数学3 长方体和正方体综合与测试教学设计

这是一份数学3 长方体和正方体综合与测试教学设计，共20页。教案主要包含了知识梳理，方法归纳，课堂精讲，讲练结合题，课后自测练习1.9664等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图，了解长方体和正方体的关系，掌握长方体和正方体的表面积的意义，及长方体和正方体的表面积的计算方法，初步建立了空间观念， 学会用数学的眼光观察生活中物体的形状，并能解决生活中的一些实际问题。
长方体和正方体都是立体图形，其特征如下：
课程目标
认识长方体和正方体的特征，弄清长方体和正方体的关系；
掌握长方体和正方体的棱长和公式、表面积及体积的计算方法。
运用长方体和正方体的表面积和体积的计算公式解决数学问题，并能解决生活 中的一些实际问题。
课程重点
掌握长方体和正方体的表面积的意义，及长方体和正方体的表面积的计算方法，
并能解决生活中的一些实际问题。
课程难点
长方体或正方体的接补部分是增加或减少四个面积的面积；长方体和正方体表面 挖去一个正方体，体积减少了，但是表面积增加了四个面的面积。
教学方法建议
要求学生在熟记正方体和长方体的棱长和公式、侧面积和表面积公式及体积公式 的基础上，再通过练习实际问题进行巩固公式及公式的变形。
长方体
正方体
相同点
都有 个面
个顶点 条棱
不同点
面的形状
6 个面一般都是长方形，也可能
（）个相对的面是正方形
6 个面都是（
）形
面的大小
相对的面的面积相等
6 个面的面积都相等
棱
长
12 条棱分为三组，每组 4 条，长度
相等
12 条棱的长度都相等
长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4L=（a＋b＋h）×4 长=棱长总和÷4－宽 －高a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高b=L÷4－a－h 高=棱长总和÷4－长 －宽h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12a=L÷12
长方体或正方体的表面积和体积
箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。常用的容积单位有升和毫升也可以写成 L和 ml。
1 升=1 立方分米1 毫升=1 立方厘米1 升=1000 毫升
a3 读作“a的立方”表示 3 个 a相乘，(即 a·a·a)
表面积
体积
长方体
S 表  2ab  2ah  2bh S表  2  ab  ah  bh
(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2
V  abh 或V  长×宽×高
V  sh
正方体
S表  6a
2
S表  棱长×棱长×6
V  a 3 或V  棱长×棱长×棱长
V  s  h
【体积单位换算】高级单位低级单位
×进率
÷进率
低级单位高级单位
进率：1 立方米＝1000 立方分米＝1000000 立方厘米1 立方分米＝1000 立方厘米＝1 升＝1000 毫升
1 立方厘米＝1 毫升
1 平方米=100 平方分米=10000 平方厘米
1 平方千米=100 公顷=1000000 平方米
生活实际：
油箱、罐头盒等都是 6 个面；游泳池、鱼缸等都只有 5 个面； 水管、烟囱、 贴墙纸等都只有 4 个面：S=2（ah＋bh）
注意 1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
注意 2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大 2 倍，表面积就会扩大到原来的 4 倍）。
注意 3：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。） 注意 4：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大 2 倍，体积就会扩大到原来的 8 倍）。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。 排水法的公式：V 物体 =V 现在－V 原来
也可以V 物体 =S×(h 现在- h 原来)
V 物体 = S×h 升高
二、方法归纳
1.在工程上，“1m³”的土、沙、石等均简称“1 方”。
2.体积单位间的进率：1dm³ =1000 cm³1m³ =1000 dm³
长度单位相邻两个单位之间的进率是 10；面积单位相邻两个单位之间的进率是 100；体积单位相邻两个单位之间的进率是 1000.
