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试卷 2020年广西贵港市覃塘区中考数学二模试卷 解析版
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这是一份试卷 2020年广西贵港市覃塘区中考数学二模试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题每小题都给出标号为A，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．﹣2的倒数是（ ）
A．2B．﹣C．D．﹣2
2．用科学记数法表示的数是2.13×10﹣3，则原来的数是（ ）
A．0.213B．0.0213C．0.00213D．0.000213
3．八年级6名女生的体育测试成绩分别为70，80，85，75，80，90（单位：分），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．79，85B．80，79C．85，80D．80，80
4．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2B．（3a2）3＝27a6
C．x6÷x2＝x3D．（a+b）2＝a2+b2
5．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
6．已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
7．下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直．其中逆命题是真命题的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14B．12C．12或14D．以上都不对
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，点D在AB的延长线上，若∠A＝25°，则∠D的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
10．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2B．y＝﹣x2+x﹣2C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2+x+2
11．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，动点M，N分别在AD和AB上，则线段BM+MN的最小值是（ ）
A．4B．3C．4D．2
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE＝3DE．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．因式分解：3m2﹣3＝ ．
14．如图，AD∥BC，AB＝AD，若∠A＝110°，则∠DBC＝ ．
15．一书架有上下两层，其中上层有1本语文1本数学，下层有1本语文2本数学，现从上下层随机各取1本，则抽到的2本都是数学书的概率为 ．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，若E，F，N分别是AB，BC，CD边的中点，则△EFN的面积为 ．
17．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为 ．
18．如图，正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…均在直线y＝kx+b（k＞0）上，点B1，B2，B3，…均在x轴上．若A（0，1），B（1，0），则点C3的坐标是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）（1）计算：2sin60°+|﹣2|+（﹣1）﹣1+．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其a，b满足a+b＝．
20．（5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明）：如图，已知点P在∠AOB的OA边上，在∠AOB的内部求作一点M，使点M到OA，OB两边的距离相等，且PM＝OM．
21．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数（其中k≠0，x＞0）的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△PAB＝，求点P的坐标． ．
22．（8分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
23．（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过B，C两点，交AB于点E，过点E作EF∥CO交AC于点F，延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，BG＝，求tan∠DEF的值．
25．（11分）如图，已知直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E在第二象限内的抛物线上，直线AC与BE相交于点F，当BE＝3EF时，求点E的坐标；
（3）设点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，当以M，N，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
26．（10分）已知，四边形ABCD和四边形CEFM都是正方形，点M是CD边上一点（不与C，D重合）．
（1）如图1，连接BM，DE，试判断线段BM与DE的关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若FM平分∠BFD，且CD＝n•CM（n＞1），BF与CD交于点N．
①求n的值；
②求证：∠BFD＝45°．
2020年广西贵港市覃塘区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑．
1．﹣2的倒数是（ ）
A．2B．﹣C．D．﹣2
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
故选：B．
2．用科学记数法表示的数是2.13×10﹣3，则原来的数是（ ）
A．0.213B．0.0213C．0.00213D．0.000213
【分析】根据已知的科学记数法表示的数，变形得到原数即可．
【解答】解：用科学记数法表示的数2.13×10﹣3，其原数为0.00213，
故选：C．
3．八年级6名女生的体育测试成绩分别为70，80，85，75，80，90（单位：分），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．79，85B．80，79C．85，80D．80，80
