试卷 2019-2020人教版数学八年级第二学期期中试卷8

这是一份试卷 2019-2020人教版数学八年级第二学期期中试卷8，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＝3
3．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化为（ ）
A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝13C．（x﹣4）2＝19D．（x+4）2＝19
4．如图，在▱ABCD中，若∠A+∠C＝110°，则∠B的度数是（ ）
A．70°B．105°C．125°D．135°
5．下面计算正确的是（ ）
A．＝±5B．（﹣）2＝﹣5C．3﹣2＝D．÷＝4
6．表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差，要选择一名发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．已知关于x的方程x2+4x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDGF，使点F，G在其内部，则∠BCF的度数是（ ）
A．12°B．18°C．24°D．30°
9．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．5000（1+x）＝6050B．5000（1+2x）＝6050
C．5000（1﹣x）2＝6050D．5000（1+x）2＝6050
10．已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（ ）
A．一直增大B．保持不变
C．先增大后减小D．先减小后增大
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2﹣25＝0的解为 ．
12．（4分）当x＝﹣14时，二次根式的值是 ．
13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设： ．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，P为AB上的一点，E、F分别是DP、CP的中点，G、H为CD上的点，连接EG、FH，若▱ABCD的面积为24cm，GH＝AB，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（4分）如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB＝18m，AD＝15m，在绿地中开辟三条宽为xm的道路后，剩余绿地的面积为144m2，则x＝ ．
16．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝5.5，则AB的长是 ．
三、解答题（本题有6小题，共46分）
17．（6分）（1）计算：．
（2）解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．（6分）如图，在10×10的正方形方格之中，△ABC的顶点都在格点上
（1）在图1中画出△ABC关于格点O成中心对称的△A'B'C'．
（2）在图2中画出格点▱ABEF，使得S▱ABEF＝S△ABC．
19．（8分）疫情期间，实验中学启动“抗疫在家体有运动打卡”活动．线上学习期间，为了解同学的打卡情况，某社会实践小组随机抽取某一周的部分打卡次数数据，通过分析与整理，绘制了如下统计图．
（1）m＝ ，a＝ ．
（2）这组数据的众数是 次，中位数是 次．
（3）返校后，线上体育打卡1次记为1分，将线上体育打卡和体能测试成绩分别按照30%和70%的比例计算出平均成绩并评选出体育达人，小方与他的PK对手小锋的成绩分别如表所示，请通过计算说明最终谁赢得了这场PK．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，点F在对角线AC上且AE＝EF＝FC．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠CDE＝90°，DC＝8，DE＝6，求▱DEBF的周长．
21．（8分）返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全的考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液．去市场购天时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．
（1）当x＝80时，每瓶洗手液的价格是 元；当x＝150时，每瓶洗手液的价格是 元．
（2）若家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？
22．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，8），点B的坐标是（6，0），点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动；当点P到达点O时，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造▱CPDQ，设点P运动的时间为t秒．
（1）点C的坐标为 ，直线AB的解析式为 ．
（2）当点Q运动至点B时，连结CD，求证：CD∥AP．
（3）如图2，连结OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
23．（5分）已知﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，则2x﹣18y2＝ ．
24．（5分）已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则+＝ ．
25．（10分）如图1，在▱ABCD中，BD＝6，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，动点E在边上，CE＝x，动点F在射线BD上，BF＝5x．
（1）若点P是BC边上一点，在点E，F运动过程中，是否存在x的值，使得以P，D，E，F顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（2）如图2，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G．过点E作EH∥BC交DG的于点E连接FH，把△DHF沿FH翻折得到△D'HF，当D'F与△DBG的一边平行时，HG的长 ．（直接写出答案）
2019-2020人教版数学八年级第二学期期中试卷8
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用中心对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＝3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故选：A．