单 位 换 算 ： 高 级 单 位 化 低 级 单 位X 进 率 ； 低 级 单 位 化 高 级 单 位 ÷ 进 率 。
箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升， 也可以写成 L 和 ml。
容积单位间及容积单位和体积单位间的进率：1L=1000ml1L=1dm³1ml=1cm³
形状不规则的物体可以用排水法求得它们的体积。
※举例：一个烧杯中原有水 200 毫升，放入西红柿后水位上升至 350 毫升处，则西红柿的体积就是水面上升的那部分水的体积：350-200=150（ml）=150（cm³）
长方体和正方体的表面积及体积的计算： 长方体和正方体的关系：如图（2）
长方体所具备的特征正方体都具备，所以正方体是一种特殊的长方体。它们的关系可以 用下图来表示。
生活实际
油箱、罐头盒等都是 6 个面；游泳池、鱼缸等都只有 5 个面；水管、烟囱等都只有 4 个面。
长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，所以这时的两个物体的表面积大于原来物 体的表面积。
长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大 2 倍，表面积就会扩大到原来的 4 倍）。11．容积的计算：
长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里面量长、宽、 高。（所以物体的体积大于它的容积）。
12．长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
13．把长方体或正方体截成若干
长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
被浸没物体的体积等于上升
① 容器的底面积×上升那部分水的高度。
那部分水的体积
个小计算方法
② 放入物体后的体积—原来水的体积
（如长、宽、高各扩大 2 倍，体积就会扩大到原来的 8 倍）。13．排水法：（计算不规则物体的体积）
三、课堂精讲
（一）单位间的互化：
例 1 （1）在（）里填上合适的单位
（1）一瓶墨水的体积是 60()（2）一支粉笔的体积约是 16（）
（3）一根木头的体积是 0.2()（4）摩托车油箱的容积是 35（）。
（5）一个粉笔盒的体积是大约是 1（）（6）医药箱的体积是 30()
（7）一瓶矿泉水的体积是 350（）（8）一间教室的面积大约是 60（）
9 立方米 500 立方分米=（）立方米=（）立方分米
3.6 升=（）毫升=（）立方厘米
1700 平方厘米=（）平方分米=（）平方米
例 2 （1）用一根长（
）铁丝正好可以做一个长 6 厘米、宽 5 厘米、高 3 厘米的
长方体框架。
A．28 厘米
B．126 平方厘米
C．56 厘米
D．90 立方厘米
（二）正方体与长方体的棱长和
（2）一根铁丝围成了一个长为 6cm、宽 4cm、高 2cm 的长方体的框架。这根铁丝长多少厘米？ 如果用这根铁丝围成一个正方体的框架，这个正方体的棱长是多少厘米？
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B
有一根长 52 厘米的铁丝，恰好可以焊接成一个长 6 厘米，宽 4 厘米，高（）厘米的长方体。
如图，有一个长 5 分米、宽和高都是 3 分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两
道，长着捆一道，打结处共用 2 分米。一共要用绳子多长？
（2）单位转换
5.2 立方米=（
）立方分米
0.35 立方分米=（
）立方厘米
7.05 升=（
）毫升
4.15 平方分米=（
）平方厘米
8460 立方分米=（
）立方米
950 毫升=（
）立方厘米
72.5 立方分米=（
）立方厘米
10020 立方分米=（
）立方米
3.2 立方分米=（
）立方厘米
500 立方分米=（
）立方米
（三）直接运用正方体与长方体的公式例 3．看图计算。
棱长总和：；棱长总和：； 表面积：；表面积：； 体积：；体积：；
例 4. （1）用一张边长是 10 厘米的正方形硬纸板（如图），裁剪粘贴成一个无盖的长方体
（四）正方体与长方体的体积
纸盒（不考虑接缝及损耗，长、宽、高取整厘米数），使这个纸盒的容积大于 65 立方厘米。
并标明有关数据；
②计算你设计的纸盒的容积是多少立方厘米？
①请你在这张正方形纸上画出裁剪草图，
（2）有一块棱长是 80 厘米的正方体的铁块，现在要把它熔铸成一个横截面积是 20 平方厘米的长方体，这个长方体的长是多少厘米？
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B
1．长方体的木箱的体积与容积比较（ ）。
A．一样大B．体积大C．容积大D．无法比较大小2．把一个长方体分成几个小长方体后，体积（ ）。
A．不变B．比原来大了C．比原来小了
3.一个正方体的棱长如果扩大 2 倍，那么表面积扩大（）倍，体积扩大（）倍。
（五）与正方体与长方体有关的实际问题
例 5.（1）一个长方体的无盖铁皮水桶，长和宽都是 2.5 分米，高 6 分米。做一对这样的水桶，至少需要多少平方分米铁皮？
一种长 2 米的长方体通气管的横截面是长 2.5 分米，宽 1.5 分米的长方形，制作 100
根这样的通气管至少需要多少平方米？
一盒饼干长 20 厘米，宽 15 厘米，高 30 厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
学校要砌一道长 20 米，宽 0.24 米、高 2 米的墙，每立方米需要砖 525 块，学校需要买多少块砖？
一个长方体的水池，长 8.5 米，宽 4 米，深 2 米，如果每小时可以放进 8 立方米，要放满这一池水需要多少小时？
在一个长 10 米、宽 3.5 米的长方形客厅的地面上铺设 2 厘米厚的木地板，至少需要木材多少立方米？铺好要在地板上涂上油漆，油漆面积是多少？
是多少分米？
一个长方体的药水箱里装了 60 升的药水，已知药水箱里面长 5 分米，宽 3 分米，它的深
（六）不规则图形的体积
例 6. （1）把一个苹果浸没在一个棱长为 1.5 分米的正方体水箱中，此时水箱刚好满了，拿
出苹果，水面高度为 13 厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？
（2） 把 144 升水倒入一个棱长为 6 分米的正方体容器里，水面距容器口还有多少分米？
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
一个长方体容器，底面积是 300 平方厘米，高是 10 厘米，里面盛有 5 厘米深的水。现将
一块石头放入水中，水面升高了 2 厘米。这块石头的体积是多少立方厘米?