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：将数据重新排列为70，75，80，80，85，90，
所以这组数据的众数为80分，中位数为80分．
故选：D．
4．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2B．（3a2）3＝27a6
C．x6÷x2＝x3D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（3a2）3＝27a6，正确；
C、x6÷x2＝x4，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
5．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
【分析】求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
因为正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣1，2），
所以2＝﹣k，
解得：k＝﹣2，
所以y＝﹣2x，
把这四个选项中的点的坐标分别代入y＝﹣2x中，等号成立的点就在正比例函数y＝﹣2x的图象上，
所以这个图象必经过点（1，﹣2）．
故选：D．
6．已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：将代入，
可得：，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
7．下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直．其中逆命题是真命题的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，进而判断解答即可．
【解答】解：①两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是是真命题；
②对顶角相等的逆命题是相等的两个角是对顶角，逆命题是假命题；
③等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题；
④菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，逆命题是假命题；
故选：B．
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14B．12C．12或14D．以上都不对
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝5或x＝7．
当x＝7时，3+4＝7，不能组成三角形；
当x＝5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5＝12，
故选：B．
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，点D在AB的延长线上，若∠A＝25°，则∠D的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】连接OC．由等腰三角形的性质得出∠OCA＝∠A＝25°，由切线的性质得出∠OCD＝90°，由三角形的内角和定理则可求出答案．
【解答】解：连接OC．
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠A＝25°，
∴∠DOC＝∠A+∠OCA＝50°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠DOC＝40°，
故选：A．
10．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2B．y＝﹣x2+x﹣2C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2+x+2
【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【解答】解：先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2﹣x+2；再将所得的抛物线y＝﹣x2﹣x+2关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2+x+2，
故选：C．
11．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，动点M，N分别在AD和AB上，则线段BM+MN的最小值是（ ）
A．4B．3C．4D．2
【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝4，∠BAC＝45°，
∴BH＝AB•sin45°＝4×＝2．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝2．
故选：D．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE＝3DE．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】求出OA＝OC＝OD＝BD，求出∠ADB＝30°，求出∠ABO＝60°，得出等边三角形AOB，求出AB＝BO＝AO＝OD＝OC＝DC，推出BF＝AB，求出∠H＝∠CAH＝15°，求出DE＝EO，根据以上结论推出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠FAB＝45°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠AFC＝135°，CF与AH不垂直，
∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，
∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝，AB＝1，
∴tan∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，∠AOB＝∠BAO＝60°＝∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∵AB＝BO，
∴BF＝BO，∴②正确；
∵∠BAO＝60°，∠BAF＝45°，
∴∠CAH＝15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO＝90°，
∵∠EOC＝60°，
∴∠ECO＝30°，
∴∠H＝∠ECO﹣∠CAH＝30°﹣15°＝15°＝∠CAH，
∴AC＝CH，
∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，
∴DC＝OC＝OD，
∵CE⊥BD，
∴DE＝EO＝DO＝BD，
即BE＝3ED，∴④正确；
