试卷 2021年初初中数学专题练——二次根式的乘除训练题（一）【含详解】100道

这是一份试卷 2021年初初中数学专题练——二次根式的乘除训练题（一）【含详解】100道，共67页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年初初中数学专题练——二次根式的乘除训练题（一）【含详解】


姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共46题）
1、 已知 ，且 a>b>0，则 的值为 (    )
A ． B ． ± C ． 2 D ． ±2
2、 下列式子中，属于最简二次根式的是
A ． B ． C ． D ．
3、 下列二次根式中，是最简二次根式的是
A ． B ． C ． D ．
4、 已知： 是整数，则满足条件的最小正整数 为 ( )
A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
5、 下列计算正确的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
6、 把 化为最简二次根式，得 （ ）
A ． B ． C ． D ．
7、 下列计算结果正确的是 (    )
A ． ＋ ＝ B ． 3 － ＝ 3
C ． × ＝ D ． ＝ 5
8、 下列二次根式是最简二次根式的是 (  )
A ． B ． C ． D ．
9、 若 a ＝ ， b ＝ 2+ ，则 的值为（　　）
A ． B ． C ． D ．
10、 下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
11、 下列计算： ，其中结果正确的个数为 ( )
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
12、 已知 ，则 的值为（　　）
A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6
13、 在将式子 （ m ＞ 0 ）化简时，
小明的方法是： = = = ；
小亮的方法是： ；
小丽的方法是： .
则下列说法正确的是（　　）
A ． 小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确
B ． 小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确
C ． 小明、小亮、小丽的方法都正确
D ． 小明、小丽、小亮的方法都不正确
14、 （　　）
A ． B ． 4 C ． D ．
15、 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
16、 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
17、 计算 ÷ × 结果为（　　）
A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6
18、 等式 ＝ 成立的条件是 (    )
A ． x ＞ 0 B ． x ＜ 1 C ． 0≤x ＜ 1 D ． x≥0 且 x≠1
19、 下列二次拫式中，最简二次根式是 (    )
A ． B ． C ． D ．
20、 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A ． B ． C ． D ．
21、 下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
22、 下列各式中正确的是（　　）
A ． B ． C ． D ．
23、 若最简二次根式 与 的被开方数相同 ,则a的值为( )
A ． - B ． C ． 1 D ． -1
24、 下列各式属于最简二次根式的有（ ）
A ． B ． C ． D ．
25、 已知 x 1 ＝ ＋ ， x 2 ＝ － ，则 x₁² ＋ x₂² 等于 (   )
A ． 8 B ． 9 C ． 10 D ． 11
26、 下列式子中，属于最简二次根式的是 (   )
A ． B ． C ． D ．
27、 下列运算正确的是 (  )
A ． ＝﹣ 2 B ． (2 ) 2 ＝ 6 C ． D ．
28、 下列各式中，最简二次根式是（　　）
A ． B ． C ． D ．
29、 已知： a= ， b= ，则 a 与 b 的关系是（　　）
A ． 相等 B ． 互为相反数 C ． 互为倒数 D ． 平方相等
30、 下列命题： ①若 a＜1 ，则（ a﹣1） =﹣ ； ②圆是中心对称图形又是轴对称图形；③ 的算术平方根是 4； ④如果方程 ax 2 +2x+1=0 有实数根，则实数 a≤1 ．其中正确的命题个数是（　　）
A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
31、 下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
32、 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
33、 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A ． B ． C ． D ．
34、 下列各式中，运算正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
35、 下列二次根式，最简二次根式是 (   )
A ． B ． C ． D ．
36、 下面计算正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
37、 把 根号外的因式移入根号内，其结果是（　　）
A ． B ． ﹣ C ． D ． ﹣
38、 下列式子是最简二次根式的是
A ． B ．
C ． D ．
39、 下列运算错误的是（　　）
A ． B ． C ． D ．
40、 下列根式中，最简二次根式是 (　　)
A ． B ． C ． D ．
41、 下列二次根式： 、 、 、 、 中，是最简二次根式的有 (    )
A ． 2 个 B ． 3 个 C ． 4 个 D ． 5 个
42、 下列运算正确的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
43、 下列计算正确的是（　　）
A ． B ．
C ． =1 D ．
44、 化简二次根式 的结果为 (   )
A ． ﹣ 2a B ． 2a C ． 2a D ． ﹣ 2a
45、 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A ． B ． C ． D ．
46、 下列各式中，最简二次根式是（ ）
A ． B ． C ． D ．
二、解答题（共31题）
1、 计算（ 1） ． （ 2） ．
（ 3） ． （ 4） ．
2、 把下列根式化成最简二次根式．
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）
3、 计算：
（ 1） （ 2） ．
4、 把根号外的因式移到根号内：
(1)
(2)
5、 计算下列各题：
（ 1 ）计算： × ﹣（ 1 ﹣ ） 2
（ 2 ）计算： 6× + （ π ﹣ 2019 ） 0 ﹣ |5 ﹣ | ﹣（ ） ﹣ 2
6、 先化简，再求值： ．其中 ， ．
7、 计算： +（ ﹣ 2） 2 ﹣ （ ﹣ ）
8、 计算： ．
9、 计算 :
(1) ;
(2)(3 +1)(3 -1).
10、 先将 化简，然后选一个你喜欢的 x的值，代入后，求式子的值.
11、 计算：
12、 已知某三角形的面积等于长、宽分别为 、 的矩形的面积，若该三角形的一条边长为 ，求这条边上的高．
13、 计算：
（ 1）
（ 2）
14、 已知 ，则 = _______
15、 计算：（ 1） ；（ 2） ．
16、 已知 ，求 的值 .
17、 化简： （ a＞b＞0）
18、 先化简，再求值（ +m ﹣ 2 ） ÷ ；其中 m ＝ +1.
19、 计算：
20、 计算： 4 ×2 ÷ ．
21、 计算 :
22、 计算
（ 1 ）
（ 2 ）
23、 计算 :
24、 计算：（ 1 ） ； （ 2 ）
25、 小明在解方程 时运用了下面的方法：由 ，又由 可得 ，将这两式相加可得 ，将 两边平方可解得 ＝－ 1 ，经检验 ＝－ 1 是原方程的解 .
请你参考小明的方法，解下列方程：
(1)
(2) .
26、 计算：





