苏科版9.3 平行四边形同步达标检测题

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八年级下册 第九章《中心对称图形—平行四边形》
常考综合题练习（一）

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．





2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）若AB＝4，求平行四边形BCFD的面积．




3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E．连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）填空：①若AB＝BC＝3，则四边形ADCE的面积为　 　；
②当△ABC满足　 　四边形ADCE是正方形．




4．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．求证：四边形AECF是平行四边形．




5．如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC．求证：四边形ABCD是正方形．



6．如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若EG平分∠HEF，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．




7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．


8．如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；
（3）△BEF的周长为　 　．

9．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若AC⊥BD，且AB＝3，则平行四边形ABCD的周长为　 　．




10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．
（1）求证：EF＝DF；
（2）若BC＝6．求△DEF的周长；
（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．


11．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）若AB＝6，DE＝2，求AG的长．

12．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC、BD，P是图中线段上的一点，若PD＝2AP，求AP的长．




13．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（Ⅰ）当x为何值时，AP、ND长度相等？
（Ⅱ）当x为何值时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形？
（Ⅲ）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

14．如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上．
（1）判断DG与BE的位置关系，并说明理由：
（2）若正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为2，求BE的长．

15．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连接OB，若AB＝8，AF＝10，求OB的长．






















参考答案
1．解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ＝PQ，PC＝DC，
∵AB＝DC＝5，AD＝BC＝3，
∴PC＝5，
在Rt△PBC中，PB＝＝4，
∴PA＝AB﹣PB＝5﹣4＝1，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2＝x2+12，
解得x＝，
∴AQ＝．
（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD＝90°，
∴∠PME+∠DMF＝90°，
∵∠FDM+∠DMF＝90°，
∴∠MDF＝∠PME，
∵M是QC的中点，
∴DM＝QC，PM＝QC，
∴DM＝PM，
在△MDF和△PME中，
，
∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME＝DF，PE＝MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM＝MC，
∴DF＝CF＝DC＝，
∴ME＝，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME＝AQ+BC，即5＝AQ+3，
∴AQ＝2．

方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，
∴DM＝CM，
∴∠DMQ＝2∠DCQ，
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，
∴MP＝CM，
∴∠PMQ＝2∠PCQ，
∵∠DMP＝90°，
∴2∠DCQ+2∠PCQ＝90°，
∴∠PCD＝45°，°∠BCP＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BPC＝45°＝∠BCP，∴BP＝BC＝3，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠APQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°＝∠APQ，
∴AQ＝AP＝2．


2．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴BC＝AB，∠ABC＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴BC∥DA，
∵点E是线段AB的中点，
∴CE＝AB＝BE＝AE，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝60°＝∠ABD，
∴BD∥CF，且BC∥DA
∴四边形BCFD为平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S平行四边形BCFD＝2×2＝4．
3．证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC，
∵∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠MAE＝∠B，
∴AN∥BC，
∵F为AC的中点，D为BC的中点，
∴FD∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）①解：∵AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，
∴DF∥AB，
由（1）知AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵BC＝AB＝3，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵D为BC的中点，
∴∠ADC＝90°，BD＝，
∴AD＝BD•tan60°＝×＝，
∴四边形ABDE的面积为BD×AD＝×＝．
故答案为：；
②解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D为BC的中点，
∴AD＝DC，
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
故答案为：∠BAC＝90°．
4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
5．证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
即∠ABP+∠PBC＝90°，
∵AP⊥BP，
∴∠ABP+∠PAB＝90°，
∴∠PBC＝∠PAB，
∵CE⊥BP，
∴∠APB＝∠BEC＝90°，
在△ABP与△BCE中，
，
∴△ABP≌△BCE，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD为正方形．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
在△AEH与△CGF中，，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF，
同理：△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：
由（1）得：四边形EFGH为平行四边形．
∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
∴EFGH是菱形．
7．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝AC＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝＝3，
∴OE＝OA＝3．
8．解：（1）∵四边形ABCD正方形，
∴CA平分∠BCD，BC＝DC，
∴∠BCE＝∠DCE＝45°，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴BE＝DE．
（2）DF⊥ON，理由如下：
∵△BCE≌△DCE，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵∠EBC＝∠CBN，
∴∠EDC＝∠CBN，
∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠CBN＝90°，
∴∠EFB＝90°，
即DF⊥ON；
（3）如图所示，过C作CG⊥ON于G，过D作DH⊥CG于H，则∠CGB＝∠AOB＝90°，四边形DFGH是矩形，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBG，
∴∠BAO＝∠CBG，
又∵AB＝BC，
∴△ABO≌△BCG（AAS），
∴BG＝AO＝＝12，CG＝BO＝5，
同理可得△CDH≌△BCG，
∴DH＝CG＝5，CH＝BG＝12，
∴HG＝5+12＝17，
∴DF＝HG＝17，GF＝DH＝5，
∴BF＝BG﹣GF＝12﹣5＝7，
∴△BEF的周长＝BF+EF+BE＝BF+EF+DE＝BF+DF＝7+17＝24，
故答案为：24．