所以其中正确结论有②③④，3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．因式分解：3m2﹣3＝ 3（m﹣1）（m+1） ．
【分析】首先提公因式3，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝3（m2﹣1）＝3（m﹣1）（m+1），
故答案为：3（m﹣1）（m+1）．
14．如图，AD∥BC，AB＝AD，若∠A＝110°，则∠DBC＝ 35° ．
【分析】首先利用等腰三角形的性质和顶角的度数求得底角∠D的度数，然后利用平行线的性质求得答案即可．
【解答】解：∵AB＝AD，若∠A＝110°，
∴∠ABD＝∠ADB＝＝＝35°，
∵AB∥BC，
∴∠DBC＝∠D＝35°，
故答案为：35°．
15．一书架有上下两层，其中上层有1本语文1本数学，下层有1本语文2本数学，现从上下层随机各取1本，则抽到的2本都是数学书的概率为 ．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，抽到的2本都是数学书的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把语文、数学简称为语、数，画树状图如图：
共有6个等可能的结果，抽到的2本都是数学书的结果有2个，
∴抽到的2本都是数学书的概率为＝，
故答案为：．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，若E，F，N分别是AB，BC，CD边的中点，则△EFN的面积为 ．
【分析】连接AC，BD，交于点O，判定△ABD是等边三角形，即可得到BD＝AB＝4，∠BAO＝30°，再根据NF是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，即可得出NF＝BD＝2，EF＝AC＝2，NF⊥EF，进而得到△EFN的面积．
【解答】解：如图所示，连接AC，BD，交于点O，
∵菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，∠BAO＝30°，
∴AO＝AB×cs30°＝4×＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∵E，F，N分别是AB，BC，CD边的中点，
∴NF是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴NF∥BD，EF∥AC，NF＝BD＝2，EF＝AC＝2，
又∵BD⊥AC，
∴NF⊥EF，
∴△EFN的面积为＝＝，
故答案为：．
17．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为 6cm ．
【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（9﹣2r）cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到＝2πr，解方程求出r，然后计算9﹣2r即可．
【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（9﹣2r）cm，
根据题意得＝2πr，
解得r＝，
所以AB＝9﹣2r＝9﹣2×＝6（cm）．
故答案为6cm．
18．如图，正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…均在直线y＝kx+b（k＞0）上，点B1，B2，B3，…均在x轴上．若A（0，1），B（1，0），则点C3的坐标是 （11，4） ．
【分析】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，…，即可得到C1，C2，C3，C4的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），即可得到C1，C2，C3，C4…在一条直线上，直线的解析式为y＝x+，把C3的纵坐标代入即可求得横坐标．
【解答】解：由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，
∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，
∴C1，C2，C3，C4的纵坐标分别为1，2，4，8，…，
∴根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），
∴直线C1C2的解析式为y＝x+，
∵A3的纵坐标为4，
∴C3的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝x+，解得x＝11，
∴C3的坐标是（11，4），
故答案为（11，4）．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）（1）计算：2sin60°+|﹣2|+（﹣1）﹣1+．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其a，b满足a+b＝．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，立方根进行计算，再求出答案即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝2×+2﹣﹣1+（﹣2）
＝+2﹣﹣1﹣2
＝﹣1；
（2）原式＝•
＝•
＝，
当a+b＝时，原式＝＝＝2．
20．（5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明）：如图，已知点P在∠AOB的OA边上，在∠AOB的内部求作一点M，使点M到OA，OB两边的距离相等，且PM＝OM．
【分析】作∠AOB的平分线和线段OP的垂直平分线，它们的交点为M点．
【解答】解：如图，点M为所作．
21．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数（其中k≠0，x＞0）的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△PAB＝，求点P的坐标． （﹣2，0）或（8，0） ．
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝（k≠0）求k即可；
（2）设P（x，0），求得B、C点的坐标，则PC＝|3﹣x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
解得或，
∴B（2，1），
∵S△PAB＝，
∴S△APB＝S△APC﹣S△BPC＝，
∴|3﹣x|×2﹣|3﹣x|×1＝，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0），
故答案为（﹣2，0）或（8，0）．
22．（8分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝ 36 ，n＝ 16 ；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
