试卷-浙江省绍兴市诸暨市2020-2021学年九年级上学期质检数学试卷 解析版

这是一份试卷-浙江省绍兴市诸暨市2020-2021学年九年级上学期质检数学试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了抛物线y＝，下列说法正确的是，二次函数y＝ax2+bx+c，抛物线y＝x2﹣4x+2不经过等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
2．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．三点确定一个圆
C．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
D．半圆是弧
3．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A．B．C．2D．
4．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞5
5．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．﹣1＜a≤1C．a＞0D．﹣1＜a＜2
6．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点
7．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第3.3sB．第4.3sC．第5.2sD．第4.6s
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．a＜0B．b＜0C．c＜0D．a＜b
9．抛物线y＝x2﹣4x+2不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，在正方形ABCD中，△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，CF＝6，CE＝4，则AC的长度为（ ）
A．4B．C．5D．
二.填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）若二次函数y＝ax2的图象经过点（﹣1，2），则二次函数y＝ax2的解析式是 ．
12．（5分）抛物线的对称轴是直线x＝ ．
13．（5分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm．
14．（5分）已知函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为 ．
15．（5分）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 ．
16．（5分）如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1以y轴为对称轴作轴对称得到C2，C2与x轴交于点B，若直线y＝x+m与C1，C2共有2个不同的交点，则m的取值范围是 ．
三．解答题（17-20题，每小题8分，21题10分，22、23题12分，24题14分）
17．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 ；
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为 ．（用含m，n的式子表示）
18．（8分）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
19．（8分）小王电子产品专柜以20元/副的价格批发了某新款耳机，在试销的60天内整理出了销售数据如下
（1）若试销阶段每天的利润为W元，求出W与x的函数关系式；
（2）请问在试销阶段的哪一天销售利润W可以达到最大值？最大值为多少？
20．（8分）设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{﹣1，﹣1}＝﹣1，min{1，2}＝1，min{4，﹣3}＝﹣3，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）若min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，求x的取值范围；
（2）求函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标，函数y＝﹣x2﹣2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y＝﹣x﹣2，并根据图象直接写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值．
21．（10分）如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．
（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为 ．
（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．
22．（12分）【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
（1）如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过观察、分析、思考，他对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系…
请你根据上面分析，完成该问题的解答过程；
【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
（2）如图2，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面积；
（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB＝，PC＝，求AB的长．
23．（12分）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米．
（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．
24．（14分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一动点，连接AP，CP，求△APC面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）若点D在x轴的上方，以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B与点D，请求出平移后得抛物线解析式，并写出平移过程．
2020-2021学年浙江省绍兴市诸暨市浣江中学九年级（上）质检数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题4分，共40分）
1．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
2．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．三点确定一个圆
C．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
D．半圆是弧
【分析】根据等弧的定义对A、C进行判断；根据确定圆的条件对B进行判断；根据弧的定义对D进行判断．
【解答】解：A、长度相等的两条弧不一定是等弧，所以A选项错误；
B、不共线的三点确定一个圆，所以B选项错误；
C、同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，所以C选项错误；
D、半圆是弧，所以D选项正确．
故选：D．
3．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A．B．C．2D．
【分析】根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
【解答】解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选：A．