3．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化为（ ）
A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝13C．（x﹣4）2＝19D．（x+4）2＝19
【分析】依据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得．
【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0，
∴x2﹣8x＝﹣3，
则x2﹣8x+16＝﹣3+16，即（x﹣4）2＝13，
故选：A．
4．如图，在▱ABCD中，若∠A+∠C＝110°，则∠B的度数是（ ）
A．70°B．105°C．125°D．135°
【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝110°，
∴∠A＝∠C＝55°，
∴∠B＝125°．
故选：C．
5．下面计算正确的是（ ）
A．＝±5B．（﹣）2＝﹣5C．3﹣2＝D．÷＝4
【分析】利用二次函数的性质对A、B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝5，所以A选项错误；
B、原式＝5，所以B选项错误；
C、原式＝，所以C选项正确；
D、原式＝＝2，所以D选项错误．
故选：C．
6．表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差，要选择一名发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可解答．
【解答】解：从平均数看，四名同学成绩相同，
从方差看，乙方差最小，发挥最稳定，
所以要选择一名发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择乙，
故选：B．
7．已知关于x的方程x2+4x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据判别式的意义得到△＝42﹣4×1×a＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+a＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝42﹣4×1×a＞0，
解得a＜4．
观察选项，只有A选项符合题意．
故选：A．
8．如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDGF，使点F，G在其内部，则∠BCF的度数是（ ）
A．12°B．18°C．24°D．30°
【分析】根据多边形的内角和公式可得∠BCD的度数，根据正方形的性质可得∠DCF＝90°，再根据角的和差关系计算即可．
【解答】解：∠BCD＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∠DCF＝90°，
∴∠BCF＝∠BCD﹣∠DCF＝108°﹣90°＝18°．
故选：B．
9．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．5000（1+x）＝6050B．5000（1+2x）＝6050
C．5000（1﹣x）2＝6050D．5000（1+x）2＝6050
【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．
【解答】解：设每天的增长率为x，
依题意，得：5000（1+x）2＝6050．
故选：D．
10．已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（ ）
A．一直增大B．保持不变
C．先增大后减小D．先减小后增大
【分析】延长BE，与GF的延长线交于点P，先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明△AGD≌△EFP，得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP，根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．所以根据图示进行判断即可．
【解答】解：设△ABE，△ECH，△HFD，△DGA的面积分别为S1、S2、S3、S4，
延长BE，与GF的延长线交于点P．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BP，∠ADG＝∠P．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，AE∥DP，AG＝EF，
∴∠G＝∠EFP．
∵AD∥BP，AE∥DP，
∴四边形ADPE是平行四边形．
在△AGD与△EFP中，，
∴△AGD≌△EFP（AAS），
∴S4＝S△EFP，
∴S4+S四边形AEFD＝S△EFP+S四边形AEFD，
即S▱AEFG＝S▱ADPE，
又∵▱ADPE与▱ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等，
∴S▱ABCD＝S▱ADPE，
∴平行四边形ABCD的面积＝平行四边形AEFG的面积．
故▱AEFG面积不变，
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2﹣25＝0的解为 x＝±5 ．
【分析】移项得x2＝25，然后采用直接开平方法即可得到方程的解．
【解答】解：∵x2﹣25＝0，
移项，得 x2＝25，
∴x＝±5．
故答案为：x＝±5．
12．（4分）当x＝﹣14时，二次根式的值是 3 ．
【分析】把x＝﹣14代入，再进行化简即可．
【解答】解：当x＝﹣14时，＝＝3，
故答案为：3．
13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设： AB∥CD ．
【分析】在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行填空．
【解答】解：根据反证法的步骤，则可假设AB∥CD，
故答案为：AB∥CD．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，P为AB上的一点，E、F分别是DP、CP的中点，G、H为CD上的点，连接EG、FH，若▱ABCD的面积为24cm，GH＝AB，则图中阴影部分的面积为 6 ．
【分析】设EG，FH交于点O，根据平行四边形的性质可得求解S△PCD＝12cm，利用三角形的中位线可求解S△PEF＝3，由平行线的性质可求解S△OEF＝S△OGH＝S△PEF＝1.5cm，进而可求解．
【解答】解：如图，设EG，FH交于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，且▱ABCD的面积为24cm，
∴S△PCD＝S▱ABCD＝12cm，AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别是DP、CP的中点，
∴EF为△PCD的中位线，
∴CD＝2EF，EF∥CD∥AB，
∴S△PEF：S△PCD＝1：4，
