2020-2021学年3.4 基本不等式第2课时同步测试题

这是一份2020-2021学年3.4 基本不等式第2课时同步测试题，共7页。试卷主要包含了4　第2课时，上述三个式子恒成立的有等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( )
A．10 B．25
C．5 D．2eq \r(10)
[答案] D
[解析] a＋b≥2eq \r(ab)＝2eq \r(10)，等号在a＝b＝eq \r(10)时成立，∴选D.
2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是( )
A．100 B．50
C．20 D．10
[答案] B
[解析] 由m2＋n2≥2mn得，mn≤eq \f(m2＋n2,2)＝50，等号在m＝n＝5eq \r(2)时成立，故选B.
3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.eq \f(1,ab)>eq \f(1,2) B．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤1
C.eq \r(ab)≥2 D．eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,8)
[答案] D
[解析] ∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)＝2，
∴ab≤4，∴eq \f(1,ab)≥eq \f(1,4)，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(4,ab)≥1，故A、B、C均错，选D.
4．已知正数x、y满足eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，则xy有( )
A．最小值eq \f(1,16) B．最大值16
C．最小值16 D．最大值eq \f(1,16)
[答案] C
[解析] ∵x>0，y>0，∴eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)≥2eq \r(\f(4,xy))＝4eq \r(\f(1,xy))，又∵eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，
∴4eq \r(\f(1,xy))≤1，
∴eq \f(1,xy)≤eq \f(1,16)，
∴xy≥16，故选C.
5．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4eq \r(2)
C．2eq \r(6) D．8
[答案] B
[解析] ∵2a>0,2b>0，a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2eq \r(2a·2b)＝2eq \r(2a＋b)＝2eq \r(23)＝4eq \r(2)，
等号成立时，2a＝2b，∴a＝b＝eq \f(3,2).
6．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为( )
A．18 B．12
C．2eq \r(3) D．eq \r(4,3)
[答案] A
[解析] ∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y
≥2eq \r(3x·32y)＝2eq \r(3x＋2y)＝2eq \r(34)＝18，
等号在3x＝32y即x＝2y时成立．
∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.
二、填空题
7．已知eq \f(5,x)＋eq \f(3,y)＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．
[答案] 5
[解析] ∵x>0，y>0，eq \f(5,x)＋eq \f(3,y)＝2，
∴2≥2eq \r(\f(15,xy))，∴xy≥15，
当且仅当eq \f(5,x)＝eq \f(3,y)，且eq \f(5,x)＋eq \f(3,y)＝2，即x＝5，y＝3时，取等号．
8．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．
[答案] 1 760
[解析] 设水池池底的一边长为 x m，则另一边长为eq \f(4,x) m，则总造价为：
y＝480＋80×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2×\f(4,x)))×2＝480＋320eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))
≥480＋320×2eq \r(x×\f(4,x))＝1 760.
当且仅当x＝eq \f(4,x) 即x＝2时，y取最小值1 760.
所以水池的最低总造价为1 760元．
三、解答题
9．已知a、b、c∈R＋，求证：eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c.
[证明] ∵a、b、c∈R＋，eq \f(a2,b)，eq \f(b2,c)，eq \f(c2,a)均大于0，
又eq \f(a2,b)＋b≥2eq \r(\f(a2,b)·b)＝2a，
eq \f(b2,c)＋c≥2eq \r(\f(b2,c)·c)＝2b，
eq \f(c2,a)＋a≥2eq \r(\f(c2,a)·a)＝2c，
三式相加得eq \f(a2,b)＋b＋eq \f(b2,c)＋c＋eq \f(c2,a)＋a≥2a＋2b＋2c，
∴eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c.
10．已知a、b、c∈R，求证：eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(c2＋a2)≥eq \r(2)(a＋b＋c)．
[证明] ∵eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))，∴eq \r(a2＋b2)≥eq \f(a＋b,\r(2))
＝eq \f(\r(2),2)(a＋b)(a，b∈R等号在a＝b时成立)．
同理eq \r(b2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(b＋c)(等号在b＝c时成立)．
eq \r(a2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋c)(等号在a＝c时成立)．
三式相加得eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(a2＋c2)
≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)＋eq \f(\r(2),2)(b＋c)＋eq \f(\r(2),2)(a＋c)
＝eq \r(2)(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立).
一、选择题
1．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为( )
A．7 B．3eq \r(3,9)
C．1＋2eq \r(2) D．5
[答案] A
[解析] 由已知得x＋3y＝2，
3x>0,27y>0，
∴3x＋27y＋1≥2eq \r(3x＋3y)＋1＝6＋1＝7，
当且仅当3x＝27y，
即x＝1，y＝eq \f(1,3)时等号成立．
2．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b2)－1))的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[答案] D
[解析] ∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴ab≤eq \f(1,4)，等号在a＝b＝eq \f(1,2)时成立．
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b2)－1))＝eq \f(1－a2,a2)·eq \f(1－b2,b2)
＝eq \f(1＋a·b,a2)·eq \f(1＋ba,b2)＝eq \f(1＋a1＋b,ab)
＝eq \f(2＋ab,ab)＝eq \f(2,ab)＋1≥eq \f(2,\f(1,4))＋1＝9，故选D.
3．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝1＋1＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)
≥2＋2eq \r(\f(b,a)×\f(a,b))＝4 (等号在a＝b＝eq \f(1,2)时成立)．
故所求最小值为4，选D.
4．设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)>2.上述三个式子恒成立的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)>2或eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)<－2，故选B.
二、填空题
5．已知不等式(x＋y)(eq \f(1,x)＋eq \f(a,y))≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为________．
[答案] 4
[解析] ∵a>0，∴(x＋y)(eq \f(1,x)＋eq \f(a,y))
＝1＋a＋eq \f(y,x)＋eq \f(xa,y)≥1＋a＋2eq \r(a)，
由条件知a＋2eq \r(a)＋1＝9，∴a＝4.
6．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
[答案] eq \f(2\r(3),3)
[解析] ∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1.
又∵xy≤(eq \f(x＋y,2))2，
∴(x＋y)2≤(eq \f(x＋y,2))2＋1，
即eq \f(3,4)(x＋y)2≤1.
∴(x＋y)2≤eq \f(4,3).
∴－eq \f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq \f(2\r(3),3).
∴x＋y的最大值为eq \f(2\r(3),3).
三、解答题
7．已知a、b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．
[解析] ∵2a＋8b－ab＝0，∴eq \f(8,a)＋eq \f(2,b)＝1，又a>0，b>0，
∴a＋b＝(a＋b)(eq \f(8,a)＋eq \f(2,b))＝10＋eq \f(8b,a)＋eq \f(2a,b)
≥10＋2eq \r(\f(8b,a)·\f(2a,b))＝18，当且仅当eq \f(8b,a)＝eq \f(2a,b)，即a＝2b时，等号成立．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2b,\f(8,a)＋\f(2,b)＝1))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝12,b＝6)).
∴当a＝12，b＝6时，a＋b取最小值18.
8．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S的取值范围是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
[解析] (1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.
由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.
∵x>0，y>0，
∴4x＋9y≥2eq \r(4x·9y)＝12eq \r(xy).
∴6eq \r(S)＋S≤160，即(eq \r(S))2＋6eq \r(S)－160≤0.
∴0故S的取值范围是(0,100]．
(2)当S＝100 m2时，4x＝9y，且xy＝100.
解之得x＝15(m)，y＝eq \f(20,3)(m)．
答：仓库面积S的取值范围是(0,100]，当S取到最大允许值100 m2时，正面铁栅长15 m.