27、 先化简，再求值： ，其中 x ＝ ．
28、 计算：
29、 计算： （ 1） ；（ 2） ．
30、 计算：
（ 1）
（ 2） ．
31、 已知 和 是相等的最简二次根式．
求 ， 的值；
求 的值．
三、填空题（共23题）
1、 已知：最简二次根式 与 的被开方数相同，则 a ＋ b ＝ ________ .
2、 计算 的结果是 __ ．
3、 已知 x+y= ,xy= , 则 x 2 y+xy 2 的值为 ____ .
4、 计算 的结果是 __________ .
5、 与最简二次根式 是同类二次根式，则 __________ ．
6、 最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a 的取值为 __________ ．
7、 ________ .
8、 计算： = _____ ．
9、 计算： ＝ _____ ．
10、 若 ，把 化成最简二次根式为 ________ ．
11、 计算 的结果是 ______ ．
12、 计算： ＝ _____ ．
13、 若 a、b、c 均为实数 , 且 a、b、c 均不为 0 化简 ___________
14、 若规定一种运算为 a ◆ b＝ (b－a)，如3 ◆ 5＝ ×(5－3)＝2 ，则 ◆ ＝ ________ ．
15、 计算： 3 ÷ × ＝ ___________
16、 若 成立，则 x 满足 ________
17、 已知 ≈1.859， ≈5.879，则 ≈ ________ .
18、 计算： = _____ ．
19、 若 则 的值为 ______ .
20、 计算 ＝ _____ ．
21、 最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ＝ ________ ．
22、 如果 ,则 = _________ .
23、 等式 成立的条件是 _____ ．

