专题2：二次函数与等腰三角形

这是一份专题2：二次函数与等腰三角形，共25页。
例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况
（1）当为顶角时，
（2）当为顶角时，
（3）当为顶角时，
1 .如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或m=1．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．
【详解】
（1）∵A（0，3），B（4，0）
∴，解得，
∴该抛物线的解析式是
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b1∵A（0，3），B（4，0）
∴，解得
∴直线AB的解析式为
∵CD∥y轴
∴C、D两点的横坐标都为m．
在中，当x=m时，
∴C（m，）
在中，当x=m时，
∴D（m，），
∴
（3）存在．
∵A（0，3），B（4，0）∴OA=3，OB=4，
过点C作CE⊥y轴于点E，∴CE∥OB，∴△ACE∽△ABO，∴
若△ACD是等腰三角形，则分以下情况讨论：
①CA=CD时，则整理得解得：m=0或
∵C不与A重合，∴m=0舍去
∴
②DA=DC时，过点D作DH⊥AC于点H，∴AH=HC
∵CD∥y轴
∴∠DCA=∠OAB，∴cs∠DCA=cs∠OAB，
∴，∴，∴5CH=3CD．
又∵HC=AC，∴5AC=6CD
则
整理得解得：m=0或
∵C不与A重合，
∴m=0舍去∴
③AD=AC时同理得m=1
综上存在m值，或或m=1使得△ACD是等腰三角形．
【点睛】
本题考查二次函数综合问题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标剪较小的纵坐标得出函数解析式，利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
2 .我们定义：如图1，在与中，两三角形有公共顶点，所在射线逆时针旋转到所在射线，所在射线逆时针旋转到所在射线，，则我们称与互为“旋补比例三角形”．
（1）如图1，与互为旋补比例三角形，时，①________，②___________；
（2）如图2，在中，于点，与互为旋补比例三角形，延长至点，使，连结，求证：与互为旋补比例三角形；
（3）如图3，在中，，点在轴的正半轴上，，点在第二象限，，抛物线经过点，与轴交点为， (点按逆时针排列)与互为旋补比例三角形，点在抛物线的对称轴上运动，当点构成的三角形是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）①；②
（2）见解析
（3），．
【解析】
【分析】
（1）根据题意直接可得出结论；
（2）结合旋补比例三角形的定义，找出，即可；
（3）结合题意，分析出为等腰直角三角形，在此基础上进行分类讨论，利用“一线三垂直”构造全等，得出结论．
【详解】
（1）由题意可知：，
（2），，和互为旋补比例三角形，，，，，，，，，，与互为旋补比例三角形．
（3），，，过作轴于点，，，， 经过与，，对称轴为直线，与互为旋补比例三角形，，，，，
如图，过点作于点，
，，即点与点重合，，即为等腰直角三角形，为以点为顶点的等腰三角形，，，
①在轴上方，如图：
易证：，，，，，
②在轴下方，如图：
易证：
，，，，
综上，，．
【点睛】
本题考查了对新定义图形的理解与运用，前面两个小题属于较为基础的题型，结合题干中给出的概念，紧紧围绕概念展开证明即可；最后一问还考查了对二次函数解析式的求解，以及与“一线三垂直”模型的综合运用问题，掌握等腰三角形中常考的几何模型是比较关键的．
3 .如图，抛物线交轴于点交轴于点，直线经过点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是抛物线上一动点，设点的横坐标为．
①若点在直线的下方，当的面积最大时，求的值；
②若是以为底的等腰三角形，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2）①的值是-2；②
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可．
（2）①由题意得，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为，用m来表示的面积，再根据二次函数的性质求解即可；②根据，可得，列式求出m的值即可．
【详解】
解：（1）∵直线交轴于点，交轴于点．
∴．
∵抛物线经过点，
∴
∴
∴抛物线的解析式为
（2）①∵点的横坐标为，
∴点的坐标为．
如图，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为
∴
∴的面积是
∴当的面积最大时，的值是-2．
②的值为或．
由题可知， ，
∴
解得．
【点睛】
本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的性质、待定系数法是解题的关键．
4 .如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为．
①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②当取得最值时，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②当时，取得最大值，此时；（3）存在，点的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；
（2）①先求出点M，点A，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解；
②利用二次函数的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【详解】
（1）抛物线的对称轴为直线．
又抛物线与轴的交点为，抛物线的解析式为．
（2）①顶点．
设直线的解析式为．
将代入，
得解得
直线的解析式为．轴且，的面积．点在线段上，且，，
故与之间的函数关系式为．
②，当时，取得最大值；
当时，没有最小值．
综上，当时，取得最大值，此时
（3）存在．
当时，，，
解得（舍去）或，此时．
当时，
解得（舍去）或，此时．
当时，，，
解得或，均不符合题意，舍去．
综上所诉，存在点使为等腰三角形，点的坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
5 .如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）E（，﹣）；（3）（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）
【解析】
【分析】
（1）用直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；
（3）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，
故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；
（2）过点E作EH∥y轴交BC于点H，
设点E（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）
S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），
∵﹣＜0，当x＝时，S△CBE有最大值，
点E（，﹣）；
（3）点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），
CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，
①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；
②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；
③当CM＝PM时，同理可得：m＝；
故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6 .如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB=10．，抛物线经过点B，C，D．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若直线EF与BC平行，与同物线只有一个交点，求直线EF的解析式；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2) ；(3)存在，P点坐标为或或或
【解析】
【分析】
（1）由菱形对边平行、邻边相等的性质，解得，再由锐角三角函数及勾股定理解得OB、OC的长，进而得到点B、C、D的坐标，利用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）用待定系数法求直线的解析式，再根据两直线平行，斜率k相等的性质，设直线EF的解析式为y=x+，根据直线EF与抛物线只有一个交点，联立直线与抛物线两个解析式方程，可知该方程的根的判别式为0，据此解出t即可解题；
（3）将抛物线解析式配方成顶点式，解出对称轴方程，三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，则分两种情况讨论：①如果CP=CB，②如果BP=BC，据此解题．
【详解】
解：(1)因为四边形ABCD是菱形，
所以ADBC，BC=AB=10．
又因为在直角三角形OCB中，OC²+OB²=BC，
即
解得OB=6(负值已舍去）
所以OC=8
所以B(-6，0)，C(0，8)，D(-10，8)．
设抛物线的解析式为，·
因为抛物线经过点B，C，D，解得，
所以抛物线的解析式为
