初中数学第二章 相交线与平行线综合与测试同步训练题

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【考点1 点到直线的距离】
【方法点拨】从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【例1】（2020春•江汉区月考）如图，AD⊥AC交BC的延长线于点D，AE⊥BC交BC的延长线于点E，CF⊥AB于点F，则图中能表示点A到直线BC的距离的是（ ）
A．AD的长度B．AE的长度C．AC的长度D．CF的长度
【变式1-1】（2020春•思明区校级期末）如图，AC⊥BF，CD⊥AB于点D，点E在线段BF上，则下列说法错误的是（ ）
A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离
B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离
C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离
D．线段BE的长度是点B到直线CD的距离
【变式1-2】（2020春•大新县期末）如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝3cm，则点P到直线m的距离为（ ）
A．3cmB．小于3cm
C．不大于3cmD．以上结论都不对
【变式1-3】（2020春•涟源市期末）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．③④D．①②③④
【考点2 垂线段最短在生活中的应用】
【方法点拨】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
【例2】（2020春•新泰市期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【变式2-1】（2020春•芝罘区期末）如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．经过一点有无数条直线
【变式2-2】（2020秋•海淀区校级期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，那么体育陈老师测量小明同学的体育成绩，应该选取线段 的长度，其依据是 ．
【变式2-3】（2020春•赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
【考点3 相交线中的交点个数问题】
【例3】（2020春•涟源市期末）平面上有3条直线，则交点可能是（ ）
A．1个B．1个或3个
C．1个或2个或3个D．0个或1个或2个或3个
【变式3-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）同一平面内两两相交的四条直线，最多有m个交点，最少有n个交点，那么mn是（ ）
A．1B．6C．8D．4
【变式3-2】（2020秋•邢台期中）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（ ）
A．100个B．135个C．190个D．200个
【变式3-3】（2020春•无棣县期末）在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点；四条直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至n变化时，最多可有的交点数P与直线条数n之间的关系如下表：
则n与p的关系式为： ．
【考点4 与对顶角、领补角有关的角度计算】
【方法点拨】掌握对顶角相等、邻补角之和为180°是解此类题的关键.
【例4】（2020秋•长春期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠BOD：∠BOE＝1：2，则∠AOE的大小为（ ）
A．72°B．98°C．100°D．108°
【变式4-1】如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝α，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC＝（ ）
A．540°﹣5αB．540°﹣6αC．30°D．40°
【变式4-2】（2020秋•原州区期末）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠BOF＝50°，求∠AOC与∠AOE的度数．
【变式4-3】（2020秋•铁西区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．
【考点5 平行线中的基本事实】
【方法点拨】基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行.
【例5】（2020春•港南区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
【变式5-1】（2020春•铁西区校级月考）下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4B．3C．2D．1
【变式5-2】（2020春•垦利区期末）下列说法正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-3】（2020秋•沈丘县期末）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
【考点6 三线八角的识别】
【方法点拨】直线AB，CD被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：
*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；
*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；
*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；
【例6】（2020春•江夏区月考）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠4是内错角
C．∠5与∠6是内错角D．∠3与∠5是同位角
【变式6-1】（2020春•舞钢市期末）如图，给出以下说法：①∠B和∠1是同旁内角；②∠3和∠4是内错角；③∠B和∠AEC是同位角；④∠A和∠3是内错角；⑤∠2和∠3是对顶角，其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式6-2】（2020春•长春月考）根据图形填空：
（1）若直线ED、BC被直线AB所截，则∠1和 是同位角；
（2）若直线ED、BC被直线AF所截，则∠3和 是内错角；
（3）∠1和∠3是直线AB、AF被直线 所截构成的内错角．
（4）∠2和∠4是直线AB、 被直线BC所截构成的 角．
【变式6-3】（2020秋•崇川区校级期末）复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．
（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角．
（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有 对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
【考点7 平行线的判定】
【方法点拨】两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：
平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行；
平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行；
平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行；
平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行.