把一个体积为 460 立方厘米的石块放入一个长方体容器中，完全进入水中后，水面由 148
厘米上升到 150 厘米，这个容器的底面积是多少?
（七）长方体与正方体的截与接：
例 7. （1）一个长 2 米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加 2.4 平方分米，这根钢材原来的体积是()。
一个长方体，如果长减少 2 厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是 96 平方厘米，原来长方体的体积是()。
一个长方体，如果高减少 3 厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了 96 平方厘米。原来长方体的体积是()立方厘米。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
把一根长 2 米的长方体木料锯成两段后，表面积增加了 100 平方厘米，它的体积是（ ）。
A．200 立方厘米B．10000 立方厘米C．2 立方分米
一个长方体正好可以切成两个棱长是 3 厘米的正方体，这个长方体的表面积是（ ）。
A．108 平方厘米 B．54 平方厘米 C．90 平方厘米 D．99 平方厘米
用 27 个体积是 1 立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（）。
一个长 15 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米的长方体的木块，可以截成（）块棱长 2 厘米的正方体木块。
把两个长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米的小长方体拼成一个大长方体，表面积最多减少
（）平方厘米，最少减少（）平方厘米。
（八）长方体与正方体综合运用
例 8. 有一个新建的小区准备修建一个游泳池，知道同学们这部分知识学得不错，想请同学
们帮个忙：游泳池长 50 米，宽 20 米，深 20 分米。
这个游泳池的占地面积是多少？
需要挖出多少方的土？
挖出的土作为一段路的路基，路宽 2 米，厚度 10 厘米，能铺多长？
如果给这个游泳池的池底和四周贴上瓷砖，每平方米需要 10 块瓷砖，那么至少需要多少块这样的瓷砖？
如果沿着游泳池的池口涂上一条红色的边线，边线的长度是多少米？
如果在游泳池中放入 1.8 米深的水，那么一共需要多少升水？
如果一个成年人的体积是 60 立方分米，100 个人在游泳池游泳，水面最多升高多少？
四、讲练结合题
1．一个长方体的长是 1 米 4 分米，宽是 5 分米，高是 5 分米，这个长方体有（）个面是正方形，每个面的面积是（）平方分米；其余四个面是长方形的面积大小（），每个面的面积是（）平方分米；这个长方体的表面积是（）平方分米，体积是
2．一个长方体的金鱼缸，长是 8 分米，宽是 5 分米，高是 6 分米，不小心前面的玻璃被打
坏了，修理时配上的玻璃的面积是（
）。
（）立方分米。
一个正方体的棱长总和是 72 厘米，它的一个面是边长（）厘米的正方形，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）。
那么大正方体的表面积是（
）平方厘米，体积是（
）立方厘米。
5．把三个棱长都是 4 厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（
）平方厘米，它
的体积是（
）立方厘米。
至少要（）个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是 5 厘米，
一个正方体的底面积是 25 平方分米，它的表面积是（）平方分米，它的体积是
（）立方分米。
有一个长方体的木料长 3 厘米，宽 3 厘米，高 2 厘米。把它切成 1 立方厘米的小方块， 可以切成（）个小方块。
一个棱长是 5 分米的正方体水池，蓄水后水面低于池口 2 分米，水的体积是（） 升。
一根长方体木料，宽 3 分米，厚 2 厘米，体积 0.12 立方米。这根木料的长是（） 米，放在地上，占地面积最大是（）平方分米。
一个木料长 3 米，宽和高都是 20 厘米，把它截成 4 段，表面积增加（）平方米。
二、解决问题：
挖一个长方体蓄水池，水池长 18 米，比宽多 10 米，深度比宽少 2 米。现有 24 个工人参
加挖池工作，如果平均每人每天挖 3 立方米，多少天才能挖完?
