初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形课时训练

这是一份初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形课时训练，共20页。试卷主要包含了已知，四边形ABCD是正方形等内容，欢迎下载使用。

苏科版八年级下册 第9章 《中心对称图形——平行四边形》
重难点题型训练（三）

1．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．





2．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．





3．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．



4．已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形．



5．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB＝CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．



6．四边形ABCD是正方形．
（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与B、C两点重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ABF≌△DAE；
（2）在（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系是　 　（直接写出结论即可，不需要证明）；
（3）如图2，点G是CD边上任意一点（不与C、D两点重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．那么图中全等三角形是　 　，线段EF与AF、BF的等量关系是　 　（直接写出结论即可，不需要证明）．





7．在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．
（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；
（2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．


8．如图，ABCD是正方形，G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）求证：DE＝EF+FB．


9．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点P．
（1）求证：AP＝AB；
（2）若AB＝5，求△ECF的周长．




10．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．




11．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD＝∠CBE；
（2）若∠DAB＝60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？




12．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．
（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠B＝60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．


13．如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：
（1）∠PBA＝∠PCQ＝30°；
（2）PA＝PQ．

14．已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．
（1）求证：BM＝DN；
（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；
（3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求的值．




15．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？







参考答案
1．（1）证明：当∠AOF＝90°时，
∵∠BAO＝∠AOF＝90°，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形．

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF＝EC．

（3）解：四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE
由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
在Rt△ABC中，AC＝＝＝2，
∴OA＝1＝AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOF＝45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．

2．（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，
∴EO＝CO，
同理，FO＝CO，
∴EO＝FO．

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：
∵EO＝FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠4＝×180°＝90°．
即∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．

3．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC（三线合一），即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO平分∠AEC（三线合一），
∴∠AED＝∠AEC＝×60°＝30°，
又∵∠AED＝2∠EAD
∴∠EAD＝15°，
∴∠ADO＝∠DAE+∠DEA＝15°+30°＝45°（三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，
∴平行四边形ABCD是正方形．
4．证明：（1）由菱形ABCD可知：
AB＝AD，∠B＝∠D，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；（4分）

（2）连接AC，
∵菱形ABCD，∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BAD＝120°，（2分）
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一的性质），
∴∠BAE＝30°，同理∠DAF＝30°，（2分）
∴∠EAF＝60°，由（1）可知AE＝AF，
∴△AEF为等边三角形（2分）．

5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF．

（2）解：当BC＝AF时，四边形ABFC是矩形．
理由如下：∵AB∥CF，AB＝CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．

6．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝90°．
在Rt△ABF中，∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE．
在△ABF与△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．

（2）解：EF＝AF﹣BF．
∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，
∵EF＝AF﹣AE，
∴EF＝AF﹣BF．

（3）解：△ABF≌△DAE．EF＝BF﹣AF．
证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝90°．
在Rt△ABF中，∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE．
在△ABF与△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴AE＝BF，
∴EF＝AE﹣AF＝BF﹣AF．
7．解：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE﹣DF＝EF；
在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF﹣BE＝EF；
在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE＝EF．

（2）对图①中结论证明如下：
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝90°，
又∵∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∵在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE＝AF，AE＝DF，
∵AF﹣AE＝EF，
∴BE﹣DF＝EF．
8．证明：（1）∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠AFB＝90°．（1分）
∵ABCD是正方形，DE⊥AG，
∴∠BAF+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°．
∴∠BAF＝∠ADE．（2分）
又在正方形ABCD中，AB＝AD，（3分）
在△ABF与△DAE中，∠AFB＝∠DEA＝90°，
∠BAF＝∠ADE，AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE．（5分）

（2）∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF．（6分）
又AF＝AE+EF，
∴AF＝EF+FB．
∴DE＝EF+FB．（7分）
9．证明：（1）延长CB到F′，使BF′＝DF，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF′＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠D，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′＝AF，∠1＝∠2，
∴∠EAF′＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
又∵EA＝EA，
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′＝EF，S△AEF'＝S△AEF，
而EF′•AB＝EF•AP，
∴AB＝AP．

解：（2）C△CEF＝EC+CF+EF
＝EC+CF+EF′
＝EC+BE+CF+BF′
＝BC+CF+DF
＝BC+CD＝2AB＝10．

10．（1）证明：∵AB∥CD，即AE∥CD，
又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．
∵AC平分∠BAD，∴∠CAE＝∠CAD，
又∵AD∥CE，∴∠ACE＝∠CAD，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE，
∴四边形AECD是菱形；