【例7】（2020春•越秀区校级月考）如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠2＝∠3D．∠4+∠5＝180°
【变式7-1】（2020秋•海淀区校级期末）如图，在下列给出的条件中，可以判定AB∥CD的有（ ）
①∠1＝∠2；
②∠1＝∠3；
③∠2＝∠4；
④∠DAB+∠ABC＝180°；
⑤∠BAD+∠ADC＝180°．
A．①②③B．①②④C．①④⑤D．②③⑤
【变式7-2】（2020秋•叙州区期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式7-3】（2020春•桃江县期末）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，添加一个条件，仍不能判定AB∥CD，添加的条件可能是（ ）
A．∠BOE＝55°B．∠DOF＝35°
C．∠BOE+∠AOF＝90°D．∠AOF＝35°
【考点8 平行线中的推理过程填空】
【例8】（2020秋•香坊区校级期中）完成下面推理过程．
如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）
∴∠A+∠ABC＝180°
∴AD∥BC（ ）
∴∠1＝ （ ）
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（ ）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°
∴BD∥EF（ ）
∴∠2＝ （ ）
∴∠1＝∠2（ ）
【变式8-1】（2020秋•香坊区校级期中）几何说理填空：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．
证明：连接EF
∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC＝∠HEC＝90°（ ）．
∴ ∥ （ ）．
∴∠3＝∠ （ ）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4．
即∠DEF＝∠EFC
∴DE∥BC（ ）．
【变式8-2】（2020春•栖霞市期中）完成下列推理，并填写完理由．
已知，如图，∠BAE+∠AED＝180°，∠M＝∠N，试说明：∠1＝∠2．
解：∵∠BAE+∠AED＝180°（已知）
∴ ∥ （ ）
∴∠BAE＝ 又∵∠M＝∠N（已知）
∴ ∥ （ ）
∴∠NAE＝ （ ）
∴∠BAE﹣∠NAE＝ ﹣ （ ）
即∠1＝∠2
【变式8-3】（2020秋•南岗区校级期中）如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．
证明：
∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（ ）
∴AD∥BC（ ）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（ ）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（ ）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（ ）
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD
∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=12∠BAD
∴∠ABE+∠BAF=12∠ABC+12∠BAD=12×180°＝90°
∵AB∥EF（ ）
∴∠BAF＝∠F（ ）
∵∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（ ）
【考点9 平行线的判定及性质的证明】
【例9】（2020秋•丹东期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
【变式9-1】（2020秋•吉水县期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．
【变式9-2】（2019秋•市南区期末）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．
（1）请你判断∠1与∠ABD的数量关系，并说明理由；
（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．
【变式9-3】（2020春•香洲区校级期中）如图，AD交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．
（1）证明AD∥EF；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，∠F＝∠H，则∠BAD和∠CAD相等吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若FH⊥BC，∠C＝30°，求∠F的度数．
【考点10 平行线中的折叠问题】
【例10】（2020秋•苏州期中）将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．48°B．58°C．60°D．69°
【变式10-1】（2020春•越城区校级期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【变式10-2】（2020秋•番禺区期末）如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是 ．
【变式10-3】（2020秋•香坊区期末）如图1是长方形纸带，将长方形ABCD沿EF折叠成图2，使点C、D分别落在点C1、D1处，再沿BF折叠成图3，使点C1、D1分别落在点C2、D2处．
（1）若∠DEF＝20°，求图1中∠CFE的度数；
（2）在（1）的条件下，求图2中∠C1FC的度数；
（3）在图3中写出∠C2FE、∠EGF与∠DEF的数量关系，并说明理由．
【考点11 平行线中的辅助线构造】
【例11】（2020春•高州市期中）（1）如图甲，AB∥CD，∠BEC与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程；
（2）如图乙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系 ；
（3）如图丙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的数量关系 ．
【变式11-1】（2020春•英德市期中）直线AB∥CD，E为直线AB、CD之间的一点，完成以下问题：
（1）如图1，若∠B＝15°，∠BED＝90°，则∠D＝ ；
（2）如图2，若∠B＝α，∠D＝β，求出∠BED的度数（用a、β表示）；
（3）如图3，若∠B＝α，∠C＝β，则a、β与∠BEC之间有什么等量关系？请猜想证明．
【变式11-2】（2020春•竹溪县期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
（1）端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 度．
（2）端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC+（∠A﹣∠C）＝ 度
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC与（∠A﹣∠C）有怎样的等量关系？写出结论并说明理由．
【变式11-3】（2020春•咸宁期末）（1）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、CE，试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC；
（2）（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE＝360°
（3）（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG＝36°，求∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的度数．
【考点12 平行线的判定及性质与角平分线综合】
【例12】（2020秋•禅城区期末）阅读下面内容，并解答问题
在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题，并写出解答过程．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．
【变式12-1】（2020秋•盘龙区期末）阅读下面材料：
小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝ ．
∵AB∥CD，
∴ ∥ ，
∴∠FED＝ ．
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
【变式12-2】（2020秋•绿园区期末）[感知]如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：
解；（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠PFD＝130°（已知），
∴∠2＝180°﹣130°＝50°（等式的性质），
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°（等式的性质）．
即∠EPF＝90°（等量代换）．
[探究]如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是 °．
【变式12-3】（2020秋•市中区期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
【考点13 与平行线有关的方向问题】
【例13】（2020春•河东区期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°
B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°
D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
【变式13-1】（2020春•顺德区校级期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（ ）
A．170°B．160°C．150°D．140°
【变式13-2】（2020•清苑区一模）一艘轮船从A港出发，沿着北偏东63°的方向航行，行驶至B处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西27°方向航行，到达C后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过的度数为（ ）
A．63°B．27°C．90°D．50°
【变式13-3】（2020春•蒙阴县期末）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67度方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，由B点沿北偏东23度的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，使所修路段CE∥AB，此时∠ECB有多少度？试说明理由．
【考点14 用尺规作角】
【例14】（2020春•英德市期中）已知∠α．求作∠CAB＝∠α．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【变式14-1】（2020春•焦作期末）如图，已知∠AOB，点P是OA边上的一点．
（1）在OA的右侧作∠APC＝∠AOB（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线PC与直线OB的位置关系，并说明理由．
【变式14-2】（2020春•荥阳市期中）已知∠α、∠β，求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α+∠β（保留作图痕迹）．
【变式14-3】（2020秋•瑶海区期末）作图与计算
（1）已知：∠α，∠AOB
求作：在图2中，以OA为一边，在∠AOB的内部作∠AOC＝∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
（2）过点O分别引射线OA、OB、OC，且∠AOB＝65°，∠BOC＝30°，求∠AOC的度数．直线条数n/条
2
3
4
5
6
7
8
…
最多交点个数p/个
1
3
6
10
…
…
…
…