安徽省合肥市肥西县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案）

安徽省合肥市肥西县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．抛物线y＝2（x+3）2﹣4的对称轴是（　　）

A．直线y＝4 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝3 D．直线y＝﹣3

2．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（　　）

A． B． C． D．

3．若反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是（    ）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0

4．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（    ）

A．y＝x2＋a B．y＝a（1＋x）2 C．y＝（1﹣x）2＋a D．y＝a（1﹣x）2

5．如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是(　　)

A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2

6．在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值（　　）

A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．不能确定

7．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为

A．12米 B．4米 C．5米 D．6米

8．如图，等边的边长为，是它的中位线，则下列三个结论：①；②；③与的面积之比为．其中正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

9．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．抛物线y＝﹣x2＋2向右平移1个单位得到抛物线_____．

12．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为_____．

13．如图，△ABC是测量小玻璃管内径的量具，AB的长为18cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（D、E分别在AC、BC上，且DE∥AB），那么小玻璃管内径DE是_____cm．

14．若A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是_____（用“＜”号连接）．

15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝m有实数根，则m的取值范围是_____．

三、解答题

16．计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．

17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，8），B（4，2），C（8，6）．在第一象限内，画出以原点O为位似中心，与△ABC的相似比为的△A1B1C1，并写出A1，C1点的坐标．

18．如图，已知是反比例函数的图象与一次函数的图象的两个交点．

（1）求此反比例函数和一次函数的表达式；

（2）根据图象写出不等式的解集．

19．一船以20nmile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东45°的方向上，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东15°的方向上，求此时船与灯塔相距多少海里？

20．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求运动员落水点与点C的距离．

21．如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．

（1）求证：；

（2）若，求的面积；

（3）请直接写出为何值时，的面积最大．

参考答案

1．B

【分析】

已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．

【详解】

y＝2﹣4是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴是x＝﹣3

故选B．

【点睛】

本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标,熟记二次函数的顶点式,顶点坐标为,对称轴为.

2．C

【分析】

由2a＝5b，根据比例的性质，即可求得答案．

【详解】

∵2a＝5b，∴或．故选C．

【点睛】

此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知等式与分式的性质.

3．D

【分析】

先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，进而可得出结论．

【详解】

解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，

∴k+1＞0，解得k＞－1，

∴k的值可以是0．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．

4．B

【分析】

用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．

【详解】

解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y=a（1+x）2．
故选：B．

【点睛】

此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

5．C

【详解】

设留下矩形的宽为xcm，

∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，

∴，

解得

则留下矩形的面积为 .

故选C.

6．C

【分析】

根据锐角三角函数的定义，可得答案．

【详解】

解：由题意，得

Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值不变，

故选：C．

【点睛】

本题考查了正弦函数的概念,属于简单题.理解正弦函数的定义是解题关键.

7．A

【分析】

试题分析：在Rt△ABC中，BC=6米，，∴AC=BC×=6（米）.

∴（米）.故选A.

【详解】

请在此输入详解！

8．D

【分析】

根据相似三角形的判定和性质以及三角形的中位线的性质逐个分析，即可得出正确答案．

【详解】

①∵△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，

∴DE=BC=×2=1

故本选项正确；

②∵△ABC中，DE是它的中位线，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

故本选项正确；

③∵△ADE∽△ABC，相似比为1:2，

∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4.

故本选项正确.

故答案选D.

【点睛】

本题考查了三角形中位数定理与等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握三角形中位数定理与等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质.

9．B

【详解】

根据勾股定理，AB==2，

BC==，

AC==，

所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，

A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；

B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；

C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；

D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故本选项错误．

故选B．

10．A

【分析】

分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去△MNE的面积得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行分析判断即可．

【详解】

解：当0＜x≤1时，，

当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，

CD=x，则，

∵Rt△ABC中，AC=BC=2，

∴△ADM为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴S△ENM，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查动点问题的函数图象：通过看图获取信息，考查学生问题分析能力，解题的关键是分两种情况考虑：当0＜x≤1和当1＜x≤2．