(2)设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B，C点代入上式，得
解得
因为EFBC，
设直线EF的解析式为y=x+．
又因为直线EF与抛物线只有一个交点，
所以只有一个解，，解得t=5．
设直线EF解析式为y=x+5
（3）抛物线的解析式为
所以抛物线的对称方程为x=-5
设抛物线的对称轴上存在点P(-5，y)，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形．
由（1）知B(-6，0)，C(0，8)，BC=10．
分两种情况：
①如果CP=CB，那么，
解得
②如果BP=BC，那么
解得．
所以抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形，此时P点坐标为或或)或．
【点睛】
本题考查二次函数综合，其中涉及菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理、待定系数法解二次函数解析式、一次函数解析式、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
7 .如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）直接写出二次函数的解析式；
（2）当，运动到秒时，将△APQ沿翻折，若点恰好落在抛物线上点处，求出点坐标；
（3）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在满足条件的点，点 的坐标为 或 或 或．
【解析】
【分析】
（1）将A，B点坐标代入函数中，求得b、c，进而即可求得解析式；
（2）根据题意，D点关于PQ与A点对称，过点Q作于F，先证明四边形是菱形，再结合三角形相似以及设进行求解即可得解；
（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ，借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．
【详解】
（1）将，代入，求得，
∴；
（2）如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作于
∵，，
∴
∴四边形为菱形
∵
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∵D在二次函数上
∴
∴，或（舍去）
∴；
（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为或或或
如上图，过点Q作于D，此时
∵，，，
∴，，
∴，
∵
∴
∴
∴，；
①如下图，作AQ的垂直平分线，交AQ于E
此时，即为等腰三角形
设，则，
∴在中，，解得
∴
∴；
②如下图，以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E
此时
∵
∴
∴
∴；
③当时
1）当E在A点左边时
∵
∴
2）当E在A点右边时
∵
∴；
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为或或或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的几何综合，熟练掌握二次函数的相关性质及几何综合求解方法是解决本题的关键.
8 .如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）P（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；
（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．
试题解析：（1）∵抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得：，即此抛物线的解析式是；
（2）∵=，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；
（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：
①当PA=PD时=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）；
②当DA=DP时，=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）或（1，）；
③当AD=AP时，=，解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意．
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．
考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；综合题．
9 .如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；
(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；(2)点的横坐标为；(3)AN=1或.
【解析】
【分析】
(1)根据和点可得抛物线的表达式为，可知对称轴为x=-2，代入解析式即可得出顶点坐标；(2)设点，则，，可得矩形的周长，即可求解；(3)由D为顶点，A、B为抛物线与x轴的交点可得AD=BD，即可证明∠DAB=∠DBA，根据，利用角的和差关系可得，即可证明，可得；分、、，三种情况分别求解即可．
【详解】
(1)∵抛物线经过点和点．
∴抛物线的表达式为：，
∴对称轴为：x==-2，
把x=-2代入得：y=4，
∴顶点.
(2)设点，
则，，
矩形的周长，
∵，
∴当时，矩形周长最大，此时，点的横坐标为.
(3)∵点D为抛物线顶点，A、B为抛物线与x轴的交点，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）
∴，，
①当时，
∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，
∴，
∴，
∴=AB-AM=1；
②当时，则，
∵∠DMN=∠DBA，
∴∠NDM=∠DBA，
∵∠DAB是公共角，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，即，
∴；
③当时，
∵，而，
∴，
∴；
综上所述：或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
10 .如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值为；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．
【解析】
【分析】
（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．
（2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值．
（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．
【详解】
（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4
∴C（0，4）
当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4
（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵ME⊥x轴于点E，PB＝t
∴∠BEP＝90°
∴Rt△BEP中，
∴，
∴
∵点M在抛物线上
∴，
∴ ，
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON＝PE＝t
∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴
∴
解得：（点P不与点C重合，故舍去）
∴t的值为
（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE
∴∠BPE＝∠PBE＝45°
∴∠MPD＝∠BPE＝45°
①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°
∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°
∵∠AEM＝90°
∴AE＝ME
∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4
∴A（﹣1，0）
∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t
∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t＝﹣t2+5t
解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）
③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF
∴CF＝CD
∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m
∴ 解得： ，
∴直线AM：
∴F（0，t）
∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t
∵tx+t＝﹣x+4，解得：，
∴，
∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°
∴，
∴
解得：
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．