苏科版八年级下册9.3 平行四边形综合训练题

这是一份苏科版八年级下册9.3 平行四边形综合训练题，共19页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。


1．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于点F．
（1）求证：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数．
2．如图，在▱ABCD的边BC上任取一点P，过点P作对角线BD的平行线与CD交于点Q，连接PA，PD，QA，QB，则与△ABP面积相等的三角形有几个？写出它们，并说明理由．
3．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，CE平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？
（2）若AB＝1，∠DCE＝22.5°，求BC长．
4．矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH的顶点E、G在矩形的边AD、BC上；顶点F、H在矩形的对角线BD上．
（1）如图1，当四边形EFGH是平行四边形时，求证：△DEH≌△BGF．
（2）如图2，当四边形EFGH是正方形时，求BF的长．
5．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC，FC⊥AC．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF．
6．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，点E是CF的中点，DF∥AC交CE延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，∠AFC＝90°，AB＝1，求CF的长．
7．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
8．已知：平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，对角线AC⊥CD．
（1）如图1，若AD＝6，求平行四边形ABCD的面积．
（2）如图2，连接BD交AC于O点，过点A作AE⊥BD于E，连接EC．求证：ED＝AE+EC．
9．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
10．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）猜想当AD、BC满足怎样的数量关系时，四边形ADCE是正方形，并说明理由．
11．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，OE＝OF．求证：AE＝BF．
12．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
13．如图，点B在线段AF上，AB＝8，BF＝4，分别以AB，BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF，DE．
（1）求证：CF＝DE；
（2）连接DG，若H是DG的中点，求BH的长；
（3）在（2）的条件下延长BH交CD于M，求CM的长．
14．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b＝++16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．
15．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上一点，满足CF⊥CP，过点B作BM⊥CF，分别交AC、CF于点M、N．
（1）若AC＝AP，AC＝3，求△ACP的面积；
（2）若BC＝MC，证明：CP＝BM+2FN．
参考答案
1．（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，
在△ADP和△CDP中
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA＝PC，
∵∠PAE＝∠E，
∴PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠EDF＝90°，
由（1）知，△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°．
2．解：与△ABP面积相等的三角形有2个，分别为△PBD，△BDQ，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴S△BDP＝S△ABP，
∵PQ∥BD，
∴S△BDQ＝S△PBD，
∴S△PBD＝S△ABP，
∴与△ABP面积相等的三角形有2个，分别为△PBD，△BDQ．
3．解：（1）△BEC是等腰三角形，
理由是：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵CE平分∠BED，
∴∠DEC＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠ECB，
∴BE＝BC，
∴△BEC是等腰三角形．
（2）解：∵矩形ABCD，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠DCE＝22.5°，
∴∠DEB＝2×（90°﹣22.5°）＝135°，
∴∠AEB＝180°﹣∠DEB＝45°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AE＝AB＝1，由勾股定理得：BE＝BC＝＝，
答：BC的长是．
4．解：在Rt△BCD中，tan∠DBC＝＝＝tanα，则sin，csα＝，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDH＝∠GBF，
（1）∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EH＝FG，∠EHF＝∠GFH，
∴∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠EHD＝180°﹣∠EHF＝∠BFG，
又∵∠EDH＝∠GBF，
∴△DEH≌△BGF（AAS）；
（2）∵四边形EFGH是正方形也为平行四边形，
故由（1）得：△DEH≌△BGF（AAS），
∴BF＝DH，
设BF＝x＝DH，
如下图，过点H作HK⊥BC于点K，作HN⊥CD于点N，作FM⊥BC于点M，
在Rt△BFM中，FM＝BFsin∠FBM＝xsinα＝＝DN，
同理BM＝＝HN＝CK，
∵∠FGM+∠HGK＝90°，∠HGK+∠GHK＝90°，
∴∠GHK＝∠FGM，
又∵∠HKG＝∠GMF＝90°，FG＝GH，
∴△HKG≌△GMF（AAS），
∴GM＝HK＝CN＝CD﹣DN＝6﹣，GK＝FM＝，
∴BC＝BM+MG+GK+KC＝+（6﹣）++＝8，
解得：x＝，
即BF的长为．
5．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵EA⊥AC，FC⊥AC，
∴EA∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴EC＝AF，
∴BE＝BC﹣EC＝AD﹣AF＝DF，
∴在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）过点A作AG⊥EC于点G，如图所示：
∵EA⊥AC，∠AEC＝45°，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∵AG⊥EC，