∴S△PEF＝3，
∵GH＝AB，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴S△OEF＝S△OGH＝S△PEF＝1.5cm，
∴S阴影＝3+2×1.5＝6，
故答案为6．
15．（4分）如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB＝18m，AD＝15m，在绿地中开辟三条宽为xm的道路后，剩余绿地的面积为144m2，则x＝ 3 ．
【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm的道路后，剩余绿地的面积为144m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝144，
解得：x＝21或3，
x＝21不合题意，舍去，
答：道路的宽为3m．
故答案为：3．
16．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝5.5，则AB的长是 14.5 ．
【分析】过G点作GM⊥AF于点M，设DE＝BF＝x，由勾股定理求得AM与GM，再证明AF＝EF，用x表示AF，FG，FM，由勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可求得AB．
【解答】解：过G点作GM⊥AF于点M，
由折叠知AG＝AD＝4，
∵∠GAF＝45°，
∴∠AGM＝45°，
∴AM＝GM＝＝4，
∵DE＝BF，
∴设DE＝BF＝x，则由折叠性质知，EG＝DE＝BF＝FH＝x，
∵GH＝5，5，
∴EF＝2x+5.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∵∠AED＝∠AEG，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF＝2x+5.5，
∴AB＝AF+BF＝3x+5.5，MF＝AF﹣AM＝2x+1.5，
由勾股定理得，FG2﹣FM2＝MG2，
即（x+5.5）2﹣（2x+1.5）2＝42，
解得，x＝3，或x＝﹣（舍），
∴AB＝3x+5.5＝14.5，
故答案为：14.5．
三、解答题（本题有6小题，共46分）
17．（6分）（1）计算：．
（2）解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据因式分解的方法解方程即可．
【解答】解：（1）＝3+2﹣＝2﹣．
（2）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1．
18．（6分）如图，在10×10的正方形方格之中，△ABC的顶点都在格点上
（1）在图1中画出△ABC关于格点O成中心对称的△A'B'C'．
（2）在图2中画出格点▱ABEF，使得S▱ABEF＝S△ABC．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）取AC的中点E．作平行四边形ABEF即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）如图，平行四边形ABEF即为所求．
19．（8分）疫情期间，实验中学启动“抗疫在家体有运动打卡”活动．线上学习期间，为了解同学的打卡情况，某社会实践小组随机抽取某一周的部分打卡次数数据，通过分析与整理，绘制了如下统计图．
（1）m＝ 4 ，a＝ 126° ．
（2）这组数据的众数是 6 次，中位数是 5 次．
（3）返校后，线上体育打卡1次记为1分，将线上体育打卡和体能测试成绩分别按照30%和70%的比例计算出平均成绩并评选出体育达人，小方与他的PK对手小锋的成绩分别如表所示，请通过计算说明最终谁赢得了这场PK．
【分析】（1）根据打卡4次数及其所占的百分比求出打卡总数，根据各组打卡次数之和等于总次数得到m的值，用360°乘以打卡6次所占的百分比求出α；
（2）根据众数与中位数的定义求解；
（3）分别求出两人的加权平均数，分数较高者赢得这场PK．
【解答】解：（1）抽取的打卡总次数为：2÷10%＝20（次），
m＝20﹣（3+4+2+7）＝4，
α＝360°×＝126°．
故答案为：4，126°；
（2）打卡6次的次数为7，次数最多，所以众数是6次；
把20个数据按从小到大的顺序排列，位于第10，11个的数据都是5，所以中位数是5次．
故答案为：6，5；
（3）小方的成绩为：49×30%+10×70%＝21.7（分），
小锋的成绩为：50×30%+9×70%＝21.3（分），
∵21.7＞21.3，
∴小方赢得了这场PK．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，点F在对角线AC上且AE＝EF＝FC．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠CDE＝90°，DC＝8，DE＝6，求▱DEBF的周长．
【分析】（1）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得到AO＝CO，DO＝BO，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理和平行四边形的周长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，DO＝BO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
即EO＝FO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵∠CDE＝90°，DC＝8，ED＝6，
∴CE＝＝＝10，
∵EF＝CF，
∴DF＝CE＝5，
∴▱DEBF的周长＝2（DF+DE）＝2×（5+6）＝22．
21．（8分）返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全的考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液．去市场购天时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．
（1）当x＝80时，每瓶洗手液的价格是 8 元；当x＝150时，每瓶洗手液的价格是 7 元．
（2）若家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？
【分析】（1）根据商家所给出条件进行判断，即可求得结论；
（2）根据题意确定x的取值范围，再列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵80＜100，
∴每瓶洗手液的价格是8元；
当x＝150时，每瓶洗手液的价格是：8﹣（150﹣100）÷10×0.2＝8﹣1＝7（元），
故答案为：8，7；
（2）①0≤x≤100时，8×100＝800＜1200（舍去）；
②∵，解得，x＝250，
∴当100＜x≤250时，．
解得，x1＝200，x2＝300（舍去），
③当x＞250时，1200÷5＝240（舍去）．
答：一共购买了200瓶洗手液．
