试卷 2019-2020人教版数学八年级第二学期期中试卷9

这是一份试卷 2019-2020人教版数学八年级第二学期期中试卷9，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题二80等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．6x2y3＝2x2•3y3D．x2+1＝x（x+）
3．（3分）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，下列结论中不一定正确的（ ）
A．S四边形ADHC＝S四边形BEFH
B．AD＝BD
C．AD＝BE
D．∠DEF＝90°
5．（3分）解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD，若∠BAD＝55°，∠B＝50°，则∠DEC的度数为（ ）
A．125°B．120°C．115°D．110°
7．（3分）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条直线相交于点C（1，p），则不等式组的解集为（ ）
A．x＜5B．x＜﹣2C．﹣2＜x＜5D．﹣2＜x＜1
8．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边AC上一点（不与点A，C重合），DE⊥BC，垂足为E，连接BD，将△BDE沿DE折叠得到△FDE．若AB＝6，则当△CDF是等腰三角形时，CD的长为（ ）
A．9B．6C．3D．3
9．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华B．我游中华C．中华美D．我爱美
10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形A′B′C′D′的位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为（ ）
A．3B．1.5C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）当x＝ 时，分式的值为零．
12．（3分）用反证法证明“如果|a|＞a，那么a＜0．”是真命题时，第一步应先假设 ．
13．（3分）如果不等式组的解集是x＞3，那么m的取值范围是 ．
14．（3分）“地摊经济”给城市带来烟火气，不明的爸爸采购了一大批服装准备摆地摊，已知每套服装进价为240元，出售标价为360元，为了吸引顾客，小明爸爸准备打折销售，但要保持利润不低于20%，那么至多可打 折．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中点，E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠到△C'DE，连接AC'，当△AEC'是直角三角形时，CE的长为 ．
三、解答题（共7小题，共55分）二80
16．（6分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x是不等式组的整数解．
17．（6分）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，在图（1）中画出第二次平移后的图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，在图（2）画出旋转后的图形△AB2C2；
（3）我们发现点B、B2关于某点中心对称，对称中心的坐标是 ．
18．（6分）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
19．（7分）“青山一道同云雨，明月何曾是两乡”我国新冠疫情基本控制，境外疫情肆虐．为了帮助全球抗疫，某厂接到在规定时间内生产1500台呼吸机支援境外抗疫．在生产了300台呼吸机后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务．求原来每天生产多少台呼吸机？
20．（9分）已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，点D与点A为对应点，画出Rt△ODC，并连接BC．
（1）填空：∠OBC＝ °；
（2）如图，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度．
21．（10分）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资．两次满载的运输情况如表：
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）目前有46.4吨物资要运输到武汉，该公司拟安排甲乙货车共10辆，全部物资一次运完，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用？
22．（11分）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）
【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是 三角形；∠ADB的度数为 ．
【问题解决】
在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；
【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为 ．
2019-2020人教版数学八年级第二学期期中试卷9
参考答案与试题解析
一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．6x2y3＝2x2•3y3D．x2+1＝x（x+）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是因式分解，故本选项符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，也叫分解因式．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
【解答】解：，
由①得x≤2，由②得x＞﹣2，
故此不等式组的解集为：
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）如图，Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，下列结论中不一定正确的（ ）
A．S四边形ADHC＝S四边形BEFH
B．AD＝BD
C．AD＝BE
D．∠DEF＝90°
【分析】先利用平移的性质得到AD＝BE，△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质得到∠DEF＝∠ABC＝90°，S△ABC＝S△DEF，利用面积的和差得到S四边形ADHC＝S四边形BEFH．
【解答】解：∵Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，
∴AD＝BE，△ABC≌△DEF，
∴∠DEF＝∠ABC＝90°，S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ADHC＝S四边形BEFH．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
5．（3分）解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：分式方程的最简公分母为（x﹣1）（x+1），
方程两边乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD，若∠BAD＝55°，∠B＝50°，则∠DEC的度数为（ ）
A．125°B．120°C．115°D．110°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C＝50°，进而得到∠BAC＝80°，由∠BAD＝55°，得到∠DAE＝25°，由DE⊥AD，进而求出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠DAE＝25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（3分）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条直线相交于点C（1，p），则不等式组的解集为（ ）
A．x＜5B．x＜﹣2C．﹣2＜x＜5D．﹣2＜x＜1
【分析】y＝kx+b＜0，则x＜﹣2，y＝mx+n＞0，则x＜5，即可求解．
【解答】解：y＝kx+b＜0，则x＜﹣2，
y＝mx+n＞0，则x＜5，