============参考答案============
一、选择题
1、 A
【解析】 已知 a 2 +b 2 =6ab ，变形可得（ a+b） 2 =8ab，（a-b） 2 =4ab ，可以得出（ a+b ）和（ a-b ）的值，即可得出答案．
【详解】 ∵ a 2 +b 2 =6ab，
∴ （ a+b） 2 =8ab，（a-b） 2 =4ab，
∵ a＞b＞0，
∴ a+b= ， a-b= ，
∴ = ，
故选 A.
【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意 a、b 的大小关系以及本身的正负关系．
2、 B
【详解】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件 (1) 被开方数的因数是整数，因式是整式； (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 .
∵ ， ∴ 属于最简二次根式 . 故选 B.
3、 B
【分析】
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
A、 不是最简二次根式，错误；
B、 是最简二次根式，正确；
C、 不是最简二次根式，错误；
D、 不是最简二次根式，错误，
故选 B．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： 被开方数不含分母； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4、 D
【解析】
试题解析： ∵ = ，且 是整数，
∴2 是整数，即 5n 是完全平方数，
∴n 的最小正整数为 5．
故选 D．
点睛：主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则 ．除法法则 ．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
5、 B
【分析】
根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得 .
【详解】
A、 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、 = = = ，此选项正确；
C、 =（5 - ） ÷ =5- ，此选项错误；
D、 = ，此选项错误；
故选 B
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则 .
6、 A
【分析】
根据最简二次根式的定义将原式子化简可得答案 ..
【详解】
解： = = = .
故选 A.
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键
7、 C
【解析】
选项 A. 不能计算 .A 错误 .
选项 B. ,B 错误 .
选项 C. , 正确 .
选项 D. ,D 错误 .
故选 C.
8、 D
【分析】
根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可 .
【详解】
A. ，故 A 选项不符合题意；
B. ，故 B 选项不符合题意；
C. ，故 C 选项不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意，
故选 D.
【点睛】
本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键 .
9、 B
【解析】
将 a 乘以 可化简为关于 b 的式子，从而得到 a 和 b 的关系，继而能得出 的值．
【详解】
a ＝ • ＝ ．
∴ ．
故选： B ．
【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察 b 的形式．
10、 B
【解析】
根据最简二次根式必须满足的条件逐一分析即可
【详解】
解 ： = , 故 A 错误 ; = , 故 C 错 ; =2 , 故 D 错 , 综上所述 , 应选 B.
故选 B.
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义 , 正确理解最简二次根式的条件是解题的关键 .
11、 D
【解析】
根据二次根式的运算法则即可进行判断 .
【详解】
, 正确； 正确； 正确； ，正确，故选 D.
【点睛】
此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质： ;
.
12、 C
【解析】
∵ ，
，
∴ .
故选 C.
13、 C
【解析】
小明的方法为原式分子分母乘以有理化因式，化简得到结果；小亮的方法为将分子利用二次根式性质化简，约分即可得到结果；小丽的方法为分子利用二次根式性质化简，再利用二次根式除法法则逆运算变形，计算即可得到结果 .
【详解】
再将式子 （ m ＞ 0 ）化简时，
小明的方法是： ＝ ＝ ＝ ，正确；
小亮的方法是： ＝ ＝ ，正确；
小丽的方法是： ＝ ＝ ＝ ，正确；
则小明、小亮、小丽的方法都正确，故答案选 C.
【点睛】
此题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化 . 二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子 .
14、 B
【分析】
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】
解： ．
故选 B ．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
15、 C
【解析】
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（ 1 ）被开方数的因数是整数，因式是整式；（ 2 ）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】
A 、 = ，故 A 不是；
B 、 = ，故 B 不是；
C 、 ，是；
D 、 = ，故 D 不是 .
故选 C
【点睛】
考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式所需要满足的条件是解题的关键 .
16、 A
【解析】
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案 ．
【详解】
A． 是最简二次根式 ， 故此选项正确 ；
B． ， 故此选项错误 ；
C． ， 故此选项错误 ；
D． ， 故此选项错误 ．
故选 A．
【点睛】
本题考查了最简二次根式 ， 正确把握最简二次根式的定义是解题的关键 ．
17、 B
【解析】
= = = .
故选 B.
18、 C
【解析】
根据二次根式的被开方数必须是非负数，而且分母不能为 0 ，可得 x ≥ 0 ， 1-x ＞ 0 ，解不等式组即可．
【详解】
解：由题意得， ,
解得： 0 ≤ x ＜ 1 ．
故答案为： C.
【点睛】
本题主要考查了二次根式的乘除法运算和二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数，分母不为 0 ，是本题确定取值范围的主要依据．
19、 A
【解析】
