专题1：二次函数与直角三角形

这是一份专题1：二次函数与直角三角形，共25页。
（1）当为直角时，
（2）当为直角时，
（3）当为直角时，
1 .已知，抛物线y=-x²+bx+c经过点A(-1，0)和C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小?如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】（1）；（2）存在，当的值最小时，点的坐标为；（3）点的坐标为、、或
【解析】
【分析】
（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标；
（3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标．
【详解】
解：（1）将、代入中，
得：，解得：，抛物线的解析式为．
（2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示．
当时，有，
解得：，，点的坐标为．抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线．
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，直线的解析式为．当时，，当的值最小时，点的坐标为．
（3）设点的坐标为，
则，，．
分三种情况考虑：
①当时，有，即，
解得：，，点的坐标为或；
②当时，有，即，
解得：，点的坐标为；
③当时，有，即，
解得：，点的坐标为．
综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程．
2 .如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与抛物线交于点，此抛物线与轴的正半轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的一点．过点作垂直于轴于点，交线段于点，使．
①求点的坐标；
②在直线上是否存在点，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）①点坐标是；②存在，或
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用AC=2BC求出点A的坐标，在利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）①设点P的坐标为（a，-a2-3a+4），利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出DE和PE的长度，由DE=3PE，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标；
②设点M的坐标为，分别求得AB、AM、BM的长度，根据△ABM是以AB为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是AM为斜边，二是BM为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）∵直线与轴交于点．
∴
∵
∴
∵
∴
∵直线与轴交于点．
∴点坐标为
把点、标代入解析式
得
解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）①∵是直线上方的抛物线上一点
∴设点为坐标为
设直线解析式：
将点、坐标代入解析式，得
解得：
∴
∵轴于，交于点
∴点坐标为
∴
∵
∴
解得：（舍去），
当时，
∴点坐标是
②∵点M在直线PD上，
∴设点M的坐标为
∵点A（-2，6），点B（1，0），
∴
∵△ABM为以AB为直角边的直角三角形，
Ⅰ：当BM为斜边时，可得：AB2+AM2=BM2，
∴，∴
∴点M的坐标为
Ⅱ：当AM为斜边时，可得：AB2+BM2=AM2，
∴，∴
∴点M的坐标为
综上所述，符合题意的点M的坐标为或
【点睛】
本题主要考查二次函数、勾股定理的综合应用，解决第（2）②小题的题目种，构成直角三角形的问题时，若能求得三角形的长度，则可以利用勾股定理解决，同时此类问题中，要注意分类讨论思想的应用．
3 .已知抛物线与轴交于点和点，与直线交于点和点，为抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标．
（2）点为直线上方抛物线上一点，设为点到直线的距离，当有最大值时，求点的坐标．
（3）若点为直线上一点，作点关于轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1），点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）先由直线解析式求出B点坐标，再把A，B坐标代入抛物线解析式中，求出a,c的值，从而求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化成顶点式，求出顶点坐标即可；
（2）过点作轴，交于点，连接，，设点的坐标为，则，写出△PCB面积的表达式，求出△PCB面积最大值所对应的m，从而求出P点坐标；
（3）由题意，知，．设点的坐标为，分别求出，，，在分类讨论①当时，，②当时，，求出t，即可求出F的坐标.
【详解】
解：（1）∵直线，
令y=0，解得x=3，
∴，
将点，代入抛物线中，
得，解得
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴点的坐标为；
（2）过点作轴，交于点，连接，，如解图所示，
由题意，可知有最大值时，有最大值，
设点的坐标为，则，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，且最大值为，此时有最大值，
∴点的坐标为；
（3）由题意，知，．设点的坐标为，
则，，，
由题，易知，则当是直角三角形时，需分以下两种情况进行讨论，
①当时，，
即，解得，
∴点的坐标为；
②当时，，
即，解得（与点重合，故舍去）或，
∴点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】
本题是对二次函数的综合考查，熟练掌握二次函数解析式和图像性质是解决本题的关键，属于中考压轴题，难度较大.
4 .定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k的关联直线．
（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；
（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．
【答案】（1）y＝x+3﹣10＝x﹣7；（2）y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；（3）a=1或a=.