把一个长 70 厘米、宽 50 厘米、高 50 厘米的长方体木块削成一个体积最大的正方体，削去部分的体积是多少立方分米?
一块长 9 分米、宽 6 分米、高 8 分米的木料，锯成棱长 2 分米的正方体木块，可以锯多少块?
一个长方体油箱，底面是一个正方形，边长是 6 分米，里面已盛油 144 升，已知里面油的深度是油箱深度的一半，这个油箱深多少分米?
一个水池长 6 米、宽 5 米、高 1.5 米，池里所储的水是 36 立方米，问现在水面距池口多少米?
一个长方体容器，底面长 60 厘米，宽 38 厘米，里面沉入一个长方体钢块，当钢块取出时，
容器中的水面下降 5 厘米，如果长方体钢块的底面积是 570 平方厘米，钢块高多少厘米?
把 12 个棱长都是 2 厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？有几个不同的答案？
五．课后自测练习
一个正方体的底面周长是 16 厘米，它的表面积是()平方厘米，体积是()立方厘米。
将三个棱长是 4 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是()立方厘米， 表面积是()平方厘米。
把一个棱长 10 厘米的正方体，分成两个完全相同的长方体，这两个长方体的体积之和是()立方厘米，表面积之和是()平方厘米。
把一个长 6 厘米，宽 5 厘米，高 4 厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面积至少增加()平方厘米，至多增加()平方厘米。
把一个横截面的边长为5 厘米，长为 2 米的木料锯成 4 段后，表面积比原来增加了() 平方厘米。
把一个长 16 厘米，宽 6 厘米，高 8 厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积的和最大()平方厘米。
一个正方体的表面积是 24 平方分米，把它分成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是()。
一种正方体的棱长是 5 厘米，用 4 个这样的正方体拼成一个大长方体。大长方体的表面积可能是()平方厘米，也可能是()平方厘米。
将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为 1 立方厘米的小正方体，其中一点红色都没有的小正方体只有 3 块。原来长方体的体积是()立方厘米。
有一个长方体的底面是正方形，边长 12 分米，高为 4.2 分米，将这个长方体平均截成两个相同的长方体，表面积增加（）或（）。
把长 1.2 米的长方体木料锯成 3 段，表面积增加 48 平方分米，原来木料的体积是
（）。
一个长方体的金鱼缸，长是 8 分米，宽是 5 分米，高是 6 分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）平方分米。
一个长方体铁块，底面积是 64 平方厘米，高是 5 厘米，把它锻造成一个截面边长是 4
厘米的正方形的长方体，这个长方体的高是（）。
一个长方体高为 8 厘米，沿它的水平方向将其切成四个长方体，表面积增加了 96 平方厘米，这个长方体的体积是（）立方厘米。
把一个长 124 厘米，宽 10 厘米，高 10 厘米的长方体锯成最大的正方体，最多可以锯成
（）个。二、解决问题：
把 110 厘米长的铁丝焊成一个长方体框架，长是宽的 2 倍，宽是高的 1.5 倍，这个长方体的体积是多少?
一个长方体蓄水池，长 12 米，宽 8 米，高 4 米，如果将四壁和地面用 4 平方分米的正方形瓷砖贴上，需要多少块?
一个长方体的长、宽、高分别是 11 厘米、6 厘米、4 厘米，如果高增加 3 厘米，表面积增加多少平方厘米?
一个正方体木块，表面积是 30 平方分米，如果把它据成大小一样的 8 个小正方体木块， 每个小木块的表面积是多少?