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】
解： A 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故 A 符合题意；
B 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 B 不符合题意；
C 、被开方数含分母，故 C 不符合题意；
D 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 D 不符合题意；
故选： A ．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
20、 B
【分析】
根据最简二次根式概念即可解题 .
【详解】
解： A. = , 错误 ,
B. 是最简二次根式 , 正确 ,
C. =3 错误 ,
D. = , 错误 ,
故选 B.
【点睛】
本题考查了最简二次根式的概念 , 属于简单题 , 熟悉概念是解题关键 .
21、 B
【分析】
利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】
A 、原式 ，不符合题意；
B 、是最简二次根式，符合题意；
C 、原式 ，不符合题意；
D 、原式 ，不符合题意；
故选 B ．
【点睛】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键．
22、 B
【分析】
根据算术平方根的定义对 A 进行判断；根据二次根式的性质对 B 进行判断；根据立方根的定义对 C 进行判断；根据平方根的定义对 D 进行判断
【详解】
A. =4，此项错误
B. =2 正确
C. =3 ， 此项错误
D. = ，此项错误
故选 B
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算 ， 熟练掌握题目的定义是解题的关键
23、 C
【分析】
根据最简二次根式的定义可知 = ，解出 a 即可 .
【详解】
依题意 = ，解得 a = 1 ，选 C.
【点睛】
此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是找到被开方数相等 .
24、 B
【解析】
先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】
A 选项： ，故不是最简二次根式，故 A 选项错误；
B 选项： 是最简二次根式，故 B 选项正确；
C 选项： ，故不是最简二次根式，故本选项错误；
D 选项： ，故不是最简二次根式，故 D 选项错误；
故选： B ．
【点睛】
考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
25、 C
【详解】
， ，
所以 = ，
故选： C ．
【点睛】
对于形如 的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有这个特点的代数式称为轮换对称式，如 ， ， 等，轮换对称式都可以用 ， 来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用 ， 来表示，然后再整体代入计算．
26、 D
【解析】
分析：检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
详解： A. 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故不符合题意；
B. 被开方数含分母，故不符合题意；
C. 被开方数含分母，故不符合题意；
D. 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故符合题意；
故选 D.
点睛：此题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式 .
27、 D
【解析】
根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
【详解】
A ： ＝ 2 ，故本选项错误；
B ： (2 ) 2 ＝ 12 ，故本选项错误；
C ： 与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D ：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确，
故选 D ．
【点睛】
本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，熟练掌握是解题的关键 .
28、 C
【解析】
根据满足最简二次根式的条件 :(1) 被开方数中不含能开方的因数或因式 ； (2) 根号里面不能含分数或小数 ； (3) 分母中不含二次根式 , 故选 C.
29、 C
【解析】
因为 , 故选 C.
30、 C
【解析】
分析： ① a ＜ 1 时 ， 1－ a ＞ 0， 根据二次根式的非负性化简 ； ② 根据圆的性质判定； ③ ＝ 4， 本质是求 4的算术平方根；④分 a ≠0 和 a ＝ 0 两种情况求 a 的范围 .
详解： ①若 a ＜ 1 ，则 ( a ﹣ 1) ，正确；
②圆是中心对称图形又是轴对称图形，正确；
③ ＝ 4 的算术平方根是 2 ，此选项错误；
④ 当 a ≠0 时 ， 方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1＝0 有实数根，则 4﹣4 a ≥0 ，解得 a ≤1，
当 a ＝ 0 时，原方程为 2 x ＋ 1＝0， 解得 x ＝ ， 此选项正确．
故选 C ．
点睛：判断方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的根的情况时，要注意分两种情况讨论， ①当 a ≠0时，原方程是一元二次方程，用根的判别式来判断；②当 a ＝ 0， b ≠0 时原方程是一元一次方程 .
31、 D
【分析】
先化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数是否与 相同，可得答案．
【详解】
A 、 ＝ ，故 A 能与 合并；
B 、 ＝ 2 ，故 B 能与 合并；
C 、 ＝ 3 ，故 C 能与 合并；
D 、 ＝ 2 ，故 D 不能与 合并；
故选 D
【点睛】
本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
32、 B
【分析】
A、C选项的被开方数都含有未开尽方的因数,D选项的被开方数中含有分母,因此这三个选项都不是最简二次根式.
【详解】
解 :A、 =2,可化简;
B、 为最简二次根式；
C、 = ,可化简;
D、 = ,可化简;
因此 A、C、D三个选项都不是最简二次根式.
故本题选 B.
【点睛】
本题主要考查最简二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键 .
33、 B
【分析】
根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】
解： A 、 ，不是最简二次根式，本选项错误；
B 、 是最简二次根式，本选项正确；
C 、 不是最简二次根式，本选项错误；