【分析】（1）由书法小组人数及其对应百分比可得总人数，再根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；
（2）根据百分比的概念可得m、n的值；
（3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比．
【解答】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150（人），
航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人），
补全图形如下：
（2）m%＝×100%＝36%，n%＝×100%＝16%，
即m＝36、n＝16，
故答案为：36、16；
（3）估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1200×16%＝192（人）．
23．（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
依题意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m为整数，
∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过B，C两点，交AB于点E，过点E作EF∥CO交AC于点F，延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，BG＝，求tan∠DEF的值．
【分析】（1）连接CE，由等腰三角形的性质得出∠OCE＝∠CEO＝45°，由平行线的性质得出∠ECO＝∠FEC＝45°，证得OE⊥EF，则可得出答案；
（2）过G作GM⊥BC于M，求出CM＝2，由锐角三角函数的概念得出tan∠CGM＝＝2，证明四边形CDEF是平行四边形，得出∠FCD＝∠FED，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接CE，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠EOC＝2∠B，
∴∠EOC＝2×45°＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠OCE＝∠CEO＝45°，
∵FE∥CO，
∴∠ECO＝∠FEC＝45°，
∴∠FEO＝∠FEC+∠CEO＝90°，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过G作GM⊥BC于M，
∴△GMB是等腰直角三角形，
∴MB＝GM，
∵BG＝，
∴MB＝GM＝1，
∵BC＝3，
∴CM＝2，
∴tan∠CGM＝＝2，
∵EF∥CO，ED∥AC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴∠FCD＝∠FED，
∵∠ACB＝∠GMB＝90°，
∴∠CGM＝∠FCD，
∴∠DEF＝∠CGM，
∴tan∠DEF＝tan∠CGM＝2．
25．（11分）如图，已知直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E在第二象限内的抛物线上，直线AC与BE相交于点F，当BE＝3EF时，求点E的坐标；
（3）设点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，当以M，N，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△EHB∽△FGB，则，求出F的坐标（+t，+t），进而求解；
（3）分AN为平行四边形的对角线、AM为平行四边形的对角线两种情况，利用中点公式即可求解．
【解答】解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，
∴C（0，6）、A（﹣3，0），
∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；
（2）令﹣2x2﹣4x+6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），
∵点E的横坐标为t，
∴E（t，﹣2t2﹣4t+6），
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥x轴于点G，则EH∥FG，
则△EHB∽△FGB，
∵BE＝3EF，
∴，
∵BH＝1﹣t，
∴BG＝BH＝﹣t，
∴点F的横坐标为+t，
∴F（+t，+t），
∴﹣2t2﹣4t+6＝（+t），
∴t2+3t+2＝0，
解得t1＝﹣2，t2＝﹣1，
当t＝﹣2时，﹣2t2﹣4t+6＝6，
当t＝﹣1时，﹣2t2﹣4t+6＝8，
∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8）；
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴对称轴x＝﹣1，
设N（﹣1，a），
①当AN为平行四边形的对角线时，
∵A（﹣3，0），C（0，6），
（﹣3﹣1）＝（xM+0），解得xM＝﹣4，
把xM＝﹣4代入y＝﹣2x2﹣4x+6，得：yM＝﹣10，
∴M（﹣4，﹣10）；
②当AM为平行四边形的对角线时，
∵A（﹣3，0），C（0，6），
∴（0﹣1）＝（xM﹣3），解得xM＝2，
把xM＝2代入y＝﹣2x2﹣4x+6，得yM＝6，
∴M（2，6），
综上所述，M的坐标为（﹣4，﹣10）或（2，6）．
26．（10分）已知，四边形ABCD和四边形CEFM都是正方形，点M是CD边上一点（不与C，D重合）．
（1）如图1，连接BM，DE，试判断线段BM与DE的关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若FM平分∠BFD，且CD＝n•CM（n＞1），BF与CD交于点N．
①求n的值；
②求证：∠BFD＝45°．
【分析】（1）证明△BCM≌△DCE可得：BM＝DE且BM⊥DE；
（2）①如图2，设CM＝1，则CD＝n，DM＝n﹣1，根据平行线分线段成比例定理列比例式 可得CN和MN的长，根据等腰三角形三线合一的性质得DM＝MN，列方程可得结论；
②如图3，连接CF，证明CF＝CD＝BC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论．
【解答】解：（1）BM＝DE且BM⊥DE；
理由是：如图1，∵四边形ABCD和四边形CEFM都是正方形，
∴BC＝CD，CM＝CE，∠BCD＝∠DCE＝90°，
∴△BCM≌△DCE（SAS），
∴BM＝DE，∠CBM＝∠CDE，
延长BM交DE于G，
∵∠CMB＝∠DMG，
∴∠DGM＝∠BCM＝90°，
∴BM⊥DE；
（2）①如图2，设CM＝1，则CD＝n，DM＝n﹣1，
∵CD∥EF，
∴，即，
∴CN＝，MN＝1﹣＝．
∵FM平分∠BFD，FM⊥CD，
∴DM＝MN，则n﹣1＝，
∵n＞1，
∴n＝；
②证明：如图3，连接CF，则CF＝CM，而CD＝CM，