4．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞5
【分析】根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，对称轴为直线x＝2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
又∵抛物线开口向下，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5．
故选：A．
5．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．﹣1＜a≤1C．a＞0D．﹣1＜a＜2
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列式即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+2x的对称轴为直线x＝1，
∵﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，
∴a≤1，
∴﹣1＜a≤1．
故选：B．
6．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点
【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案．
【解答】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．
故选：A．
7．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第3.3sB．第4.3sC．第5.2sD．第4.6s
【分析】由炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等可知这两点关于对称轴对称，故此可求得求得抛物线的对称轴．
【解答】解：∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴方程为x＝4.5．
∵4.6s最接近4.5s，
∴当4.6s时，炮弹的高度最高．
故选：D．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．a＜0B．b＜0C．c＜0D．a＜b
【分析】根据二次函数的图象与性质逐一判断即可求出答案．
【解答】解：∵开口向下，且对称轴位于y轴左侧、抛物线与y轴的交点位于y轴的负半轴，
∴a＜0、b＜0，c＜0，
故此选项A、B、C正确；
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a﹣b+c＞c，
∴a﹣b＞0，即a＞b，故选项D错误；
故选：D．
9．抛物线y＝x2﹣4x+2不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】求出抛物线的图象和x轴、y轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：y＝x2﹣4x+4﹣2＝（x﹣2）2﹣2，
即抛物线的顶点坐标是（2，﹣2），在第四象限；
当y＝0时，x2﹣4x+2＝0，解得：x＝2，
即与x轴的交点坐标是（2+，0）和（2﹣，0），都在x轴的正半轴上，
a＝1＞0，抛物线的图象的开口向上，与y轴的交点坐标是（0，2），
即抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
10．如图，在正方形ABCD中，△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，CF＝6，CE＝4，则AC的长度为（ ）
A．4B．C．5D．
【分析】由旋转的性质可得DE＝BF，由题意可得方程组BC+BF＝6，CD﹣DE＝4，可求BC＝CD＝5，BF＝DE＝1，由正方形的性质可求解．
【解答】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴DE＝BF，
∵CF＝6，CE＝4，
∴BC+BF＝6，CD﹣DE＝4，且BC＝CD，BF＝DE，
∴BC＝CD＝5，BF＝DE＝1，
∴AC＝BC＝5，
故选：D．
二.填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）若二次函数y＝ax2的图象经过点（﹣1，2），则二次函数y＝ax2的解析式是 y＝2x2 ．
【分析】把已知点的坐标代入y＝ax2中求出a即可．
【解答】解：把（﹣1，2）代入y＝ax2得2＝a×（﹣1）2，解得a＝2，
所以抛物线解析式为y＝2x2．
故答案为y＝2x2．
12．（5分）抛物线的对称轴是直线x＝ ﹣4 ．
【分析】直接利用对称轴公式计算得出答案．
【解答】解：抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝﹣4．
故答案为：﹣4．
13．（5分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 2 cm．
【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA＝2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．
【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA＝2OD＝2cm，
∴AD＝＝＝cm，
∵OD⊥AB，
∴AB＝2AD＝cm．
故答案为：2．
14．（5分）已知函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为 0或1 ．
【分析】讨论：当k＝0时，函数为一次函数，满足条件；当k≠0时，利用判别式的意义得到当△＝（﹣2）2﹣4k＝0抛物线与x轴只有一个交点，求出此时k的值．
【解答】解：当k＝0时，函数解析式变形为y＝﹣2x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；
当k≠0时，△＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1，此时抛物线与x轴只有一个交点，
综上所述，k的值为0或1．
故答案为0或1．
15．（5分）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 或2 ．
【分析】过B作直径，连接AC交BO于E，如图①，根据已知条件得到BD＝×2×3＝2，如图②，BD＝×2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
【解答】解：过B作直径，连接AC交BO于点E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝，
∴边CD＝＝；
如图②，BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝＝2，
∴边CD＝＝＝2，
故答案为或2．
16．（5分）如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1以y轴为对称轴作轴对称得到C2，C2与x轴交于点B，若直线y＝x+m与C1，C2共有2个不同的交点，则m的取值范围是 m＝0或m＝或2≤m＜ ．
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过原点和过点B时m的值，结合图形即可得到答案
【解答】解：如图所示，分别作出直线y＝x+m过点O、与C1相切、过点B，与C2相切时的直线
令y＝﹣2x2+4x＝0
解得：x＝0或x＝2
则A（2，0），B（﹣2，0）
∵C1与C2关于y轴对称，C1：y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2
∴C2关解析式为y＝﹣2（x+1）2+2＝﹣2x2﹣4x（﹣2≤x≤0）
当直线y＝x+m过点O时，它与C1，C2共有2个不同的交点，此时m＝0；
当直线与C1相切时，令x+m＝﹣2x2+4x得：
2x2﹣3x+m＝0
∴△＝9﹣8m＝0
解得：m＝；
当直线y＝x+m过点B时，有：
0＝﹣2+m
∴m＝2；
当直线与C2相切时，令x+m＝﹣2x2﹣4x得：
2x2+5x+m＝0
∴△＝25﹣8m＝0
解得：m＝