D 、 不是最简二次根式，本选项错误；
故选 B ．
【点睛】
此题考查了最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
34、 B
【分析】
分别根据二次根式的加法、除法、同底数幂的除法及幂的乘方法则进行逐一计算即可．
【详解】
A． 错误 ， 2 与 3 不是同类二次根式 ， 不能合并 ；
B． 正确 ， 符合二次根式的除法法则 ；
C． 错误 ， a 6 ÷ a 3 =a 6 ﹣ 3 =a 3 ；
D． 错误 ，（ a 3 ） 2 =a 6 ．
故选 B．
【点睛】
本题考查了二次根式的加法、除法、同底数幂的除法及幂的乘方法则 ， 熟练掌握运算法则是解题的关键 ．
35、 C
【分析】
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】
A 、被开方数含开的尽的因数，故 A 不符合题意；
B 、被开方数含分母，故 B 不符合题意；
C 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故 C 符合题意；
D 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 D 不符合题意 .
故选 C．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
36、 B
【解析】
分析 ： A． 根据合并二次根式的法则即可判定 ；
B． 根据二次根式的除法法则即可判定 ；
C． 根据二次根式的乘法法则即可判定 ；
D． 根据二次根式的性质即可判定．
详解 ： A． 不是同类二次根式 ， 不能合并．故选项错误 ；
B． ÷ = =3 ．故选项正确 ；
C． ．故选项错误 ；
D． =2． 故选项错误．
故选 B．
点睛：本题考查了二次根式的计算 ， 要掌握各运算法则．二次根式的加减运算 ， 只有同类二次根式才能合并 ； 乘法法则 ； 除法法则 ．
37、 B
【分析】
先根据二次根式有意义的条件求出 a-1 0, 再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内 , 注意 : 当 时 , , 时 , , 即可得出答案 .
【详解】
解： ∵根式有意义 ,
∴ , 解得： ,
∴ a-1 0,
∴ = ﹣ ,
故选 B.
【点睛】
本题考查了二次根式的性质的应用 , 难度较大 , 熟悉根式的性质是解题关键 .
38、 A
【分析】
根据最简二次根式的定义判断即可 ．
【详解】
A． 是最简二次根式 ；
B． 2， 不是最简二次根式 ；
C． ， 不是最简二次根式 ；
D． ， 不是最简二次根式 ．
故选 A．
【点睛】
本题考查了最简二次根式 ， 熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键 ．
39、 A
【分析】
根据同类二次根式的合并，二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可．
【详解】
解： A 、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项正确；
B 、 × = ，计算正确，故本选项错误；
C 、 ÷ = ，计算正确，故本选项错误；
D 、（ - ） 2 =2 ，计算正确，故本选项错误；
故选 A ．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减及乘除运算，解答本题的关键是掌握二次根式的加减及乘除法则．
40、 D
【解析】
试题解析：最简二次根式应满足：（ 1 ）被开方数不含分母；（ 2 ）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 .A 选项中被开方数含有分母； B 选项被开方数含有能开得尽方的因数 4；C 选项被开方数含有能开得尽方的因式 . 只有 D 选项符合最简二次根式的两个条件，故选 D.
41、 A
【解析】
试题解析： ，是最简二次根式；
= ，不是最简二次根式；
= ，不是最简二次根式；
=2|a| ，不是最简二次根式；
, 是最简二次根式 .
共有 2 个最简二次根式 . 故选 A.
点睛：最简二次根式必须满足两个条件：
（ 1 ）被开方数不含分母；
（ 2 ）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
42、 D
【分析】
根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则依次判断即可得到答案 .
【详解】
A 、 与 不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误；
B 、 ，故该选项错误；
C 、 ，故该选项错误；
D 、 ，故该选项正确，
故选： D.
【点睛】
此题考查计算能力，正确掌握二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则是解题的关键 .
43、 D
【分析】
根据二次根式的加减，二次根式的性质，二次根式的除法逐项计算即可 ．
【详解】
： A、 与 不是同类项 ， 不能合并，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 ，故此选项错误；
D、 ，正确．
故选 D．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算与性质，熟练掌握二次根式的性质与运算法则是解答本题的关键 ．
44、 A
【解析】
利用根式化简即可解答 .
【详解】
解： ∵﹣8 a 3 ≥ 0，
∴ a≤ 0
∴ ＝ 2 |a|
＝﹣ 2 a
故选 A ．
【点睛】
本题考查二次根式性质与化简，熟悉掌握运算法则是解题关键 .
45、 B
【解析】
试题解析： A. 不是最简二次根式 , 故错误 .
B. 是最简二次根式 . 正确 .
C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式 , 故错误 .
D. 不是最简二次根式 , 故错误 .
故选 B.
点睛：最简二次根式要满足两个条件： 被开方数中不含开方开的尽的数或式，
被开方数中不能含有分母 .
46、 C
【分析】
最简二次根式： ① 被开方数不含有分母（小数）；
② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式；
【详解】
A. ，被开方数是分数，不是最简二次根式 ；
B. ，被开方数是小数，不是最简二次根式 ；
C. ，符合条件，是最简二次根式 ；
D. ， 被开方数可以开方，不是最简二次根式 .
故选 C
【点睛】
本题考核知识点：最简二次根式 . 解题关键点：理解最简二次根式的条件 .
二、解答题
1、 （ 1） ； （2） ； （3） ；（4） ．
【解析】
试题分析 ：（ 1）根据二次根式的乘除法，先化简二次根式，然后按照乘除法的公式计算即可；
（ 2）根据二次根式的乘除法，先化简二次根式，然后按照乘除法的公式计算即可；
（ 3） 根据二次根式的乘除法，先根据 a的范围，由二次根式的性质化简二次根式，然后按照乘除法的公式计算即可；
（ 4） 根据二次根式的乘除法，先化简二次根式，然后按照乘除法的公式计算即可 .
试题解析： （ 1 ）原式