∴CF＝CD＝BC，
∴∠CFB＝∠CBF，∠CDF＝∠CFD，
∵∠FCE＝∠DCF＝45°，
∴∠CFB＝22.5°，∠CFD＝＝67.5°，
∴∠BFD＝∠CFD﹣∠CFB＝67.5°﹣22.5°＝45°．
1．﹣2的倒数是（ ）
A．2B．﹣C．D．﹣2
2．用科学记数法表示的数是2.13×10﹣3，则原来的数是（ ）
A．0.213B．0.0213C．0.00213D．0.000213
3．八年级6名女生的体育测试成绩分别为70，80，85，75，80，90（单位：分），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．79，85B．80，79C．85，80D．80，80
4．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2B．（3a2）3＝27a6
C．x6÷x2＝x3D．（a+b）2＝a2+b2
5．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
6．已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
7．下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直．其中逆命题是真命题的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14B．12C．12或14D．以上都不对
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，点D在AB的延长线上，若∠A＝25°，则∠D的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
10．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2B．y＝﹣x2+x﹣2C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2+x+2
11．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，动点M，N分别在AD和AB上，则线段BM+MN的最小值是（ ）
A．4B．3C．4D．2
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE＝3DE．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．因式分解：3m2﹣3＝ ．
14．如图，AD∥BC，AB＝AD，若∠A＝110°，则∠DBC＝ ．
15．一书架有上下两层，其中上层有1本语文1本数学，下层有1本语文2本数学，现从上下层随机各取1本，则抽到的2本都是数学书的概率为 ．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，若E，F，N分别是AB，BC，CD边的中点，则△EFN的面积为 ．
17．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为 ．
18．如图，正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…均在直线y＝kx+b（k＞0）上，点B1，B2，B3，…均在x轴上．若A（0，1），B（1，0），则点C3的坐标是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）（1）计算：2sin60°+|﹣2|+（﹣1）﹣1+．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其a，b满足a+b＝．
20．（5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明）：如图，已知点P在∠AOB的OA边上，在∠AOB的内部求作一点M，使点M到OA，OB两边的距离相等，且PM＝OM．
21．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数（其中k≠0，x＞0）的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△PAB＝，求点P的坐标． ．
22．（8分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
23．（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过B，C两点，交AB于点E，过点E作EF∥CO交AC于点F，延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，BG＝，求tan∠DEF的值．
25．（11分）如图，已知直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E在第二象限内的抛物线上，直线AC与BE相交于点F，当BE＝3EF时，求点E的坐标；
（3）设点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，当以M，N，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
26．（10分）已知，四边形ABCD和四边形CEFM都是正方形，点M是CD边上一点（不与C，D重合）．
（1）如图1，连接BM，DE，试判断线段BM与DE的关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若FM平分∠BFD，且CD＝n•CM（n＞1），BF与CD交于点N．
①求n的值；
②求证：∠BFD＝45°．
2020年广西贵港市覃塘区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑．
1．﹣2的倒数是（ ）
A．2B．﹣C．D．﹣2
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
故选：B．
2．用科学记数法表示的数是2.13×10﹣3，则原来的数是（ ）
A．0.213B．0.0213C．0.00213D．0.000213
【分析】根据已知的科学记数法表示的数，变形得到原数即可．
【解答】解：用科学记数法表示的数2.13×10﹣3，其原数为0.00213，
故选：C．
3．八年级6名女生的体育测试成绩分别为70，80，85，75，80，90（单位：分），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．79，85B．80，79C．85，80D．80，80
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：将数据重新排列为70，75，80，80，85，90，
所以这组数据的众数为80分，中位数为80分．
故选：D．
4．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2B．（3a2）3＝27a6
