初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形达标测试

第9章《中心对称图形—平行四边形》

常考综合题专练（三）

1．在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F

（1）求证：DF＝AB；

（2）若∠FAD＝30°，且AB＝4，求AD．

2．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，点E为AB中点，如果点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动，设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．

3．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①AE为何值时四边形CEDF是矩形？为什么？

②AE为何值时四边形CEDF是菱形？为什么？

4．在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．

经过探究，小明得出的结论是AE＝EF．而要证明结论AE＝EF，就需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，小明想到的方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到AE＝EF．

请你参考小明的方法解决下列问题：

（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．

（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．

5．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．

（1）求证：△DCE≌△BCE；

（2）求证：∠AFD＝∠EBC；

（3）若∠DAB＝90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．

6．操作与证明：如图，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AC、AE、AF．其中AC与EF交于点N，取AF中点M，连接MD、MN．

（1）求证：△AEF是等腰三角形；

（2）在（1）的条件下，请判断MD，MN的数量关系和位置关系，并给出证明．

7．如图，在▱ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．

（1）求证：四边形AECF为平行四边形．

（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．

8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．

（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；

（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；

（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．

9．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．

（1）求证：四边形MANP是正方形；

（2）求证：EM＝BN．

10．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．

（1）求证：△BDE≌△BAC；

（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．

（3）直接回答下面两个问题，不必证明：

①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？

②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

参考答案

1．（1）证明：在矩形ABCD中，

∵AD∥BC，∠B＝90°，

∴∠AEB＝∠DAF，

又∵DF⊥AE，

∴∠DFA＝90°，

∴∠DFA＝∠B，

在△ADF和△EAB中，，

∴△ADF≌△EAB（AAS），

∴DF＝AB．

（2）解：∵∠DFA＝90°，∠FAD＝30°，

∴AD＝2DF，

∵DF＝AB＝4，

∴AD＝2AB＝8．

2．解：设点Q的运动速度为vcm/s，则 BP＝2t，CP＝6﹣2t，BE＝2，CQ＝vt．

由题可分两种情况：

（i）△BPE≌△CPQ，则 BP＝CP，BE＝CQ，

∴2t＝6﹣2t，2＝vt，

∴t＝，v＝；…（5分）

（ii）△BPE≌△CQP，则 BP＝CQ，BE＝CP，

∴2t＝vt，2＝6﹣2t．

∴t＝2，v＝2．…（10分）

综上所述，t的值为秒时，Q点的速度为cm/s；或t的值为2秒，Q点的速度为2 cm/s．…（11分）

3．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BF，

∴∠DEF＝∠CFE，∠EDC＝∠FCD，

∵G是CD的中点，

∴GD＝GC，

∴△GED≌△GFC，

∴DE＝CF，而DE∥CF，

∴四边形CEDF是平行四边形，

（2）①当AE＝4cm时，四边形CEDF是矩形．

理由：作AP⊥BC于P，

∵AB＝4cm，∠B＝60°，

∴BP＝2cm，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝4cm，AD＝BC＝6cm，

∵AE＝4cm，

∴DE＝2cm＝BP，

∴△ABP≌△CDE，

∴∠CED＝∠APB＝90°，

∴平行四边形CEDF是矩形，

∴当AE＝4cm时，四边形CEDF是矩形．

②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形．

理由：∵AE＝2cm，AD＝6cm．

∴DE＝4cm．

∵DC＝4cm，∠CDE＝∠B＝60°．

∴△CDE是等边三角形．

∴DE＝CE．

∴平行四边形CEDF是菱形．

∴当AE＝2时，四边形CEDF是菱形．

4．（1）证明：如图2，在AB上取点P，连接EP，使AP＝EC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，

∵AP＝EC，

∴BP＝BE，

∴∠BPE＝45°，∠APE＝135°，

∵CF是正方形外角的平分线，

∴∠ECF＝135°，

∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

在△PAE和△CEF中，

，

∴△PAE≌△CEF，

∴AE＝EF；

（2）证明：延长BA至H，使AH＝CE，连接HE，

∵BA＝BC，AH＝CE，

∴BH＝BE，

∴∠H＝45°，

∵CF是正方形外角的平分线，

∴∠ECF＝45°，

∴∠H＝∠ECF，

∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，∠HAE＝∠B+∠BEA，∠CEF＝∠AEF+∠BEA，