．
（ 2）


．
（ 3 ）原式


（ 4 ）原式 ．
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ） ；（ 4 ） ．
【分析】
（ 1 ）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（ 2 ）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（ 3 ）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（ 4 ）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】
解：（ 1 ） ；
（ 2 ） ；
（ 3 ）
；
（ 4 ）

．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键，二次根式开出来的数一定为非负数．
3、 (1) (2)0
【分析】
（ 1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（ 2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.
【详解】
（ 1）
=
=
（ 2）
=
=5-4-3+2
=0
4、 （ 1） ；（ 2）
【解析】
试题分析：根据二次根式的性质进行化简即可 .
试题解析： (1) 原式
(2) 原式
5、 （ 1 ） 4 ﹣ 4 （ 2 ） 2 ﹣
【解析】
（ 1 ）先进行二次根式的乘法运算、乘方计算再进行减法计算即可 .
（ 2 ）先计算乘方，然后计算计算乘法、去绝对值，最后从左向右依次计算即可 .
【详解】
解：（ 1 ）原式＝ ﹣（ 1 ﹣ 2 +3 ）
＝ 2 ﹣ 4+2
＝ 4 ﹣ 4 ；
（ 2 ）原式＝ 2 +1+5 ﹣ 3 ﹣ 4
＝ 2 ﹣ ．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是正确解题的关键
6、 ab ， 1.
【分析】
根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将 a 、 b 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：


，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
7、 7-2
【解析】
试题分析：利用乘法公式展开，化简后合并同类二次根式即可．
试题解析： +（ ﹣ 2） 2 ﹣ （ ﹣ ）
=2+3﹣4 +4﹣2+2
=7﹣2
8、 1
【解析】
根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算．
【详解】
原式
=1.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9、 (1) (2)17
【解析】
(1) 先对二次根式化简，然后进行减法运算；
(2) 运用平方差公式进行计算 .
【详解】
解 :(1) 原式 =3
=3
= .
(2) 原式 =(3 ) 2 -1 2
=18-1
=17.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算 , 解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
10、 答案见解析 .
【解析】
试题分析 ：
先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的 x 的值需要使原式有意义 .
试题解析 ：
原式

要使原式有意义 ,则x＞2.
所以本题答案不唯一 ,如取x＝4.则原式＝2
11、 6 -45
【解析】 运用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式即可 .
【详解】
解：原式 =49-48-（45-6 +1）
=6 -45
【点睛】本题考核知识点：二次根式乘法 . 解题关键点：运用乘法公式 .
12、
【解析】
首先利用矩形的面积计算方法求得三角形的面积，根据三角形的面积公式： S ah 列式计算即可求解．
【详解】
．
答：这条边上的高为 ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握矩形和三角形的面积计算方法是解决问题的关键．
13、 （ 1） ； （ 2）
【分析】
（ 1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；
（ 2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．
【详解】
解： (1)

＝
(2)

＝
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算 ， 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．
14、 2
【分析】