第一讲【答案】例 1
毫升立方厘米立方米升
立方分米立方分米毫升平方米
（2）5200350
7050415
8.46950
7250010.02
32000.5
9.59500
36003600
170.17
【搭配课堂训练题】
例 2 （1）C
（2）48 厘米 4 厘米
【搭配课堂训练题】
3 厘米
42 分米
例 3．棱长总和：104 厘米；棱长总和：6 分米；
表面积：406 平方厘米；表面积：1.5 平方分米； 体积：490 立方厘米；体积：0.125 立方分米；
【搭配课堂训练题】例 4
（1）如图所示：
长和宽为 6 厘米，高是 2 厘米。容积：72 立方厘米
（2）25600 厘米
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B BA48
【搭配课堂训练题】例 5 .
（1）（2.5×2.5+2.5×6×4）×2=132.5（平方分米）
（2）2.5 分米=0.25 米，1.5 分米=0.15 米，（2×0.25+2×0.15）×2×100=160（平方米）
（20×30+15×30）×2=2100（平方厘米）
【搭配课堂训练题】
1.20×0.24×2=9.6（立方米）525×9.6=5040（块）
2.8.5×4×2÷8=8.5（小时）
3.2 厘米=0.02 米10×3.5×0.02=0.7（立方米）10×3.5=35（平方米）
4.60 升=60 立方分米60÷（5×3）=4（分米）
例 6 .
（1）1.5 分米=15 厘米15×15×（15－13）=450（立方厘米）
（2）144÷（6×6）=4（分米）4－2=2（分米）
【搭配课堂训练题】
1.300×2=600（立方厘米）
2.460÷（150－148）=230（平方厘米）
例 7 .
（1）12 立方分米
（2）96 立方厘米
（3）704
【搭配课堂训练题】
BC54 平方厘米454024
例 8 .
（1）50×20=1000（平方米）
（2）20 分米=2 米1000×2=2000（立方米）
（3）10 厘米=0.1 米2000÷（2×0.1）=10000（米）
（4）（50×20+50×2×2+20×2×2）×10=12800（块）
（5）（50+20）×2=140（米）
（6）50×20×1.8=1800（平方米）=1800000（升）
（7）
四、讲练结合题
1. 2，25，相等，70，330，350
2. 48 平方分米
3. 6，216，216 立方厘米
4. 8，600，1000
5. 64，192
6. 150，125
7. 18
8. 75
9. 20，600
10. 0.24 或者 3.6
二．解决问题
1.18-10=8（米）8-2=6（米）18×8×6÷（24×3）=12（天）
2.70×50×50－50×50×50=50000(平方厘米）=50（立方分米）
3.9÷2=4 块…1 分米6÷2=3（块）8÷2=4（块）4×3×4=48（块）
4.144 升=144 立方分米144÷6÷6=4（分米）4×2=8（分米）
5.36÷（6×5）=1.2（米）1.5－1.2=0.3（米）
6.60×38×5÷570=20（厘米）
7. 共四种拼法：
（1）12=12×1×1，即长为 24 厘米，宽为 2 厘米，高为 2 厘米； 表面积：24×2×4+2×2×2=200（平方厘米）
（2）12=6×2×1，即长为 12 厘米，宽为 4 厘米，高为 2 厘米； 表面积：（12×4+12×2+4×2）×2=160（平方厘米）
（3）12=4×3×1，即长为 8 厘米，宽为 12 厘米，高为 2 厘米； 表面积：8×12×2+8×2×2+12×2×2=272（平方厘米）
（4）12=3×2×2，即长为 6 厘米，宽为 4 厘米，高为 4 厘米； 表面积：6×4×4+4×4×2=128（平方厘米）
五、课后自测练习1.9664
2.192224
3.1000800
4.4060
5.150
6.800
7.16 平方分米8.400450 9.45
288 平方分米100.8 平方分米
144 立方分米12. 48
13. 20 厘米14. 128
15. 12
三．解决问题
解 ： 110÷4=27.5（厘米）
27.5÷（1+1.5+1.5×2）=5（厘米）
5×1.5=7.5（厘米）
7.5×2=15（厘米）
5×7.5×15=562.5（立方厘米）
解：
4 平方分米=0.04 平方米[（12×8+12×4+8×4）×2－12×8]÷0.04=6400（块）
解：
（11+6）×2×3=102（平方厘米）
解：
30÷6÷4×6=7.5（平方分米）