【解析】
【分析】
（1）先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据关联直线的定义即可得出答案；
（2）由题意可得a=2，c=3，设抛物线的顶点式为y=2（x-m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；
（3）由题意可得A（1，4a），B（2，3a），C（-1，0），可求AB2=1+a2，BC2=9+9a2，AC2=4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．
【详解】
解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10，
∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，
∴a＝2，c＝3，
可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，
则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，
∴，
解得或，
∴抛物线解析式为y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；
（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），
∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，
显然AB2＜BC2 且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，
当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，
当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得a=，
∵抛物线的顶点在第一象限，
∴a＞0，即a=1或a=.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用．
5 .已知：抛物线：（为正整数），抛物线的顶点为
（1）当k＝1时，的坐标为 ； 当k＝2时，的坐标为 ；
（2）抛物线的顶点是否在同一条直线上？如在，请直接写出这条直线的解析式；
（3）如图（2）中的直线为直线，直线与抛物线的左交点为，求证：与重合；
（4）抛物线与x轴的右交点为，是否存在是直角三角形？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(1，2)，(2，3)
（2）在,
（3）见解析
（4）存在，k＝3．
【解析】
【分析】
（1）直接把k＝1，k＝2代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）把二次函数的解析式化为顶点式即可求解；
（3）由（2）及题意可得，然后联立一次函数解析式及二次函数可求解；
（4）根据题意对的三个顶点作为直角顶点进行讨论即可，然后结合直角三角形的性质求解．
【详解】
解：（1）当k＝1时，则有，所以；
当k＝2时，则有，所以；
故答案为；
（2）在同一直线上，解析式为，理由如下：
由可得，
所以顶点坐标为，满足函数关系式为；
（3）：
解得：
∴
∴
∴与重合；
（4）存在，理由：分三种情况，，过点、分别作轴，轴，交x轴于点C、E、D，如图所示：
①∠＝90°则以为直径作圆，它与抛物线只有两个交点、，不存在
②∠＝90°，D＝1，D＝1 ∴∠＝45°
∴∠＝45°，∴ ∴k＝0（舍去）
③∠＝90°则∠＝45°∴∠＝45°
∴，解得（舍去），．
综上所述，存在，k＝3．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，关键是根据题意把二次函数的解析式转化为顶点式，然后根据直角三角形的分类讨论进行求解即可．
6 .如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；
（2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），M(1，4)；（2）当时，S最大=，E(，)；（3）存在，P1(1，)，P2(1，)，P3(1，1)，P4(1，2)．
【解析】
【分析】
（1）将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得、的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点的坐标；
（2）利用待定系数法确定直线解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点、的坐标，然后根据两点间的距离公式求得长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点的横坐标，易得其纵坐标，则点的坐标迎刃而解了；
（3）需要分类讨论：点、、分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案．
【详解】
解：（1）抛物线与轴交于点、，．
解得．，则；
（2）如图，作轴交于点
，，直线解析式为：．
设，则．．．
当时，S最大．
此时，点的坐标是，；
（3）设，、，，，．
①当时，，即．解得．
②当时，，即．解得．
③当时，，即．解得或2．
综上所述，存在，符合条件的点的坐标是或或或，
【点睛】
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
7 .如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，点M的坐标为（，－9）或（，11）．
【解析】
【分析】
（1）将A（-3，0），B（5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）先求得AC的长，然后取D（2，0），则AD=AC，连接BD，接下来，证明BC=BD，然后依据SSS可证明△ABC≌△ABD，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD；
（3）作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M′、M，依据点A和点B的坐标可得到tan∠BAE=，从而可得到tan∠M′AE=2或tan∠MBF=2，从而可得到FM和M′E的长，故此可得到点M′和点M的坐标．
【详解】
解:（1）将A（-3，0），B（5，-4）两点的坐标分别代入，
得
解得
故抛物线的表达式为y＝．
（2）证明：∵AO=3，OC=4，
∴AC==5．
取D（2，0），则AD=AC=5．
由两点间的距离公式可知BD==5．
∵C（0，-4），B（5，-4），
∴BC=5．
∴BD=BC．