【详解】

【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，注意利用平方差公式和整体带入求得答案 .
15、 （ 1） 3 ；（ 2） ．
【解析】
（ 1 ）先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；
（ 2 ）先化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除法法则进行计算 , 最后再合并同类二次根式和合并同类项 ．
【详解】
（ 1） 原式 =4 - 3 +2
=3 ．
（ 2） 原式 = - - （ - 1）
= - - +1
= ．
【点睛】
二次根式的混合运算，关键是二次根式的化简 .
16、
【解析】
分析：首先利用配方法将已知等式进行变形，得到：（ a-3） 2 +（b-1） 2 =0，结合非负数的性质求得a、b的值．然后代入求值即可．
详解：因为（ a-3） 2 +（b-1） 2 =0，
所以 a=3，b=1．
所以原式 = ．
点睛：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．
17、
【解析】
【试题分析】
先利用完全平方公式变形得到原式 =a ，再利用二次根式的性质得到原式 =a•| ﹣ | ，然后利用 a＞b＞0 去绝对值后进行分式的运算．
【试题解析】
原式 =a
=a • | ﹣ |，
∵a＞b＞0，
∴原式=a •
= ．
18、 , 原式＝ .
【分析】
先把括号里通分化简，再把除法转化为乘法约分化简，然后把 m ＝ +1 代入化简的结果中计算即可 .
【详解】
原式＝（ ） ÷
＝
＝ ，
当 m ＝ +1 时，
原式＝ ＝ ．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 .
19、
【分析】
先计算平方、化简二次根式、计算 0 次幂和代入特殊角函数值，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】
原式

【点睛】
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、平方等考点的运算．
20、 24.
【分析】
直接利用二次根式的乘除运算法则计算即可得出答案．
【详解】
原式 =8 ÷
=8 × 3
=24．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的乘除运算 ， 正确掌握运算法则是解题的关键．
21、
【分析】
根据二次根式的乘除运算法则计算即可 .
【详解】
解：原式 =
=
=
=
= .
【点睛】
本题考查二次根式的乘除计算，掌握二次根式乘除运算法则是解题关键 .
22、 （ 1 ） 2 ；（ 2 ） 3 +2 ．
【解析】
（ 1 ）先用平方差公式计算，再计算二次根式；
（ 2 ）先化简，再计算 .
【详解】
（ 1 ）原式 =3-4+
=-1+3
=2 ；
（ 2 ）原式 =4 - +
=3 +2 ．
【点睛】
本题考查的是二次根式的计算，熟练掌握计算法则是解题的关键 .
23、
【分析】
先化简二次根式和将除法变成乘法，再相乘即可 .
【详解】