C．x6÷x2＝x3D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（3a2）3＝27a6，正确；
C、x6÷x2＝x4，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
5．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
【分析】求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
因为正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣1，2），
所以2＝﹣k，
解得：k＝﹣2，
所以y＝﹣2x，
把这四个选项中的点的坐标分别代入y＝﹣2x中，等号成立的点就在正比例函数y＝﹣2x的图象上，
所以这个图象必经过点（1，﹣2）．
故选：D．
6．已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：将代入，
可得：，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
7．下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直．其中逆命题是真命题的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，进而判断解答即可．
【解答】解：①两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是是真命题；
②对顶角相等的逆命题是相等的两个角是对顶角，逆命题是假命题；
③等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题；
④菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，逆命题是假命题；
故选：B．
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14B．12C．12或14D．以上都不对
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝5或x＝7．
当x＝7时，3+4＝7，不能组成三角形；
当x＝5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5＝12，
故选：B．
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，点D在AB的延长线上，若∠A＝25°，则∠D的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】连接OC．由等腰三角形的性质得出∠OCA＝∠A＝25°，由切线的性质得出∠OCD＝90°，由三角形的内角和定理则可求出答案．
【解答】解：连接OC．
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠A＝25°，
∴∠DOC＝∠A+∠OCA＝50°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠DOC＝40°，
故选：A．
10．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2B．y＝﹣x2+x﹣2C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2+x+2
【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【解答】解：先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2﹣x+2；再将所得的抛物线y＝﹣x2﹣x+2关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2+x+2，
故选：C．
11．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，动点M，N分别在AD和AB上，则线段BM+MN的最小值是（ ）
A．4B．3C．4D．2
【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝4，∠BAC＝45°，
∴BH＝AB•sin45°＝4×＝2．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝2．
故选：D．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE＝3DE．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】求出OA＝OC＝OD＝BD，求出∠ADB＝30°，求出∠ABO＝60°，得出等边三角形AOB，求出AB＝BO＝AO＝OD＝OC＝DC，推出BF＝AB，求出∠H＝∠CAH＝15°，求出DE＝EO，根据以上结论推出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠FAB＝45°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠AFC＝135°，CF与AH不垂直，
∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，
∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝，AB＝1，
∴tan∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，∠AOB＝∠BAO＝60°＝∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∵AB＝BO，
∴BF＝BO，∴②正确；
∵∠BAO＝60°，∠BAF＝45°，
∴∠CAH＝15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO＝90°，
∵∠EOC＝60°，
∴∠ECO＝30°，
∴∠H＝∠ECO﹣∠CAH＝30°﹣15°＝15°＝∠CAH，
∴AC＝CH，
∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，
∴DC＝OC＝OD，
∵CE⊥BD，
∴DE＝EO＝DO＝BD，
即BE＝3ED，∴④正确；
所以其中正确结论有②③④，3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．因式分解：3m2﹣3＝ 3（m﹣1）（m+1） ．
【分析】首先提公因式3，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝3（m2﹣1）＝3（m﹣1）（m+1），
