数学八年级下册9.3 平行四边形练习

八年级下册第9章：中心对称图形—平行四边形

专项培优训练（四）

1．如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点．连接AD、DE、DF

（1）求证：四边形EDFA是平行四边形；

（2）当∠B＝∠C时，先猜想四边形EDFA是什么四边形，并证明你的猜想．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D．

（1）若∠C＝74°，求∠BAD的度数；

（2）点E为线段AB的中点，连接DE．求证：DE∥BC．

3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．O为AB的中点，连接CO并延长到E，使OE＝OC．过点A作AD∥CE交BE的延长线于D．

（1）求证：四边形ACED是平行四边形．

（2）若BC＝3，求△ABD的周长．

4．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．

（1）求证：△ADE≌△ABF；

（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　   　点，按顺时针方向旋转　   　度得到；

（3）若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积．

5．如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．

6．如图，O为▱ABCD对角线交点，过O的两直线m、n互相垂直，且与四边形各边相交于E、F、G、H．试判断四边形EFGH的形状，并给出证明．

7．已知如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于h，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，求它的面积．

8．如图，以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF．

（1）求证：△FAC≌△BAE；

（2）图中可以通过旋转△BAE而得到△FAC，请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数．

9．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）求证：四边形AECF是菱形．

（3）若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？

10．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．

（1）求证：四边形EGFH是矩形；

（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．

参考答案

1．（1）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，

∴DE∥AC，DF∥AB，

即DE∥AF，DF∥AE，

∴四边形EDFA是平行四边形；

（2）当∠B＝∠C时，四边形EDFA是菱形，

证明：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，

∴DE＝AC，DF＝AB，

∵∠B＝∠C，

∴AC＝AB，

∴DE＝DF，

∵四边形EDFA是平行四边形，

∴四边形EDFA是菱形．

2．（1）解：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝74°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠ABC＝37°，

∵AD⊥BD，

∴∠BAD＝90°﹣37°＝53°；

（2）证明：在Rt△ADB中，点E为线段AB的中点，

∴ED＝EB

∴∠EBD＝∠EDB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠EDB＝∠CBD，

∴DE∥BC．

3．（1）证明：连接AE，如图所示：

∵O为AB的中点，

∴OA＝OB，

∵OC＝OE，

∴四边形ACBE是平行四边形，

∴AC∥BE，

∵AD∥CE，

∴四边形ACED是平行四边形．

（2）解：∵∠ACB＝90°，四边形ACED是平行四边形．

∴四边形ACED是矩形，

∴AB＝CE＝AD，

∵∠ABC＝30°，

∴∠ABD＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AB＝AD＝BD，

设AC＝x，则AB＝2AC＝2x，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（2x）2，

解得：x＝，

∴AB＝2．

∴△ABD的周长＝3AB＝6．

4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，

而F是CB的延长线上的点，

∴∠ABF＝90°，

在△ADE和△ABF中，

∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）解：∵△ADE≌△ABF，

∴∠BAF＝∠DAE，

而∠DAE+∠EAB＝90°，

∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠FAE＝90°，

∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；

故答案为A、90；

（3）解∵四边形ABCD是正方形，BC＝8，

∴AD＝8，

在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝8，

∴AE＝＝2，

∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到，

∴△ABF≌△ADE，

∴AE＝AF，∠EAF＝90°，

∴△AEF的面积＝AE2＝×68＝34．

5．（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），

∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；

又∵AM丄BC（已知），

∴AM⊥AD；

∵CN丄AD（已知），

∴AM∥CN，

∴AE∥CF；

∴∠ADE＝∠CBD，

∵AD＝BC（平行四边形的对边相等），

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（ASA），

∴AE＝CF（全等三角形的对应边相等），

∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

（2）如图，连接AC交BF于点0，当四边形AECF为菱形时，

 则AC与EF互相垂直平分，

∵BO＝OD（平行四边形的对角线相互平分），

∴AC与BD互相垂直平分，

∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），

∴AB＝BC（菱形的邻边相等）；

∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），

∴AB＝AC（等腰三角形的性质），

∴△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝60°，∠CBD＝30°；

在Rt△BCF中，CF：BC＝，

又∵AE＝CF，AB＝BC，

∴AB：AE＝．

6．答：四边形EFGH是菱形，

证明：∵O为▱ABCD对角线交点，

∴AO＝CO，AD∥CB，

∴∠AEO＝∠CGO，

∵在△AEO和△CGO中，

，

∴△AEO≌△CGO（AAS），

∴EO＝GO，

同理；FO＝HO，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵直线m、n互相垂直，

∴EG⊥FH，

∴四边形EFGH是菱形．

7．解：设AE＝x，则AD＝2x，DE＝x，

S△ADE＝x•2x＝•x•h，

解得x＝h，

AD＝2x＝h，

∴S正方形ABCD＝5h2．

8．证明：（1）∵四边形ABGF和四边形ACDE是正方形，

∴AF＝AB，AC＝AE，

∵∠BAF＝∠CAE＝90°，

∴∠BAF+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠FAC＝∠BAE，

在△FAC和△BAE中，

，

∴△FAC≌△BAE（SAS）；

（2）解：以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△FAC．

9．解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，

∴AE＝CE，AD＝CD，

∵CF∥AB，

∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，

在△AED与△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，

∴AE＝CF，

∵EF为线段AC的垂直平分线，

∴EC＝EA，FC＝FA，

∴EC＝EA＝FC＝FA，

∴四边形AECF为菱形．

（3）∵AD＝3，AE＝5，

∴根据勾股定理得：ED＝4，

∴EF＝8，AC＝6，

∴S菱形AECF＝8×6÷2＝24，

∴菱形AECF的面积是24

10．（1）证明：∵EH平分∠BEF，

∴∠FEH＝∠BEF，

∵FH平分∠DFE，

∴∠EFH＝∠DFE，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE＝180°，

∴∠FEH+∠EFH＝（∠BEF+∠DFE）＝×180°＝90°，

∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°，

∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°，

同理可得：∠EGF＝90°，

∵EG平分∠AEF，

∴∠GEF＝∠AEF，

∵EH平分∠BEF，

∴∠FEH＝∠BEF，

∵点A、E、B在同一条直线上，

∴∠AEB＝180°，

即∠AEF+∠BEF＝180°，

∴∠FEG+∠FEH＝（∠AEF+∠BEF）＝×180°＝90°，

即∠GEH＝90°，

∴四边形EGFH是矩形；

（2）解：答案不唯一：

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，

要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，

故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE＝FH、∠GME＝∠FQH．

故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，∠GEF＝∠EFH，即可得证．