=
= .
【点睛】
考查了二次根式乘法和除法，解题关键是熟记其运算法则进行计算 .
24、 （ 1 ） - ;(2)0.
【分析】
（ 1 ）根据二次根式的乘法法则计算即可，两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根；
（ 2 ）先把每项的二次根式化简成最简二次根式，然后再进行加减计算 .
【详解】
解：（ 1 ）原式＝
＝
= ；
（ 2 ）原式＝
＝ 0 ．
【点睛】
二次根式的混合运算及二次根式的化简是本题的考点，熟练掌握其运算法则是解题的关键 .
25、
【分析】
（ 1 ）首先把根式 + 有理化，然后求出根式
的有理化因式的值是多少；再根据根式 和求出的它的有理化因式的值，求出方程 ＝ 16 的解是多少即可；
（ 2 ）首先把根式 有理化，然后求出根式 的有理化因式的值是多少；再根据根式 和求出的它的有理化因式的值，求出方程 =4x 的解是多少即可．
【详解】
（ 1 ）由（ ）（ ） =
= （ x 2 +42 ） - （ x 2 +10 ） =32
又由 ，
可得 =32÷16=2 ，
将这两式相加可得
∵ ( ) 2 ＝ x 2 +42=9 2 =81 ，
∴ x=± ，
经检验 x=± 都是原方程的解，
∴方程 的解是 x=±
（ 2 ）（ ）（ ） = （ 4x 2 +6x-5 ） - （ 4x 2 -2x-5 ） =8x
又由
可得 =8x÷4x=2 ，
将这两式相加可得
∵ ( ) 2 ＝ (2x+1) 2 ，
∴ 4x 2 +6x-5=4x 2 +4x+1 ，
∴ 2x=6 ，
解得 x=3 ，
经检验 x=3 是原方程的解，
∴方程 的解是： x=3 ．
故答案为 (1) x=± (2) 3
【点睛】
此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
26、 （ 1 ） ；（ 2 ） 12 ；（ 3 ） ；（ 4 ） 0 ；（ 5 ） 2
【分析】
（ 1 ）将原式展开，然后进行合并即可求解；
（ 2 ）将每项化为最简二次根式，然后约分合并即可求解；
（ 3 ）将每项化为最简二次根式，分母有理化，然后进行合并即可求解；
（ 4 ）将原式化为最简二次根式，然后根号二次根式加减法法则进行计算即可；
（ 5 ）首先将原式每一项化为最简二次根式，然后进行合并计算．
【详解】
（ 1 ）原式 =
=
（ 2 ）原式 =
=
=12
（ 3 ）原式 =
=
=
（ 4 ）原式 =
=
=
=0
（ 5 ）原式 =
=
=2
【点睛】
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
27、 2x ，
【分析】
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：
＝
＝ 2x ，
当 x ＝ ﹣ 1 时，原式＝ 2 （ ﹣ 1 ）＝ 2 ﹣ 2 ．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
28、
【分析】
直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可．
【详解】
= .
【点睛】
此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则 .
29、 (1) ；（ 2）0
【解析】
分析：先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
（ 2 ）先根据二次根式的除法法则和平方差公式计算，然后合并即可．
详解：（ 1 ）原式 =
=
= ；
（ 2 ）原式 =
=2+4-6
=0.
点睛：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
30、 （ 1） ；（ 2） ．
【分析】
（ 1）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
（ 2）先利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．
【详解】
解：（ 1 ）原式 =
=
= ；
（ 2）原式=
=
= ．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的混合运算，解题关键是注意合并同类项 .
31、 的值是 ， 的值是 ；（ 2） ．
【解析】
（ 1 ）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出 a，b 的值；
（ 2 ）根据算术平方根的概念解答即可．
【详解】
∵ 和 是相等的最简二次根式，
∴ ．
解得， ，
∴ 的值是 ， 的值是 ；
（ 2） ．
【点睛】
考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于 a，b 的方程组是解题的关键 .
三、填空题
1、 8
【分析】
根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可解出二元一次方程组，再解出即可 .
【详解】
由题意得 解得
∴a ＋ b ＝ 8.
【点睛】
此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是最简二次根式的定义列出方程进行求解 .
2、 3
【解析】
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】
解：
=
=3 ．
故答案为： 3 ．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
3、 3
【解析】
分析：因式分解，把已知整体代入求解 .
详解： x 2 y+xy 2 ＝ xy(x+y)= 3 .
点睛：因式分解的方法：（ 1 ）提取公因式法 .ma+mb+mc=m(a+b+c).
（ 2 ）公式法 : 完全平方公式，平方差公式 .
（ 3）十字相乘法.
因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体 ,利用上述方法因式分解的能力.
4、 3
【分析】
根据二次根式的除法计算即可 .
【详解】
解： ，
故答案为 3
【点睛】
本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键 .
5、 1
【分析】
先把 化为最简二次根式 ，再根据同类二次根式的定义得到 m ＋ 1 ＝ 2 ，然后解方程即可．
【详解】
解： ∵ ，
∴ m ＋ 1 ＝ 2 ，
∴ m ＝ 1 ．
故答案为 1 ．
【点睛】
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
6、
【解析】
分析：根据最简二次根式及同类二次根式的定义，令被开方数相等解方程．
详解：根据题意得， 3a+1= 2
解得， a=
故答案为 ．
点睛：此题主要考查了最简二次根式及同类二次根式的定义 ， 正确理解同类二次根式的定义是解题的关键．
7、 6
【分析】
先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算即可．
【详解】
解：原式 =2 × =6．
故答案为 6．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，掌握运算法则是关键．
8、 2
【分析】
根据二次根式乘法的运算法则进行求解即可得 .
【详解】

=
=2，
故答案为 2.
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法的运算法则是解题的关键 .
9、
【解析】
根据算术平方根的定义求解可得．
【详解】
解 : =
故答案为：
【点睛】
本题考查算术平方根，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义．
10、
【分析】
先判断 b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可 .
【详解】
解： ∵
∴
∴
所以答案是：
【点睛】
本题考查了二次根式的性质 .
11、
【分析】
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】


．
故答案为 ．
【点睛】
考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
12、 3
【解析】
直接利用二次根式乘法法则进行计算即可 .
【详解】
＝ =3，
故答案为 3.
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解本题的关键 .
13、
【解析】
根据题意，由二次根式的性质，可知 a 的值与计算没影响 ， c≥0，b≠0 ，因此可分为：
当 b＞0 时， = ；
当 b＜0 时， = .
故答案为： .
14、 － 2
【解析】
根据新定义得到 ◆ = （ - ），再进行二次根式的乘法运算．
【详解】
◆ = （ - ） = × - ×
= -2．
故答案为 -2．
【点睛】
本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．
15、 1
【解析】
根据实数的乘除法混合运算法则计算即可．
【详解】
解：原式 = =1 ．
故答案为 1 ．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算．解题的关键是掌握实数混合运算的顺序与法则．
16、 2≤x