22．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，8），点B的坐标是（6，0），点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动；当点P到达点O时，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造▱CPDQ，设点P运动的时间为t秒．
（1）点C的坐标为 （3，4） ，直线AB的解析式为 y＝﹣x+8 ．
（2）当点Q运动至点B时，连结CD，求证：CD∥AP．
（3）如图2，连结OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
【分析】（1）由中点坐标公式可求点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）通过证明四边形ACDP是平行四边形，可得结论；
（3）分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（0，8），点B的坐标是（6，0），点C为AB的中点，
∴点C（3，4），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8；
故答案为：（3，4），y＝﹣x+8；
（2）如图1，连接CD，
∵四边形CBDP是平行四边形，
∴CB∥PD，BC＝PD，
∵点C为AB的中点，
∴AC＝BC，
∴PD＝AC，
∴四边形ACDP是平行四边形，
∴CD∥AP；
（3）如图2，过点D作DF⊥AO于F，过点C作CE⊥BO于E，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CQ＝PD，PD∥CQ，
∴∠QCP+∠DPC＝180°，
∵AO∥CE，
∴∠OPC+∠PCE＝180°，
∴∠FPD＝∠ECQ，
又∵∠PFD＝∠CEQ＝90°，
∴△PDF≌△CQE（AAS），
∴DF＝EQ，PF＝CE，
∵点C（3，4），点P（0，8﹣t），点Q（2t，0），
∴CE＝PF＝4，EQ＝DF＝2t﹣3，
∴FO＝8﹣t﹣4＝4﹣t，
∴点D（2t﹣3，4﹣t），
当点D落在直线OB上时，则4﹣t＝0，即t＝4，
当点D落在直线OC上时，
∵点C（3，4），
∴直线OC解析式为：y＝x，
∴4﹣t＝（2t﹣3），
∴t＝，
当点D落在AB上时，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CD与PQ互相平分，
∴线段PQ的中点（t，）在CD上，
∴＝﹣t+8，
∴t＝；
综上所述：t＝4或或．
23．（5分）已知﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，则2x﹣18y2＝ 22 ．
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【解答】解：∵一定有意义，
∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，
∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．
故答案为：22．
24．（5分）已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则+＝ 3 ．
【分析】根据题意可得a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，根据韦达定理可得出a+b＝3，ab＝1，再将要求的式子通分计算即可．
【解答】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，
∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴由韦达定理得：a+b＝3，ab＝1，
∴+＝＝3．
故答案为：3．
25．（10分）如图1，在▱ABCD中，BD＝6，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，动点E在边上，CE＝x，动点F在射线BD上，BF＝5x．
（1）若点P是BC边上一点，在点E，F运动过程中，是否存在x的值，使得以P，D，E，F顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（2）如图2，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G．过点E作EH∥BC交DG的于点E连接FH，把△DHF沿FH翻折得到△D'HF，当D'F与△DBG的一边平行时，HG的长 或或 ．（直接写出答案）
【分析】（1）分两种情形：如图1﹣1中，当点F在线段BD上时，即0≤x≤1.2时，四边形PEDF是平行四边形，如图1﹣2中，当点F在BD的延长线上时，即x＞1.2时，四边形DPEF是平行四边形，分别构建方程求解即可．
（2）分三种情形：如图2﹣1中，当D′F∥DG时，如图2﹣2中，当FD′∥BC时，设HD′交BD于R．如图2﹣3中，当FD′∥DG时，四边形FDHD′是菱形，分别构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1﹣1中，当点F在线段BD上时，即0≤x≤1.2时，四边形PEDF是平行四边形，
过点E作EJ⊥CG于J．
由题意，DF＝PE＝6﹣5x，CE＝x，
∵AB∥CD，
∴∠ECJ＝∠ABC＝45°，
∴EJ＝CJ＝x，
∵PE∥BD，
∴∠EPJ＝∠DBC＝30°，
∴PE＝2EJ，
∴6﹣5x＝2x，
∴x＝．
如图1﹣2中，当点F在BD的延长线上时，即x＞1.2时，四边形DPEF是平行四边形，
同法可得，DF＝PE＝2EJ，
∴5x﹣6＝2x，
∴x＝2，
综上所述，满足条件的x的值为或2．
（2）如图2﹣1中，当D′F∥DG时，过点E作ET⊥BG于T．
∵∠ECT＝45°，EC＝x，∠ETC＝90°，
∴ET＝CT＝x，
∵EH⊥DG，DG⊥BG，
∴∠ETG＝∠EHG＝∠HGT＝90°，
∴四边形ETGH是矩形，
∴HG＝ET＝x，
由题意，四边形DFD′H是菱形，
∴DF＝DH＝3﹣x，
∴6﹣5x＝3﹣x，
∴x＝．
如图2﹣2中，当FD′∥BC时，设HD′交BD于R．
∵FD′∥BC，
∴∠D′FR＝∠DBC＝30°，
∵∠D′＝∠BDC＝60°，
∴∠DRH＝90°，
∴DR＝DH＝（3﹣x）．RH＝DR＝（3﹣x），
∵RD′＝D′H﹣RH＝3﹣x﹣（3﹣x），
∴FR＝D′R＝[3﹣x﹣（3﹣x）]，
∵FR+DF＝DR，
∴[3﹣x﹣（3﹣x）]+6﹣5x＝（3﹣x），
∴x＝．
如图2﹣3中，当FD′∥DG时，四边形FDHD′是菱形，
∴DH＝DF，
∴3﹣x＝5x﹣6，
∴x＝，
综上所述，满足条件的GH的值为或或．
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
94
94
94
94
方差
5.8
3.2
7.4
6.6
体育打卡次数（次）
体能测试成绩（分）
小方
49
10
小锋
50
9
甲
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