∴当m＝0或m＝或2≤m＜时，直线y＝x+m与C1，C2共有2个不同的交点．
故答案为：m＝0或m＝或2≤m＜．
三．解答题（17-20题，每小题8分，21题10分，22、23题12分，24题14分）
17．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 （﹣3，1） ；
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为 （﹣n，m） ．（用含m，n的式子表示）
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到点C2的坐标；
（3）利用（2）中对应点的规律写出Q的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（﹣3，1）；
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为（﹣n，m）．
故答案为（﹣3，1），（﹣n，m）．
18．（8分）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
【分析】（1）由AB＝CD得到＝，则＝，然后利用圆心角、弧、弦的关系得到结论；
∴（2）根据圆周角定理，由＝得到∠ADC＝∠DAB，则EA＝ED，然后利用AB＝CD得到CE＝BE．
【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴AC＝BD；
（2）∵＝，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴EA＝ED，
∵AB＝CD，
即AE+BE＝CE+DE，
∴CE＝BE．
19．（8分）小王电子产品专柜以20元/副的价格批发了某新款耳机，在试销的60天内整理出了销售数据如下
（1）若试销阶段每天的利润为W元，求出W与x的函数关系式；
（2）请问在试销阶段的哪一天销售利润W可以达到最大值？最大值为多少？
【分析】（1）利用总利润＝单件利润×销量写出函数关系式即可；
（2）配方后确定两个最值，取最大的即可．
【解答】解：（1）①当1≤x＜35时，W1＝（x+30﹣20）（100﹣2x）
即W1＝﹣2（x﹣20）2+1800；
②当35≤x≤60时，W2＝（70﹣20）（100﹣2x）
即W2＝﹣100x+5000；
故W与x之间的函数关系式为W＝；
（2）∵W1＝﹣2（x﹣20）2+1800（1≤x＜35），
∴在试销的第一阶段，在第20天时，利润最大为1800元，
∵W2＝﹣100x+5000（35≤x≤60），
∴在试销的第二阶段，在第35天时，销售利润最大为1500元，
综上可知，在试销阶段的第20天时W最大，最大值为1800元．
20．（8分）设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{﹣1，﹣1}＝﹣1，min{1，2}＝1，min{4，﹣3}＝﹣3，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）若min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，求x的取值范围；
（2）求函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标，函数y＝﹣x2﹣2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y＝﹣x﹣2，并根据图象直接写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值．
【分析】（1）根据题意，可以得到3x+1≥﹣x+2，然后即可得到x的取值范围；
（2）将函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2联立方程组，即可得到两个函数的交点坐标，然后根据交点坐标即可画出函数y＝﹣x﹣2的函数图象，再根据函数图象，即可写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值．
【解答】解：（1）∵min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，
∴3x+1≥﹣x+2，
解得x≥，
即x的取值范围是x≥；
（2），
解得或，
即函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标坐标是（﹣3，1）、（2，﹣4），
直线y＝﹣x﹣2过点（﹣3，1）、（2，﹣4），直线y＝﹣x﹣2的图象如右图所示，
由图象可得，
min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值是1．
21．（10分）如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．
（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为 50° ．
（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．
【分析】（1）连接OC，利用三角形的内角和定理求出∠B，再利用等腰三角形的性质求出∠BOC即可．
（2）作OH⊥BC于H，利用面积法求出OH，再利用勾股定理求出BH，利用垂径定理BC＝2BH即可解决问题．
【解答】解：（1）连接OC．
∵∠AOB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴弧BC的度数为50°，
故答案为50°．
（2）如图，作OH⊥BC于H．
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵S△AOB＝•OB•OA＝•AB•OH，
∴OH＝＝，
∴BH＝＝＝，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∴BC＝2BH＝．
22．（12分）【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
（1）如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过观察、分析、思考，他对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系…
请你根据上面分析，完成该问题的解答过程；
【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
（2）如图2，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面积；
（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB＝，PC＝，求AB的长．
【分析】（1）由∠ABC＝60°，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，则△APD是等边三角形，∠APC＝∠ADB＝150°，PC＝DB＝4，得出∠ADP＝60°，DP＝AP＝3，∠PDB＝90°，由勾股定理即可得出结果；
（2）将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，则△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，得出PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，推出PP′＝PC，即AP＝PC，由勾股定理得出AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，求出PC＝2，AP＝，由三角形面积公式即可得出结果；
（3）如答图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．首先证明∠PDB＝90°，再证明A，P，D共线，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，如图1所示：
则△APD是等边三角形，∠APC＝∠ADB＝150°，PC＝DB＝4，
∴∠ADP＝60°，DP＝AP＝3，
∴∠PDB＝90°，
∴PB＝＝＝5；
