),
    ∴AP=2;
    ⑤当点P在对角线AC上时,如图5所示,

    在Rt△ABC中,AC=6,AO=3,
    在Rt△PDO中,PO=3﹣x,PD=2x,DO=3,
    ∴PD2=DO2+PO2,
    即(2x)2=+,
    解得x1=﹣,x2=﹣﹣(舍),
    ∴AP=﹣;
    ⑥当点P在对角线DB上时,如图6所示,

    在Rt△PPO中,AP2=AO2+PO2,
    ∴x2=+,
    整理得x2﹣4x+12=0,
    ∴△=﹣16<0,
    ∴方程无实数根.
    综上所述,AP=2或2或﹣.
    13.解:(Ⅰ)∵AP=2xcm,DN=x2cm,
    ∴AP=ND时,即2x=x2,
    解得:x=2,或x=0(舍去),
    ∴当x为2时,AP、ND长度相等;
    (Ⅱ)当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形,
    ①当点P与点N重合时,
    由题意得:x2+2x=20,
    解得:x1=﹣1,x2=﹣﹣1(舍去),
    ∵BQ+CM=x+3x=4(﹣1)<20,此时点Q与点M不重合,
    ∴x=﹣1符合题意;
    ②当点Q与点M重合时,
    由题意得:x+3x=20,
    解得:x=5,
    此时DN=x2=25>20,不符合题意,
    ∴点Q与点M不能重合.
    综上所述,所求x的值为:﹣1;
    (Ⅲ)∵当N点到达A点时,x=2,此时M点和Q点还未相遇,
    ∴点Q只能在点M的左侧,
    ①当点P在点N的左侧时,如图1所示:
    由题意得:20﹣(x+3x)=20﹣(2x+x2),
    解得:x1=0(舍去),x2=2,
    当x=2时四边形PQMN是平行四边形;
    ②当点P在点N的右侧时,如图2所示:
    由题意得:20﹣(x+3x)=(2x+x2)﹣20,
    解得:x1=﹣10(舍去),x2=4,
    当x=4时四边形NQMP是平行四边形;
    综上所述,当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形.


    14.解:(1)DG⊥BE,
    理由如下:∵四边形ABCD,四边形AEFG是正方形,
    ∴AB=AD,∠DAB=∠GAE,AE=AG,∠ADB=∠ABD=45°,
    ∴∠DAG=∠BAE,
    在△DAG和△BAE中

    ∴△DAG≌△BAE(SAS).
    ∴DG=BE,∠ADG=∠ABE=45°,
    ∴∠ABD+∠ABE=90°,即∠GBE=90°.
    ∴DG⊥BE;
    (2)连接GE,

    ∵正方形ABCD的边长为2,正方形AEFG的边长为2,
    ∴BD=2,GE=4,
    设BE=x,则BG=x﹣2,
    在Rt△BGE中,利用勾股定理可得
    x2+(x﹣2)2=42,
    ∴x=+
    ∴BE的长为+.
    15.证明:(1)∵O是AC的中点,且EF⊥AC,
    ∴AF=CF,AE=CE,OA=OC,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AD∥BC,
    ∴∠AFO=∠CEO,
    在△AOF和△COE中,

    ∴△AOF≌△COE(AAS),
    ∴AF=CE,
    ∴AF=CF=CE=AE,
    ∴四边形AECF是菱形;
    (2)如图,

    ∵AB=8,AF=AE=EC=10,
    ∴BE===6,
    ∴BC=16,
    ∴AC===8,
    ∵AO=CO,∠ABC=90°,
    ∴BO=AC=4.




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