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初中18.2 特殊的平行四边形综合与测试教学设计
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这是一份初中18.2 特殊的平行四边形综合与测试教学设计，共8页。
[知识点梳理]
一、矩形
1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）矩形的对边平行且相等
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等且互相平分
（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距
离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
二、菱形
1、菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质
（1）菱形的四条边相等，对边平行
（2）菱形的相邻的角互补，对角相等
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
三、正方形
1、正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）正方形四条边都相等，对边平行
（2）正方形的四个角都是直角
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
（1）先证它是矩形，再证它是菱形。
（2）先证它是菱形，再证它是矩形。
4、正方形的面积
S正方形=边长的平方=两条对角线乘积的一半
四、梯形
1、梯形的相关概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。
2、梯形的判定
（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地，梯形的分类如下：
一般梯形
梯形 直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
（三）等腰梯形
1、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用）
[例题讲解]
【例题1】矩形具备而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线相等
[练习1]在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分
[练习2]下列识别图形不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【例题2】菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
[练习1]能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A.对角线相等且互相平分 B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分 D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
[练习2]下列语句中，错误的是（ ）
A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴
B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到
C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到
D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到
【例题3】正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
[练习1]下列命题中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形
B．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形
[练习2]在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BD
C．AO=BO，∠A=∠C D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
【例题4】下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是一种特殊的梯形 B．等腰梯形的两底角相等
C．等腰梯形不可能是直角梯形 D．有两邻角相等的梯形是等腰梯形
[练习1]在等腰梯形中，下列结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底角相等．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
[练习2]等腰梯形中，下列判断正确的是（ ）
A两底相等 B两个角相等 C同底上两底角互补 D对角线交点在对称轴上
[课后练习]
1、若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）
A．20° B．40° C．80° D．100°
2、直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（ ）
A．26 B．13 C．30 D．6．5
3、四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（ ）
A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90° B．AO=CO，BO=DO，AC=BD
C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180° D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°
4、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则S△BEF为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
5、如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
6、菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（ ）
A.168 cm2B.336 cm2C.672 cm2D.84 cm2
（4题） （5题） （7题） （8题）
7、如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为（ ）
A．55° B．45° C．40° D．42.5°
8、如图，正方形ABCD中，AC和BD相交于O，E是OA上一点，G是BO上一点，且OE=OG，则CG与EB的大小及位置关系是（ ）
A．CG=EB B．CG⊥EB C．CG平分EB D．CG=EB，且CG⊥EB
9、等腰梯形的上底、下底、高之比为1∶3∶1，则下底角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10、下列命题中：①有两个角相等的梯形是等腰梯形 ②有两条边相等的梯形是等腰梯形
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形 ④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分。
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11、如图，在梯形ABCD中，边AB与CD平行，对角线BD与边AD的长相等．若＝110°，°，那么等于（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
12、已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是（ ）
A．78°或120° B．102°或60° C．120°或78° D．60°或120°
13、等腰梯形上底长2cm，过它的一个端点引一腰的平行线与下底相交，所得三角形的周长为6cm，则梯形的周长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．9cm
14、矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是_______．
15、矩形ABCD的两条对角线相交于点O，如果矩形的周长是34cm，又△AOB的周长比△ABC的周长
少7cm，则AB=________cm，BC=________cm．
16、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=110°，则∠OAB=______
17、菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是______.
18、菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______.
19、菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______.