不等式组的解集即为：x＜﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．
8．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边AC上一点（不与点A，C重合），DE⊥BC，垂足为E，连接BD，将△BDE沿DE折叠得到△FDE．若AB＝6，则当△CDF是等腰三角形时，CD的长为（ ）
A．9B．6C．3D．3
【分析】由等边三角形的性质得出BC＝AB＝6，∠ACB＝60°，易求∠DCF＝120°，∠CDE＝30°，由含30°角直角三角形的性质得出CD＝2CE，由勾股定理求出DE＝CE，设CE＝x，则CF＝CD＝2x，EF＝CF+CE＝3x，由折叠的性质得BE＝EF＝3x，BC＝BE+CE＝4x＝6，求出x＝，即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝6，∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝120°，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE，
DE＝＝＝CE，
设CE＝x，
∵△CDF是等腰三角形，∠DCF＝120°，
∴CF＝CD＝2x，
∴EF＝CF+CE＝2x+x＝3x，
由折叠的性质得：BE＝EF＝3x，
∴BC＝BE+CE＝3x+x＝4x＝6，
∴x＝，
∴CD＝2x＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识；熟练掌握折叠的性质与直角三角形的性质是解题的关键．
9．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华B．我游中华C．中华美D．我爱美
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断．
【解答】解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
信息中的汉字有：华、我、爱、中．
所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形A′B′C′D′的位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为（ ）
A．3B．1.5C．D．
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角对等边得到AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD＝AC′＝AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°，
∴∠DAD′＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠EAC＝∠ACD＝30°，
∴AE＝CE，
在Rt△ADE中，设AE＝EC＝x，则有DE＝DC﹣EC＝AB﹣EC＝3﹣x，
AD＝BC＝AB•tan30°＝×3＝，
根据勾股定理得：x2＝（3﹣x）2+（）2，
解得：x＝2，
∴EC＝2，
则S△AEC＝EC•AD＝，
故选：D．
【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）当x＝ 3 时，分式的值为零．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．
【解答】解：分式的值为零，即x2﹣9＝0，
∵x≠﹣3，
∴x＝3．
故当x＝3时，分式的值为零．
故答案为3．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
12．（3分）用反证法证明“如果|a|＞a，那么a＜0．”是真命题时，第一步应先假设 a≥0 ．
【分析】直接利用反证法的步骤，即可得出答案．
【解答】解：用反证法证明“如果|a|＞a，那么a＜0．”是真命题时，第一步应先假设：a≥0．
故答案为：a≥0．
【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13．（3分）如果不等式组的解集是x＞3，那么m的取值范围是 m≤3 ．
【分析】先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，然后和已知的解集比对，得到关于m的不等式，从而解答即可．
【解答】解：在中
由（1）得，x＞3
由（2）得，x＞m
根据已知条件，不等式组解集是x＞3
根据“同大取大”原则m≤3．
故答案为：m≤3．
【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．
14．（3分）“地摊经济”给城市带来烟火气，不明的爸爸采购了一大批服装准备摆地摊，已知每套服装进价为240元，出售标价为360元，为了吸引顾客，小明爸爸准备打折销售，但要保持利润不低于20%，那么至多可打 八 折．
【分析】设打了x折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
【解答】解：设打了x折，
由题意得360×0.1x﹣240≥240×20%，
解得：x≥8．
则要保持利润不低于20%，至多打8折．
故答案为：八．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中点，E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠到△C'DE，连接AC'，当△AEC'是直角三角形时，CE的长为 或5 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当∠EC′A＝90°时，如图2中，当∠AEC′＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当∠EC′A＝90°时，
∵∠C＝∠DC′E＝90°，
∴∠DC′E+∠EC′A＝180°，
∴D，C′，A共线，
∵CD＝DB＝5，AC＝12，
∴AD＝＝＝13，
设CE＝EC′＝x，则AE＝12﹣x，
在Rt△AEC′中，则有（12﹣x）2＝x2+（13﹣5）2
解得x＝，
∴CE＝．
如图2中，当∠AEC′＝90°时，∠CED＝∠DEC′＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠CDE＝∠CDE＝45°，
∴CD＝CE＝5，
综上所述，满足条件的CE的值为或5．
【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共7小题，共55分）二80
16．（6分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x是不等式组的整数解．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝，
∵，
∴解得：﹣3＜x≤，
∴整数解为﹣2，﹣1，0，
根据分式有意义的条件可知：x＝0，
∴原式＝＝﹣1，
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
17．（6分）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，在图（1）中画出第二次平移后的图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，在图（2）画出旋转后的图形△AB2C2；
（3）我们发现点B、B2关于某点中心对称，对称中心的坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2即可；
（3）确定BB2的中点即可．
【解答】解：（1）如图（1），△A1B1C1为所作；
（2）如图（2），△AB2C2为所作；
（3）点B、B2关于某点中心对称，对称中心的坐标是（﹣1，﹣2）．
故答案为（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
18．（6分）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∵AP是∠DAC的平分线，
∴DP＝EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中，，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），
∴BD＝CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴AD＝AE，
∵AB＝6cm，AC＝10cm，
∴6+AD＝10﹣AE，
即6+AD＝10﹣AD，