解：（2）将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，如答图1所示：
则△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，
∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，
∴PP′＝PC，即AP＝PC，
∵∠APC＝90°，
∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，
∴PC＝2，
∴AP＝，
∴S△APC＝AP•PC＝××2＝7；
（2）如答图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．
由旋转性质可知；BD＝PA＝1，CD＝CP＝2，∠PCD＝90°，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴PD＝PC＝×2＝4，∠CDP＝45°，
∵PD2+BD2＝42+12＝17，PB2＝（）2＝17，
∴PD2+BD2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠BDC＝135°，
∴∠APC＝∠CDB＝135°，
∵∠CPD＝45°，
∴∠APC+∠CPD＝180°，
∴A，P，D共线，
∴AD＝AP+PD＝5，
在Rt△ADB中，AB＝＝＝．
23．（12分）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米．
（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．
【分析】（1）抛物线的解析式为y＝ax2+c，把点C（0，8）和点B（16，0），代入即可求出抛物线解析式；
（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（3）根据题意画出图形，利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【解答】解：（1）抛物线的解析式为y＝ax2+c，
又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0），
∴0＝256a+8，a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8（﹣16≤x≤16）；
（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2
∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；
（3）①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x＝OE＝16﹣4＝12，
EF＝y＝3.5米；
②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH＝D E′＝16﹣4＝12，O F′＝R＝20，
在Rt△OH F′中，H F′＝，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米）
∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米．
24．（14分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一动点，连接AP，CP，求△APC面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）若点D在x轴的上方，以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B与点D，请求出平移后得抛物线解析式，并写出平移过程．
【分析】（1）由y＝0，可得关于x的一元二次方程，解方程，可得点A与点B的坐标，由x＝0可求得点C的坐标；
（2）连接AC，作直线AC的平行线MN，分别交x轴和y轴于点M和点N，当直线MN与抛物线只有一个交点，即相切时，切点为点P，此时△APC的面积最大，连接AP，CP，过点A作AH⊥MN于点H，先联立抛物线与直线MN，求得b值及此时点P的坐标；再根据S△ACP＝AC×AH求△APC面积的最大值；
（3）连接AC，BC，分两种情况求解：①将△ABC沿x轴翻折，则点C（0，﹣3）的对应点落在点D1（0，3）处，则△ABD1≌△ABC，②将△ABD1沿抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴x＝﹣1翻折，则点D1（0，3）的对应点落在点D2（﹣2，3）处，则△BAD2≌△ABD1≌△ABC．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得，x1＝﹣3，x2＝1；
当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）；
（2）连接AC，作直线AC的平行线MN，分别交x轴和y轴于点M和点N，当直线MN与抛物线只有一个交点，即相切时，切点为点P，此时△APC的面积最大，连接AP，CP，过点A作AH⊥MN于点H，如图1：
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，OA＝OC＝3，AC＝3；
设直线MN的解析式为y＝﹣x+b，
联立，
得：x2+2x﹣3＝﹣x+b，
整理得：x2+3x﹣3﹣b＝0，
∴△＝32﹣4×1×（﹣3﹣b）
＝9+12+4b
＝21+4b
＝0，
解得，b＝﹣，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x﹣，
∴x2+3x﹣3﹣（﹣）＝0，
∴x2+3x+＝0，
解得，x1＝x2＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，﹣）．
在y＝﹣x﹣中，令y＝0，得x＝﹣，
∴OM＝ON＝，∠OMN＝45°，
∴S△ACP＝AC×AH
＝×3×（﹣3）×sin45°
＝．
∴△APC面积的最大值为，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；
（3）y＝x2+2x﹣3
＝（x+1）2﹣4，
连接AC，BC，如图2：
①将△ABC沿x轴翻折，则点C（0，﹣3）的对应点落在点D1（0，3）处，则△ABD1≌△ABC，
设平移后经过点B（1，0），点D1（0，3）的抛物线解析式为y＝x2+bx+3，
将B（1，0）代入，得：0＝1+b+3，
解得，b＝﹣4，
∴平移后经过点B，点D1的抛物线解析式为
y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴平移过程为将抛物线y＝x2+2x﹣3先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度；
②将△ABD1沿抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴x＝﹣1翻折，则点D1（0，3）的对应点落在点D2（﹣2，3）处，则△BAD2≌△ABD1≌△ABC，
设平移后过点B（1，0），点D2（﹣2，3）的抛物线解析式为y＝x2+mx+n，
将B（1，0），D2（﹣2，3）代入，得：
，
解得，，
∴平移后过点B，点D2的抛物线解析式为y＝x2﹣1，
∴平移过程为将抛物线y＝x2+2x﹣3先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度；
综上所述，平移后经过点B与点D的抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3或y＝x2﹣1，平移过程为将抛物线y＝x2+2x﹣3先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，或者将抛物线y＝x2+2x﹣3先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
销售数据（第x天）
售价（元）
日销售量（副）
1≤x＜35
x+30
100﹣2x
35≤x≤60
70
100﹣2x
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