北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系教案

这是一份北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系教案，共7页。教案主要包含了复习导入，探究新知，举例分析，练习巩固，课堂小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。


1．理解圆周角的定义，掌握圆周角定理．
2．会熟练运用圆周角定理解决问题．
重点
圆周角定理及其应用．
难点
圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透．
一、复习导入
1．圆心角的定义是什么？
2．如图，圆心角∠AOB的度数和它所对的eq \(AB,\s\up8(︵))的度数有何关系？
3．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条________、两条________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
二、探究新知
1．圆周角的定义
引导学生自学教材第78页的相关内容，思考如下问题：
(1)我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时，我们得到几种情况？

(2)图③中的∠BAC的顶点在什么位置？
(3)角的两边有什么特点？
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角．
2．圆周角定理
课件出示教材第78页图3－14，提出问题：
当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.
(1)在图中，eq \(AC,\s\up8(︵))所对的圆周角有几个？
(2) eq \(AC,\s\up8(︵))所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？
(3)你是通过什么方法得到的？
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
三、举例分析
例1 如图，∠AOB＝80°.

(1)你能画出几个 eq \(AB,\s\up8(︵))所对的圆周角吗？
(2)圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？
(3)这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？
(4)这几个圆周角的大小有什么关系？
(5)改变∠AOB的度数，上面的结论还成立吗？
(6)你能选择其中之一进行证明吗？
(7)大家通过合作探究还能解决其他两种情况吗？
解：如图①，∠ACB＝ eq \f(1,2)∠AOB . 理由：
∵ ∠AOB是△ACO的外角，
∴∠AOB＝∠ACO＋∠CAO.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO.
∴∠AOB＝2∠ACO.
即∠ACB＝ eq \f(1,2)∠AOB.
例2 问题回顾：当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？

解：∠ABC＝∠ADC＝∠AEC.理由：连接AO，CO.
∵∠ABC＝eq \f(1,2)∠AOC，∠ADC＝eq \f(1,2)∠AOC，∠AEC＝ eq \f(1,2)∠AOC.
∴∠ABC＝∠ADC＝∠AEC.
圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．
四、练习巩固
1．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( )
A．20° B．40° C．50° D．80°
第1题图
第2题图
2.如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠BAC＝________°.
五、课堂小结
1．易错点：
(1)一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧、劣弧分别对着不同的圆周角；
(2)圆上一条弧所对的圆周角能作出无数个；
(3)圆周角和圆心有三种位置关系．
2．归纳小结：
(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角；
(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；
(3)圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．
3．方法规律：
(1)圆周角和圆心的位置关系只有三种：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部；
(2)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；
(3)同弧或等弧所对的圆周角相等．
六、课外作业
1．教材第80页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第80～81页习题3.4第1、2、4题．
这节课的教学主线非常清晰，重点明确，就是让学生经历观察、操作、猜想、证明等一系列探索活动．从提出猜想到证明猜想的过程中，教师始终将探索发现的空间留给学生，所设计的问题由浅入深、循序渐进，学习任务从易到难，挑战性问题在逐步提高，这是一种能激发学生学习兴趣的设计．本节课不足之处在于定理的证明根据圆心与圆周角的位置关系分三种情况，虽然借助了几何画板动态演示了这一过程，但是为何要分类，教学中似乎显得有些生涩．
第2课时 圆周角定理的推论
1．掌握圆周角定理的2个推论的内容．
2．理解圆的内接四边形、四边形的外接圆的概念．
3．会熟练运用圆周角定理的推论解决问题．
重点
圆周角定理的几个推论的应用．
难点
理解2个推论的“题设”和“结论”．
一、复习导入
1．圆周角是如何定义的？
2．圆周角定理是什么？
3．圆周角定理的推论1是什么？
二、探究新知
1．直径所对的圆周角是直角
课件出示：
如图，BC是⊙O的直径．

(1)直径BC所对的圆周角指的是哪个角？
(2)猜想它所对的圆周角有什么特点？
(3)请同学们用量角器实际测量，看看猜测是否准确；
(4)你能对自己的猜想给出证明吗？
解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°.
理由：∵BC为直径，
∴∠BOC＝180°.
∴∠BAC＝ eq \f(1,2)∠BOC＝90°.
2．90°的圆周角所对的弦是直径
课件出示：
如图，圆周角∠BAC＝90°.

(1)∠BAC所对的弦指的是哪条线段？
(2)∠BAC所对的弦是直径吗？
(3)你是通过什么方法得到的？
解：弦BC是直径．
理由：连接OC，OB.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝180°.
∴B，O，C三点在同一直线上．
∴BC是⊙O的一条直径．
(4)从上面的学习，你能得出什么推论？
推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
3．圆内接四边形的对角互补
课件出示：
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径．
(1)请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
解：∠BAD与∠BCD互补．理由：
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，∠ADC＝90°.
∵∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
∴∠BAD与∠BCD互补．
(2)如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立．理由：
连接OB，OD，
∵ ∠BAD＝eq \f(1,2)∠2，∠BCD＝eq \f(1,2)∠1，∠1＋∠2＝360°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
∴∠BAD与∠BCD互补．
(3)两个四边形ABCD有什么共同的特点？
四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
(4)圆内接四边形的对角有什么关系？
推论3：圆内接四边形的对角互补．
三、举例分析
例 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角.
(1)四边形ABCD是圆的什么四边形？
(2)∠A和∠BCD有什么数量关系？
(3)∠BCD和∠DCE有什么数量关系？
(4)这几个圆周角的大小有什么关系？
(5)∠A与∠DCE的大小有什么关系？为什么？
解：∠A＝∠DCE.理由：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠BCD＝180°.
∵∠BCD＋∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE.
四、练习巩固
1．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为( )
A．35° B．45° C．55° D．75°

2．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A，B重合)，延长BD到点C，使DC＝BD，则△ABC的形状为____________．

3．如图所示，AD为△ABC外角∠CAE的平分线，交△ABC的外接圆于点D.求证：BD＝CD.
五、课堂小结
1．易错点：
(1)“直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”这个推论由特殊到一般地证明；
(2)从复杂图形中找到符合要求且能利用推论的条件；
(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
2．归纳小结：
(1)直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
(2)四个顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；
(3)圆内接四边形的对角互补．
3．方法规律：
(1)解决问题应该经历“猜想—试验验证—严密证明”三个基本环节；
(2)从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律．
六、课外作业
1．教材第83页“随堂练习”第1、2、3题．
2．教材第83～84页习题3.5第1～4题．
在本节课的教学中，我结合本节课教学内容、教学目标和学生的认知规律，在教学设计上，一是注重创设情境，激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望，为下一步教学的顺利展开开个好头；二是注重引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程，鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.