故答案为：3（m﹣1）（m+1）．
14．如图，AD∥BC，AB＝AD，若∠A＝110°，则∠DBC＝ 35° ．
【分析】首先利用等腰三角形的性质和顶角的度数求得底角∠D的度数，然后利用平行线的性质求得答案即可．
【解答】解：∵AB＝AD，若∠A＝110°，
∴∠ABD＝∠ADB＝＝＝35°，
∵AB∥BC，
∴∠DBC＝∠D＝35°，
故答案为：35°．
15．一书架有上下两层，其中上层有1本语文1本数学，下层有1本语文2本数学，现从上下层随机各取1本，则抽到的2本都是数学书的概率为 ．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，抽到的2本都是数学书的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把语文、数学简称为语、数，画树状图如图：
共有6个等可能的结果，抽到的2本都是数学书的结果有2个，
∴抽到的2本都是数学书的概率为＝，
故答案为：．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，若E，F，N分别是AB，BC，CD边的中点，则△EFN的面积为 ．
【分析】连接AC，BD，交于点O，判定△ABD是等边三角形，即可得到BD＝AB＝4，∠BAO＝30°，再根据NF是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，即可得出NF＝BD＝2，EF＝AC＝2，NF⊥EF，进而得到△EFN的面积．
【解答】解：如图所示，连接AC，BD，交于点O，
∵菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，∠BAO＝30°，
∴AO＝AB×cs30°＝4×＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∵E，F，N分别是AB，BC，CD边的中点，
∴NF是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴NF∥BD，EF∥AC，NF＝BD＝2，EF＝AC＝2，
又∵BD⊥AC，
∴NF⊥EF，
∴△EFN的面积为＝＝，
故答案为：．
17．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为 6cm ．
【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（9﹣2r）cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到＝2πr，解方程求出r，然后计算9﹣2r即可．
【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（9﹣2r）cm，
根据题意得＝2πr，
解得r＝，
所以AB＝9﹣2r＝9﹣2×＝6（cm）．
故答案为6cm．
18．如图，正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…均在直线y＝kx+b（k＞0）上，点B1，B2，B3，…均在x轴上．若A（0，1），B（1，0），则点C3的坐标是 （11，4） ．
【分析】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，…，即可得到C1，C2，C3，C4的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），即可得到C1，C2，C3，C4…在一条直线上，直线的解析式为y＝x+，把C3的纵坐标代入即可求得横坐标．
【解答】解：由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，
∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，
∴C1，C2，C3，C4的纵坐标分别为1，2，4，8，…，
∴根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），
∴直线C1C2的解析式为y＝x+，
∵A3的纵坐标为4，
∴C3的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝x+，解得x＝11，
∴C3的坐标是（11，4），
故答案为（11，4）．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）（1）计算：2sin60°+|﹣2|+（﹣1）﹣1+．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其a，b满足a+b＝．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，立方根进行计算，再求出答案即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝2×+2﹣﹣1+（﹣2）
＝+2﹣﹣1﹣2
＝﹣1；
（2）原式＝•
＝•
＝，
当a+b＝时，原式＝＝＝2．
20．（5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明）：如图，已知点P在∠AOB的OA边上，在∠AOB的内部求作一点M，使点M到OA，OB两边的距离相等，且PM＝OM．
【分析】作∠AOB的平分线和线段OP的垂直平分线，它们的交点为M点．
【解答】解：如图，点M为所作．
21．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数（其中k≠0，x＞0）的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△PAB＝，求点P的坐标． （﹣2，0）或（8，0） ．
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝（k≠0）求k即可；
（2）设P（x，0），求得B、C点的坐标，则PC＝|3﹣x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
解得或，
∴B（2，1），
∵S△PAB＝，
∴S△APB＝S△APC﹣S△BPC＝，
∴|3﹣x|×2﹣|3﹣x|×1＝，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0），
故答案为（﹣2，0）或（8，0）．
22．（8分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝ 36 ，n＝ 16 ；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
【分析】（1）由书法小组人数及其对应百分比可得总人数，再根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；
（2）根据百分比的概念可得m、n的值；
（3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比．