（2）解：△ABC是直角三角形．
证法一：∵E是AB中点，∴AE＝BE．
又∵AE＝CE，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC＝180°，
∴2∠BCE+2∠ACE＝180°，∴∠BCE+∠ACE＝90°．
即∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．

证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC，
设DE交AC于F，
∵E是AB的中点，且F为AC中点，
∴EF∥BC．∠AFE＝90°，
∴∠ACB＝∠AFE＝90°，
∴BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．

11．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴BC＝CD，AC平分∠BCD（2分）
∵CE＝CE
∴△BCE≌△DCE（4分）
∴∠EBC＝∠EDC
又∵AB∥DC
∴∠APD＝∠CDP（5分）
∴∠EBC＝∠APD（6分）

（2）解：当P点运动到AB边的中点时，S△ADP＝S菱形ABCD．（8分）
理由：连接DB
∵∠DAB＝60°，AD＝AB
∴△ABD是等边三角形（9分）
∵P是AB边的中点
∴DP⊥AB（10分）
∴S△ADP＝AP•DP，S菱形ABCD＝AB•DP（11分）
∵AP＝AB
∴S△ADP＝×AB•DP＝S菱形ABCD
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的．（12分）

12．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．
∴∠AEB＝∠CGD＝90°．
∵AE＝CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL）．
∴BE＝DG；

（2）解：当BC＝AB时，四边形ABFG是菱形．
证明：∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形．
∵Rt△ABE中，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∵BC＝AB
∴BE＝CF
∴EF＝AB
∴AB＝BF
∴四边形ABFG是菱形，
13．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形．
∴∠ABC＝∠BCD＝90°．（1分）
∵△PBC和△QCD是等边三角形．
∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°．（1分）
∴∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，（1分）
∠PCD＝∠BCD﹣∠PCB＝30°．
∴∠PCQ＝∠QCD﹣∠PCD＝30°．
∴∠PBA＝∠PCQ＝30°．（1分）

（2）∵AB＝DC＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．（1分）
∴△PAB≌△PQC．（2分）
∴PA＝PQ．（1分）
14．（1）证法一：连接BD，则BD过点O，
∵AD∥BC，
∴∠OBM＝∠ODN，
又OB＝OD，∠BOM＝∠DON，
∴△OBM≌△ODN，
∴BM＝DN；

证法二：∵矩形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心，
∴B、D和M、N关于O点中心对称，
∴BM＝DN；

（2）证法一：
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又BM＝DN，
∴AN＝CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
由翻折得，AM＝CM，
∴四边形AMCN是菱形；

证法二：由翻折得，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，
又∵∠ANE＝∠CND，
∴△ANE≌△CND，
∴AN＝CN．
∵AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∴AM＝MC＝CN＝NA，
∴四边形AMCN是菱形．

（3）解法一：∵S△CDN＝DN•CD，S△CMN＝CM•CD，
又S△CDN：S△CMN＝1：3，
∴DN：CM＝1：3，
设DN＝k，则CN＝CM＝3k，
过N作NG⊥MC于点G，
则CG＝DN＝k，MG＝CM﹣CG＝2k，
NG＝，
∴MN＝，
∴＝＝2；

解法二：∵S△CDN＝DN•CD，S△CMN＝CM•CD，
又S△CDN：S△CMN＝1：3，
∴DN：CM＝1：3，
连接AC，则AC过点O，且AC⊥MN，
设DN＝k，则CN＝AN＝CM＝3k，AD＝4k，
CD＝，
OC＝AC＝＝＝k，
∴MN＝2ON＝2＝2＝2k，
∴＝＝2．


15．解：（1）OE＝OF．
证明如下：
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠2．
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3．
∴∠2＝∠3．
∴OE＝OC．
同理可证OC＝OF．
∴OE＝OF．

（2）四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，
而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．

（3）当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）时，四边形AECF是正方形．
理由如下：
∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵由（1）知OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∠1+∠2+∠4+∠5＝180°，
∴∠2+∠5＝90°，即∠ECF＝90°，
∴▱AECF为矩形，
又∵MN∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠AOM＝90°，
∴AC⊥EF．
∴▱AECF是正方形．
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．