在△ABC和△ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠CAB=∠BAD，
∴AB平分∠CAO；
（3）存在．如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．
抛物线的对称轴为x=，则AE=．
∵A（-3，0），B（5，-4），
∴tan∠EAB=．
∵∠M′AB=90°．
∴tan∠M′AE=2．
∴M′E=2AE=11，
∴M′（，11）．
同理：tan∠MBF=2．
又∵BF=，
∴FM=5，
∴M（，-9）．
∴点M的坐标为（，11）或（，-9）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM和M′E的长是解题的关键
8 .如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接.设点的纵坐标为，的面积为．
（1）当时，请直接写出点的坐标；
（2）关于的函数解析式为其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出与的值；
（3）在上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）； （3）存在，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据A点坐标求出直线AB的解析式，然后和直线进行联立即可求出B点的坐标；
（2）将，代入，可求出b的值，由题可知，当时，达到最大值，通过求出s，然后由即可求出a的值；
（3）若为的直角顶点，则，可求出AC的长度，从而得到结果；若为的直角顶点，过作垂线交于，，则，在中，由勾股定理可求出t，从而得到结果．
【详解】
（1）当时，，
∵直线，，
∴可设直线AB的解析式为，
将代入，
得，
∴直线AB的解析式为，
联立得，
∴ ；依题有，当时，
故
得
当时，达到最大值，
则
代入得，
解得
若为的直角顶点，则
此时的方程为，
令得
，
此时
若为的直角顶点，过作垂线交于
则
在中，由勾股定理得
即
解得：或
此时或；或
当为的直角顶点，此种情况不存在，当在上方时为锐角，
当在下方时，为钝角，故不存在．
【点睛】
本题考查了函数和几何综合问题，题目较难，明确题意，注意分类讨论的思想是解题的关键．
9 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.
【解析】
【分析】
（1）根据直线求出点B和点D坐标，再根据C和D之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；
（2）设点P坐标为（m，0），表示出M和N的坐标，再利用三角形面积求法得出S△BMD=，再求最值即可；
（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.
【详解】
解：（1）∵直线过点B，点B在x轴上，
令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，
∴B（6，0），D（0，-6），
∵点C和点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
∵抛物线经过点B和点C，代入，，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）设点P坐标为（m，0），
则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，m-6），
∴MN=-m+6=，
∴S△BMD=S△MNB+S△MND
=
=
=-3（m-2）2+48
当m=2时，S△BMD最大=48，
此时点P的坐标为（2，0）；
（3）存在，
由（2）可得：M（2，12），N（2，-4），
设点Q的坐标为（0，n），
当∠QMN=90°时，即QM⊥MN，如图，
可得，此时点Q和点M的纵坐标相等，
即Q（0，12）；
当∠QNM=90°时，即QN⊥MN，如图，
可得，此时点Q和点N的纵坐标相等，
即Q（0，-4）；
当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，
分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，
∵∠MQN=90°，
∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，
∴∠NQF=∠QME，
∴△MEQ∽△QFN，
∴，即，
解得：n=或，
∴点Q（0，）或（0，），
综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.
10 .如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
【答案】（1）；（2）（2，-3）；（3）或或.
【解析】
【分析】
（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后得出C点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E，设D（m，），利用S△ABD==得出方程，解出m值即可；
（3）分点A是直角顶点和点B是直角顶点，结合图像，表示出△ABP三边长度，利用勾股定理得出方程，求解即可.
【详解】
解：（1）直线中，
令x=0，则y=10，令y=0，则x=5，
∴A（5，0），B（0，10），
∵点C是OB中点，
∴C（0，5），将A和C代入抛物线中，，解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）联立：，
解得：或，
∴直线AB与抛物线交于点（-1，12）和（5，0），
∵点D是直线AB下方抛物线上的一点，设D（m，），
∴-1＜m＜5，
过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E，
∴E（m，-2m+10），
∴DE==，
∴S△ABD===，
解得：m=2，
∴点D的坐标为（2，-3）；
（3）抛物线表达式为：，
∵△APB是以AB为直角边的直角三角形，
设点P（n，），∵A（5，0），B（0，10），
∴AP2=，BP2=，AB2=125，
当点A为直角顶点时，
BP2= AB2+ AP2，
解得：n=或5（舍），
当点B为直角顶点时，
AP2= AB2+ BP2，
解得：n=或，
而抛物线对称轴为直线x=3，
则3-=，-3=，3-=，
综上：点P到抛物线对称轴的距离为：或或.
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数图象上坐标点的特征，待定系数法求二次函数解析式，三角形面积的铅垂高表示法，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的判定与性质等重要知识点，综合性强，难度较大．