∴∠HAE＝∠CEF，

在△HAE和△CEF中，

，

∴△HAE≌△CEF，

∴AE＝EF．

5．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴CD＝AB，∠ACD＝∠ACB，

在△DCE和△BCE中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），

（2）∵△DCE≌△BCE，

∴∠CDE＝∠CBE，

∵CD∥AB，

∴∠CDE＝∠AFD，

∴∠EBC＝∠AFD，即∠F＝∠EBC；

（3）解：分两种情况：

①如图1，当F在AB延长线上时，

∵∠EBF为钝角，

∴只能是BE＝BF，

设∠BEF＝∠BFE＝x°，

可通过三角形内角形为180°得：90+x+x+x＝180，

解得：x＝30，

∴∠EFB＝30°；

②如图2，当F在线段AB上时，

∵∠EFB为钝角，

∴只能是FE＝FB，设∠BEF＝∠EBF＝x°，则有∠AFD＝2x°，

可证得：∠AFD＝∠FDC＝∠CBE，

得x+2x＝90，

解得：x＝30，

∴∠EFB＝120°．

综上：∠F＝30°或120°．

6．证明：（1）如图，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠ADF＝90°，

∵△EFC是等腰直角三角形，

∴CE＝CF，

∴BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE＝AF，

∴△AFE是等腰三角形；（4分）

（2）DM＝MN，且DM⊥MN，（6分）

理由是：如图，在Rt△ADF中，∵M是AF的中点，

∴DM＝AF，

∵EC＝FC，AC平分∠ECF

∴AC⊥EF，EN＝FN

∴∠ANF＝90°

∴MN＝AF，

∴MD＝MN，

由（1）得：△ABE≌△ADF，

∴∠BAE＝∠FAD，

∵DM＝AF＝AM，

∴∠FAD＝∠ADM，

∵∠FMD＝∠FAD+∠ADM＝2∠FAD，

∵AM＝FM，EN＝FN

∴MN∥AE，

∴∠FMN＝∠EAF，

∵∠BAD＝∠EAF+∠BAE+∠FAD＝∠EAF+2∠FAD＝90°，

∴∠DMN＝∠FMN+∠FMD＝∠EAF+2∠FAD＝90°，

∴MD⊥MN（14分）

7．证明：在▱ABCD中，

∵AD∥BC，AD＝BC，

∴∠EBC＝∠ADF，

由题意知，BE＝DF，

在△BEC与△DFA中，

，

∴△BEC≌△DFA（SAS），

∴CE＝AF，

同理可得：AE＝CF，

∴四边形AECF为平行四边形；

（2）当t＝2或t＝10时以点A，C，E，F为顶点的四边形为矩形；

理由：由矩形的性质知 OE＝OF、OA＝OC，要使∠EAF是直角，只需OE＝OF＝OA＝AC＝4cm．

则∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，

∴2∠2+2∠3＝180°，

∴∠2+∠3＝90°

即∠EAF＝90°．

此时BE＝DF＝（BD﹣EF）＝（12﹣8）＝2cm或BE＝DF＝12﹣2＝10cm

8．证明：（1）在△ABC和△ADC中

，，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠BAC＝∠DAC，

在△ABF和△ADF中

，

∴△ABF≌△ADF，

∴∠AFB＝∠AFD，

∵∠CFE＝∠AFB，

∴∠AFD＝∠CFE，

∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；

（2）∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∵∠BAC＝∠DAC，

∴∠BAC＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠ACD，

∴AD＝CD，

∵AB＝AD，CB＝CD，

∴AB＝CB＝CD＝AD，

∴四边形ABCD是菱形；

（3）∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，

∵CF＝CF，

∴△BCF≌△DCF，

∴∠CBF＝∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC＝∠DEF＝90°，

∴∠EFD＝∠BCD．

9．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，（1分）

∵PM⊥AD，PN⊥AB，

∴∠PMA＝∠PNA＝90°，

∴四边形MANP是矩形，（2分）

∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，

∴PM＝PN，（3分）

∴四边形MANP是正方形；（4分）

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴PM＝PN，∠MPN＝90°，

∵∠EPB＝90°，

∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，

∴∠MPE＝∠NPB，（5分）

在△EPM和△BPN中，

∵，

∴△EPM≌△BPN（ASA），（6分）

∴EM＝BN．（7分）

10．（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，

∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．

∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．

在△BDE和△BAC中，

，

∴△BDE≌△BAC（SAS），

（2）∵△BDE≌△BAC，

∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．

∵AD是正方形ABDI的对角线，

∴∠BDA＝∠BAD＝45°．

∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，

∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD

＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°

＝225°﹣∠BAC

∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°

∴DE∥AG，

∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．

（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．

则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，

即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；

②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．

由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．

∵四边形ABDI是正方形，

∴AD＝AB．

又∵四边形ACHG是正方形，

∴AC＝AG，

∴AC＝AB．

∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．