11．．

【分析】

根据“左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

解：将抛物线向右平移1个单位所得直线解析式为：；

即：．
故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握函数图象平移的法则是解题的关键．

12．

【分析】

过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．

【详解】

解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，

设小正方形的边长为1，

则AE=3，BE=4，

所以tan∠ABC=，

故答案为：

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，能构造直角三角形是解此题的关键．

13．12

【分析】

利用平行证明△CDE∽△CAB，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求DE长．

【详解】

∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CAB，

∴，即

解得：cm

故答案为：12

【点睛】

本题考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及其性质：相似三角形对应边成比例．

14．y1＜y3＜y2

【分析】

根据反比例函数的增减性解答即可．

【详解】

解：∵k＞0，故反比例函数图象的两个分支在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．

∴A（-3，y1）在第三象限，B（1，y2），C（2，y3）在第二象限，且1＜2，

∴y1＜0，0＜y3＜y2，

故y1，y2，y3的大小关系为y1＜y3＜y2．

故答案为y1＜y3＜y2．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

15．m≥﹣3

【分析】

由于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝m有实数根，可得y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和y=m有交点，由此即可解答．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点的纵坐标为－3，

∴当关于x的方程ax2＋bx＋c＝m有实数根时，

即抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和直线y=m有交点，

∴m≥﹣3

故答案为：m≥﹣3

【点睛】

本题考查了一元二次方程与二次函数，根据一元二次方程有实数根可得y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和y=m有交点是解决问题的关键．

16．0

【分析】

由特殊角的三角函数值进行化简，然后进行计算，即可得到答案．

【详解】

解：原式＝2×1﹣﹣2×（）2＋

＝2﹣2﹣

＝0；

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，以及实数的加减运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．

17．见解析，A1（2，4），C1（4，3）

【分析】

把A、B、C的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可．

【详解】

如图，△A1B1C1为所作，A1（2，4），C1（4，3）．

【点睛】

本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，解答本题的关键是掌握位似变换的定义．

18．（1）（2）或

【详解】

试题分析：（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出m的值，从而得到反经例函数解析式，再将B点坐标代入，可求出n值，再利用A、B两点坐标通过待定系数法即可求出一次函数解析式；

（2）结合两函数的上下位置关系，并结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集.

试题解析：

（1）∵ 在反比例函数图像上，

∴

∴反比例函数为；

又∵B（n，－4）也在图像上，

∴，即 ，

由题意：，解得：，

∴一次函数为；

（2）由图象及，知，

不等式的解集为或

19．海里

【分析】

过作，垂足为，在中，根据三角函数求得的长，再在中运用三角函数即可求解．

【详解】

如图，过B作BD⊥AC，垂足为D，

∵在Rt△ABD中，∠BAC＝45°，AB＝20×1＝20（海里），

∴BD＝ABsin45°＝20×＝10（海里），

∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°＋15°＝60°，

∴BC＝＝20（海里），

∴此时航船与灯塔相距20海里．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用、三角函数等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．

20．（1）y＝﹣（x﹣3）2＋4；（2）5米

【分析】

（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A的坐标，求得a的值，则可求得抛物线的解析式；

（2）令y=0，得关于x的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．

【详解】

解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，

由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2＋4，

将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）2＋4，

解得：a＝﹣1，

∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2＋4；

（2）∵y＝﹣（x﹣3）2＋4，

∴令y＝0得：0＝﹣（x﹣3）2＋4，

解得：x1＝1，x2＝5，

∵起跳点A坐标为（2，3），

∴x1＝1，不符合题意，

∴x＝5，

∴运动员落水点与点C的距离为5米．

【点睛】

本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．

21．（1）见解析；（2）8；（3）5

【分析】

（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出结论.

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG=∠DCG=45°，
∵∠G=90°，
∴∠GCF=∠CFG=45°，
∴FG=CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB=BC=10，CE=2，
∴BE=8，
∴FG=CG，
∴EG=CE+CG=2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，

∴，

∴，

∴FG=8，
∴S△ECF=CE•FG=×2×8=8；

（3）设CE=x，则BE=10-x，
∴EG=CE+CG=x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，

∴，

∴，

∴FG=10-x，
∴S△ECF=×CE×FG=×x•（10-x）=，

当x=5时，S△ECF最大=，

∴当EC=5时，的面积最大.

【点睛】

此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．