9．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC．
在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OD＝OB．
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝3，
∴四边形ABCD的周长＝4AB＝12；
故答案为：12．
10．（1）证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵BF＝CF，
∴DF＝EF＝BC．

（2）解：∵FE＝FB＝FC＝FD，
∴∠FBE＝∠FEB，∠FCD＝∠FDC，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BFE+∠DFC＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∵EF＝DF，
∴△EFD是等边三角形，
∵EF＝BC＝3，
∴△DEF使得周长为9．

（3）∵EC＝BF，BF＝CF，
∴EC＝BC，
∴cos∠BCE＝，
∴∠ECB＝45°，
∵BC＝6，
∴EB＝EC＝3，
∵∠A＝60°，∠AEC＝90°，
∴AE＝×3＝，
∴AB＝BE+AE＝3+，
在Rt△ADB中，∵∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝，
∴S四边形EFDA＝S△EDF+S△ADE＝×32+×××＝3+．

11．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠ABE，
∵∠BAG+∠DAF＝90°，
∵∠BAG+∠ABE＝90°，
∴∠AGB＝90°，
即AF⊥BE；
（2）由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝6，DE＝2，
∴AE＝4，
∴BE＝＝＝2，
在Rt△ABE中，AB•AE＝BE•AG，
AG＝＝
12．解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，
AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠ABC＝∠DAB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝
＝
＝6，
∴OB＝OA＝OC＝OD＝3．
∵PD＝2AP，
∴设AP＝x，则PD＝2x，
①当点P在AD边上时，如图1所示，

∵AD＝6，
∴AP+PD＝6，
∴x+2x＝6，
∴x＝2，即AP＝2；
②当点P在DC边上时，如图2所示，

在Rt△ADP中，AP＞PD，
∴PD≠2AP；
③当点P在BC边上时，如图3所示，

∵PD≤BD＝6，AP≥6，
∴PD≠2AP；
④当点P在AB边上时，如图4所示，

在Rt△ADP中，AP2+AD2＝PD2，
∴x2+62＝（2x）2，
解得x1＝2，x2＝﹣2（舍），
∴AP＝2；
⑤当点P在对角线AC上时，如图5所示，

在Rt△ABC中，AC＝6，AO＝3，
在Rt△PDO中，PO＝3﹣x，PD＝2x，DO＝3，
∴PD2＝DO2+PO2，
即（2x）2＝+，
解得x1＝﹣，x2＝﹣﹣（舍），
∴AP＝﹣；
⑥当点P在对角线DB上时，如图6所示，

在Rt△PPO中，AP2＝AO2+PO2，
∴x2＝+，
整理得x2﹣4x+12＝0，
∴△＝﹣16＜0，
∴方程无实数根．
综上所述，AP＝2或2或﹣．
13．解：（Ⅰ）∵AP＝2xcm，DN＝x2cm，
∴AP＝ND时，即2x＝x2，
解得：x＝2，或x＝0（舍去），
∴当x为2时，AP、ND长度相等；
（Ⅱ）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形，
①当点P与点N重合时，
由题意得：x2+2x＝20，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（舍去），
∵BQ+CM＝x+3x＝4（﹣1）＜20，此时点Q与点M不重合，
∴x＝﹣1符合题意；
②当点Q与点M重合时，
由题意得：x+3x＝20，
解得：x＝5，
此时DN＝x2＝25＞20，不符合题意，
∴点Q与点M不能重合．
综上所述，所求x的值为：﹣1；
（Ⅲ）∵当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，
∴点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，如图1所示：
由题意得：20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），
解得：x1＝0（舍去），x2＝2，
当x＝2时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，如图2所示：
由题意得：20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，
解得：x1＝﹣10（舍去），x2＝4，
当x＝4时四边形NQMP是平行四边形；
综上所述，当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．


14．解：（1）DG⊥BE，
理由如下：∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠GAE，AE＝AG，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△DAG和△BAE中

∴△DAG≌△BAE（SAS）．
∴DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝45°，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，即∠GBE＝90°．
∴DG⊥BE；
（2）连接GE，

∵正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为2，
∴BD＝2，GE＝4，
设BE＝x，则BG＝x﹣2，
在Rt△BGE中，利用勾股定理可得
x2+（x﹣2）2＝42，
∴x＝+
∴BE的长为+．
15．证明：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）如图，

∵AB＝8，AF＝AE＝EC＝10，
∴BE＝＝＝6，
∴BC＝16，
∴AC＝＝＝8，
∵AO＝CO，∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝4．