∴AG＝EC＝AF，
∵∠B＝30°，
∴AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴AB＝AF．
6．（1）证明：∵DF∥AC，
∴∠DFC＝∠OCF，∠EDF＝∠EOC，
∵点E是CF的中点，FE＝CE，
∴△DEF≌△OEC（AAS），
∴DF＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∴DF＝OA，且DF∥AO，
∴四边形AODF是平行四边形，
又∵OA＝OD，
∴平行四边形AODF是菱形；
（2）解：由（1）得：OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝1，
∵四边形AODF是菱形，
∴AF＝OA＝1，AF∥BD，
∴∠FAC＝∠AOB＝60°，
∵∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝30°，
∴CF＝AF＝．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
又∵∠AEC＝140°，
∴∠CEB＝70°，
∵∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，
∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，
∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．
8．解：（1）∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AD＝6，
∴AC＝CD＝AD＝3，
∴平行四边形ABCD的面积＝33＝18；
（2）过C作FC⊥BD于F，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∵平行四边形ABCD中，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，OE＝OF，
∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
设AC＝AB＝2x，
∴AD＝BC＝2x，
∴AO＝x，
∴BO＝DO＝＝x，
∵S△AOB＝AB•AO＝BO•AE，
∴AE＝＝＝，
∴OE＝OF＝＝x，
∴EF＝CF＝x，
∴CE＝EF＝x，
∵DE＝＝x，AE+EC＝x+x＝x，
∴ED＝AE+EC．
9．解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AF＝5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC＝5t，QA＝CD+AD﹣4t＝12﹣4t，即QA＝12﹣4t，
∴5t＝12﹣4t，
解得，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP＝CQ，即a＝12﹣b，得a+b＝12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ＝CP，即12﹣b＝a，得a+b＝12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP＝CQ，即12﹣a＝b，得a+b＝12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b＝12（ab≠0）．
10．（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝×180°＝90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当AD＝BC时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BC，
∴AD＝BC，
∴AD＝CD，
∴矩形ADCE是正方形．
11．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB，AC⊥BD，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SAS）
∴AE＝BF．
12．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，
∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．
13．（1）证明：∵四边形ABCD与四边形BFGE都是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC＝8，BE＝BF＝FG＝4，∠DCE＝∠CBF＝90°，AF∥EG∥CD，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣4＝4，
∴CE＝BF，
在△DCE和△CBF中，，
∴△DCE≌△CBF（SAS），
∴CF＝DE；
（2）解：过点H作HN⊥AB于N，如图1所示：
则HN∥AD∥GF，
∵H是DG的中点，
∴HN是梯形ADGF的中位线，
∴NH＝（AD+FG）＝×（8+4）＝6，NF＝（AB+BF）＝×（8+4）＝6，
∴BN＝NF﹣BF＝6﹣4＝2，
∴BH＝＝＝2；
（3）解：延长GE交BM于点N，如图2所示：
则EN∥CD，
∵H是DG的中点，
∴DH＝GH，
∵EG∥CD，
∴∠MDH＝∠NGH，
在△DMH和△GNH中，，
∴△DMH≌△GNH（ASA），
∴DM＝GN，
∵CE＝BE＝4，EN∥CD，
∴EN是△BCM的中位线，
∴CM＝2EN，
设EN＝x，则CM＝2x，DM＝8﹣2x，
∵DM＝GN，
∴8﹣2x＝4+x，
解得：x＝，
∴CM＝2x＝．
14．解：（1）∵b＝++16，
∴a＝21，b＝16，
故B（21，12）C（16，0）；
（2）由题意得：AP＝2t，QO＝t，
则：PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，
∵当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，
∴21﹣2t＝16﹣t，
解得：t＝5，
∴P（10，12）Q（5，0）；
（3）当PQ＝CQ时，过Q作QN⊥AB，
由题意得：122+t2＝（16﹣t）2，
解得：t＝，
故P（7，12），Q（，0），
当PQ＝PC时，过P作PM⊥x轴，
由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，
则t＝16﹣2t，
解得：t＝，2t＝，
故P（ ，12），Q（，0）．
15．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC＝AP，AC＝3，
∴AP＝AC＝×3＝，AD＝CD＝3，
∴S△ACP＝AP•CD＝××3＝．
∴△ACP的面积为；
（2）证明：如图，在CF上截取NG＝FN，连接BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD，∠CBF＝∠CDP＝∠BCD＝∠BCF+∠FCD＝90°．
又∵CF⊥CP，
∴∠DCP+∠FCD＝90°．
∴∠BCF＝∠DCP，
∴△BCF≌△DCP（ASA）．
∴CF＝CP．
∵BC＝MC，BM⊥CF，
∴∠BCF＝∠ACF＝∠BCA＝22.5°，
∴∠CFB＝67.5°．
∵BM⊥CF，NG＝FN，
∴BF＝BG，
∴∠FBG＝45°，∠FBN＝22.5°．
∴∠CBG＝45°．
∵在△BCG和△ABM中，∠BCG＝∠ABM，BC＝AB，∠CBG＝∠BAM，
∴△BCG≌△ABM（ASA）．
∴BM＝CG，
∴CP﹣BM＝CF﹣CG＝FG＝2FN，
∴CP＝BM+2FN．