20、菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______
21、正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．
（22题） （23题） （24题） （25题）
22、如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．
23、如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是
__________．
24、已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_______．
25、如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是_______；△BPD
的面积是______．
26、如图，梯形ABCD中，，，△DEC的周长为10cm，，则梯形ABCD
的周长为________；
27、 如图，梯形ABCD中，，°，且AC平分，°，CD＝3cm，则梯形的周长为________cm；
（26题） （27题）
28、□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？
29、已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC、BD相交于点O，且BE：ED=1：3，AB=6cm，求AC的长．
30、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求证：DE=DF．
31、如图所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AO，BO交于M、N，求证：（1）BM=CN；（2）BM⊥CN
[知识点梳理]
一、矩形
1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）矩形的对边平行且相等
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等且互相平分
（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距
离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
二、菱形
1、菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质
（1）菱形的四条边相等，对边平行
（2）菱形的相邻的角互补，对角相等
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
三、正方形
1、正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）正方形四条边都相等，对边平行
（2）正方形的四个角都是直角
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
（1）先证它是矩形，再证它是菱形。
（2）先证它是菱形，再证它是矩形。
4、正方形的面积
S正方形=边长的平方=两条对角线乘积的一半
四、梯形
1、梯形的相关概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。
2、梯形的判定
（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地，梯形的分类如下：
一般梯形
梯形 直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
（三）等腰梯形
1、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用）
[例题讲解]
【例题1】矩形具备而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线相等
[练习1]在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分
[练习2]下列识别图形不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【例题2】菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
[练习1]能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A.对角线相等且互相平分 B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分 D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
[练习2]下列语句中，错误的是（ ）
A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴
B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到
C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到
D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到
【例题3】正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
[练习1]下列命题中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形
B．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形
[练习2]在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BD
C．AO=BO，∠A=∠C D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
【例题4】下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是一种特殊的梯形 B．等腰梯形的两底角相等
C．等腰梯形不可能是直角梯形 D．有两邻角相等的梯形是等腰梯形
[练习1]在等腰梯形中，下列结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底角相等．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
[练习2]等腰梯形中，下列判断正确的是（ ）
A两底相等 B两个角相等 C同底上两底角互补 D对角线交点在对称轴上
[课后练习]
1、若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）
A．20° B．40° C．80° D．100°
2、直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（ ）
A．26 B．13 C．30 D．6．5
3、四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（ ）
A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90° B．AO=CO，BO=DO，AC=BD
C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180° D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°
4、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则S△BEF为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
5、如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
6、菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（ ）
A.168 cm2B.336 cm2C.672 cm2D.84 cm2
（4题） （5题） （7题） （8题）
7、如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为（ ）
A．55° B．45° C．40° D．42.5°
8、如图，正方形ABCD中，AC和BD相交于O，E是OA上一点，G是BO上一点，且OE=OG，则CG与EB的大小及位置关系是（ ）
A．CG=EB B．CG⊥EB C．CG平分EB D．CG=EB，且CG⊥EB
9、等腰梯形的上底、下底、高之比为1∶3∶1，则下底角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10、下列命题中：①有两个角相等的梯形是等腰梯形 ②有两条边相等的梯形是等腰梯形
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形 ④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分。
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11、如图，在梯形ABCD中，边AB与CD平行，对角线BD与边AD的长相等．若＝110°，°，那么等于（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
12、已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是（ ）
A．78°或120° B．102°或60° C．120°或78° D．60°或120°
13、等腰梯形上底长2cm，过它的一个端点引一腰的平行线与下底相交，所得三角形的周长为6cm，则梯形的周长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．9cm
14、矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是_______．
15、矩形ABCD的两条对角线相交于点O，如果矩形的周长是34cm，又△AOB的周长比△ABC的周长
少7cm，则AB=________cm，BC=________cm．
16、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=110°，则∠OAB=______
17、菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是______.
18、菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______.
19、菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______.
20、菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______
21、正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．
（22题） （23题） （24题） （25题）
22、如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．
23、如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是
__________．
24、已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_______．
25、如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是_______；△BPD
的面积是______．
26、如图，梯形ABCD中，，，△DEC的周长为10cm，，则梯形ABCD
的周长为________；
27、 如图，梯形ABCD中，，°，且AC平分，°，CD＝3cm，则梯形的周长为________cm；
（26题） （27题）
28、□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？
29、已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC、BD相交于点O，且BE：ED=1：3，AB=6cm，求AC的长．
30、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求证：DE=DF．
31、如图所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AO，BO交于M、N，求证：（1）BM=CN；（2）BM⊥CN
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