【解答】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150（人），
航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人），
补全图形如下：
（2）m%＝×100%＝36%，n%＝×100%＝16%，
即m＝36、n＝16，
故答案为：36、16；
（3）估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1200×16%＝192（人）．
23．（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
依题意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m为整数，
∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过B，C两点，交AB于点E，过点E作EF∥CO交AC于点F，延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，BG＝，求tan∠DEF的值．
【分析】（1）连接CE，由等腰三角形的性质得出∠OCE＝∠CEO＝45°，由平行线的性质得出∠ECO＝∠FEC＝45°，证得OE⊥EF，则可得出答案；
（2）过G作GM⊥BC于M，求出CM＝2，由锐角三角函数的概念得出tan∠CGM＝＝2，证明四边形CDEF是平行四边形，得出∠FCD＝∠FED，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接CE，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠EOC＝2∠B，
∴∠EOC＝2×45°＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠OCE＝∠CEO＝45°，
∵FE∥CO，
∴∠ECO＝∠FEC＝45°，
∴∠FEO＝∠FEC+∠CEO＝90°，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过G作GM⊥BC于M，
∴△GMB是等腰直角三角形，
∴MB＝GM，
∵BG＝，
∴MB＝GM＝1，
∵BC＝3，
∴CM＝2，
∴tan∠CGM＝＝2，
∵EF∥CO，ED∥AC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴∠FCD＝∠FED，
∵∠ACB＝∠GMB＝90°，
∴∠CGM＝∠FCD，
∴∠DEF＝∠CGM，
∴tan∠DEF＝tan∠CGM＝2．
25．（11分）如图，已知直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E在第二象限内的抛物线上，直线AC与BE相交于点F，当BE＝3EF时，求点E的坐标；
（3）设点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，当以M，N，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△EHB∽△FGB，则，求出F的坐标（+t，+t），进而求解；
（3）分AN为平行四边形的对角线、AM为平行四边形的对角线两种情况，利用中点公式即可求解．
【解答】解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，
∴C（0，6）、A（﹣3，0），
∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；
（2）令﹣2x2﹣4x+6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），
∵点E的横坐标为t，
∴E（t，﹣2t2﹣4t+6），
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥x轴于点G，则EH∥FG，
则△EHB∽△FGB，
∵BE＝3EF，
∴，
∵BH＝1﹣t，
∴BG＝BH＝﹣t，
∴点F的横坐标为+t，
∴F（+t，+t），
∴﹣2t2﹣4t+6＝（+t），
∴t2+3t+2＝0，
解得t1＝﹣2，t2＝﹣1，
当t＝﹣2时，﹣2t2﹣4t+6＝6，
当t＝﹣1时，﹣2t2﹣4t+6＝8，
∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8）；
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴对称轴x＝﹣1，
设N（﹣1，a），
①当AN为平行四边形的对角线时，
∵A（﹣3，0），C（0，6），
（﹣3﹣1）＝（xM+0），解得xM＝﹣4，
把xM＝﹣4代入y＝﹣2x2﹣4x+6，得：yM＝﹣10，
∴M（﹣4，﹣10）；
②当AM为平行四边形的对角线时，
∵A（﹣3，0），C（0，6），
∴（0﹣1）＝（xM﹣3），解得xM＝2，
把xM＝2代入y＝﹣2x2﹣4x+6，得yM＝6，
∴M（2，6），
综上所述，M的坐标为（﹣4，﹣10）或（2，6）．
26．（10分）已知，四边形ABCD和四边形CEFM都是正方形，点M是CD边上一点（不与C，D重合）．
（1）如图1，连接BM，DE，试判断线段BM与DE的关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若FM平分∠BFD，且CD＝n•CM（n＞1），BF与CD交于点N．
①求n的值；
②求证：∠BFD＝45°．
【分析】（1）证明△BCM≌△DCE可得：BM＝DE且BM⊥DE；
（2）①如图2，设CM＝1，则CD＝n，DM＝n﹣1，根据平行线分线段成比例定理列比例式 可得CN和MN的长，根据等腰三角形三线合一的性质得DM＝MN，列方程可得结论；
②如图3，连接CF，证明CF＝CD＝BC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论．
【解答】解：（1）BM＝DE且BM⊥DE；
理由是：如图1，∵四边形ABCD和四边形CEFM都是正方形，
∴BC＝CD，CM＝CE，∠BCD＝∠DCE＝90°，
∴△BCM≌△DCE（SAS），
∴BM＝DE，∠CBM＝∠CDE，
延长BM交DE于G，
∵∠CMB＝∠DMG，
∴∠DGM＝∠BCM＝90°，
∴BM⊥DE；
（2）①如图2，设CM＝1，则CD＝n，DM＝n﹣1，
∵CD∥EF，
∴，即，
∴CN＝，MN＝1﹣＝．
∵FM平分∠BFD，FM⊥CD，
∴DM＝MN，则n﹣1＝，
∵n＞1，
∴n＝；
②证明：如图3，连接CF，则CF＝CM，而CD＝CM，
∴CF＝CD＝BC，
∴∠CFB＝∠CBF，∠CDF＝∠CFD，
∵∠FCE＝∠DCF＝45°，
∴∠CFB＝22.5°，∠CFD＝＝67.5°，
∴∠BFD＝∠CFD﹣∠CFB＝67.5°﹣22.5°＝45°．
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