解得AD＝2cm．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
19．（7分）“青山一道同云雨，明月何曾是两乡”我国新冠疫情基本控制，境外疫情肆虐．为了帮助全球抗疫，某厂接到在规定时间内生产1500台呼吸机支援境外抗疫．在生产了300台呼吸机后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务．求原来每天生产多少台呼吸机？
【分析】设原来每天生产x台呼吸机，则提高工作效率后每天生产1.5x台呼吸机，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设原来每天生产x台呼吸机，则提高工作效率后每天生产1.5x台呼吸机，
依题意，得：﹣＝4，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意．
答：原来每天生产100台呼吸机．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．（9分）已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，点D与点A为对应点，画出Rt△ODC，并连接BC．
（1）填空：∠OBC＝ 60 °；
（2）如图，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度．
【分析】（1）只要证明△OBC是等边三角形，即可得到∠OBC的度数；
（2）根据面积法，利用三角形AOC的面积进行计算，即可得到OP的长度．
【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°．
故答案为：60．
（2）∵OB＝4，∠ABO＝30°，
∴OA＝OB＝2，AB＝OA＝2，
∵△BOC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵S△AOC＝OA×AB＝AC×OP，
∴×2×2＝×2×OP，
∴OP＝．
【点评】本题考查了30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转的性质．
21．（10分）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资．两次满载的运输情况如表：
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）目前有46.4吨物资要运输到武汉，该公司拟安排甲乙货车共10辆，全部物资一次运完，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用？
【分析】（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，根据表中数据列出二元一次方程组进行解答便可；
（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10﹣z）辆，根据题意列出不等式求出z的整数值，再设总运费为w元，再根据题意列出w关于z的一次函数解析式，最后根据一次函数的性质求得x的值，进而得安排货车的方案．
【解答】解：（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，根据题意得，
，
解得，，
答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3.5吨物资；
（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10﹣z）辆，根据题意得，
5z+3.5（10﹣z）≥46.4，
解得，z≥7.6，
∵x为整数，
∴x＝8或9或10，
设总运费为w元，根据题意得，
w＝500z+300（10﹣z）＝200z+3000，
∵200＞0，
∴w随z的增大而增大，
∴当z＝8时，w的值最小为w＝200×8+3000＝4600，
答：该公司应如何甲货车8辆，乙货车2辆最节省费用．
【点评】考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案．
22．（11分）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）
【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是 等边 三角形；∠ADB的度数为 30° ．
【问题解决】
在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；
【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为 7+或7﹣ ．
【分析】【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形；
②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．
【问题解决】当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．
【拓展应用】第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；
第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，
在△ABD和△ABD′中，
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，
∵BD＝BD′，BD＝BC，
∴BD′＝BC，
∴△D′BC是等边三角形，
②∵△D′BC是等边三角形，
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，
在△AD′B和△AD′C中，，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，
∴∠ADB＝30°．
故答案为：等边，30°；
【问题解决】解：∵∠DBC＜∠ABC，
∴60°＜α≤120°，
如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝α，
∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣α﹣β，
同（1）①可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣α﹣β+90°﹣α＝180°﹣（α+β），
∵α+β＝120°，
∴∠D′BC＝60°，
由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，
∴∠ADB＝30°．
【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，
由（2）知，∠ADB＝30°，
作AE⊥BD，
在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2，
∴DE＝，
∵△BCD'是等边三角形，
∴BD'＝BC＝7，
∴BD＝BD'＝7，
∴BE＝BD﹣DE＝7﹣；
第②情况：当0°＜α＜60°时，
如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．
同理可得：∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°﹣α），
同（1）①可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°﹣α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，
∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]＝180°﹣（α+β），
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．
同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，
∴∠ADB＝∠AD′B＝150°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，AD＝2，
∴DE＝，
∴BE＝BD+DE＝7+，
故答案为：7+或7﹣．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
3
4
29
第二次
2
6
31
甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
3
4
29
第二次
2
6
31