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人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明课文内容ppt课件
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这是一份人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明课文内容ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了即时训练，变式练习，由①②得，由余弦定理及③可得，再由④得，由②③⑤得，提升总结，综合法用框图表示为等内容，欢迎下载使用。
有趣的数学证明引人入胜
合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具. 怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天，我们就来认识一些基本的证明方法……
1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一的综合法. （重点）2.了解综合法的思考过程、特点. （难点）
探究点1 综合法的含义
引例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
因为b2+c2 ≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+a2 ≥2ac,b>0所以b(c2+a2)≥ 2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
以下命题中,正确的是( )A.综合法是执果索因的逆推法B.综合法是由因导果的顺推法C.综合法是因果互推的两头凑法D.综合法就是举反例
例1:如图所示,△ABC在平面α外, 求证:P,Q,R三点共线.
探究点2 利用综合法进行证明
分析：本例的条件表明，P,Q,R三点既在平面α内，又在平面ABC内，所以可以利用两个相交平面的公理证明.
平面内有四边形ABCD和点O, 则四边形ABCD为( )A.菱形 B.梯形 C.矩形 D.平行四边形
求证：a2+b2+3≥ab+ (a+b).【证明】因为a2+b2≥2ab,a2+3≥2 a,b2+3≥2 b,将此三式相加得2(a2+b2+3)≥2ab+2 a+2 b,所以a2+b2+3≥ab+ (a+b).
例3 在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边分别为a ，b ，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a ， b ，c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2 =ac.A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=π.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
由A，B，C成等差数列，有
2B=A+C ①
由a，b，c成等比数列，有
因此 a=c
从而有 A=C ⑤
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.
(2015·烟台高二检测)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证：( -1)( -1)( -1)≥8.
【证明】因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,所以故
1.设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,则x与y的大小关系为( )A.x>y B.x=yC.x
3.已知实数a, b满足等式 下列五个关系式① ② ③ ④ ⑤其中不可能成立的关系式有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个
4.已知函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数,则b的值为 .【解析】由于f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即ax2-bx+c=ax2+bx+c,故-bx=bx,所以b=0.
5.已知等差数列{an},Sn表示前n项和,a3+a9>0,S9<0,则S1,S2,S3,…中最小的是________.【解析】由于{an}为等差数列,所以a3+a9=2a6>0.S9= =9a5<0.所以S5最小.
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD，
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD所以AB⊥PD，又因为AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.
有趣的数学证明引人入胜
合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具. 怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天，我们就来认识一些基本的证明方法……
1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一的综合法. （重点）2.了解综合法的思考过程、特点. （难点）
探究点1 综合法的含义
引例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
因为b2+c2 ≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+a2 ≥2ac,b>0所以b(c2+a2)≥ 2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
以下命题中,正确的是( )A.综合法是执果索因的逆推法B.综合法是由因导果的顺推法C.综合法是因果互推的两头凑法D.综合法就是举反例
例1:如图所示,△ABC在平面α外, 求证:P,Q,R三点共线.
探究点2 利用综合法进行证明
分析：本例的条件表明，P,Q,R三点既在平面α内，又在平面ABC内，所以可以利用两个相交平面的公理证明.
平面内有四边形ABCD和点O, 则四边形ABCD为( )A.菱形 B.梯形 C.矩形 D.平行四边形
求证：a2+b2+3≥ab+ (a+b).【证明】因为a2+b2≥2ab,a2+3≥2 a,b2+3≥2 b,将此三式相加得2(a2+b2+3)≥2ab+2 a+2 b,所以a2+b2+3≥ab+ (a+b).
例3 在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边分别为a ，b ，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a ， b ，c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2 =ac.A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=π.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
由A，B，C成等差数列，有
2B=A+C ①
由a，b，c成等比数列，有
因此 a=c
从而有 A=C ⑤
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.
(2015·烟台高二检测)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证：( -1)( -1)( -1)≥8.
【证明】因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,所以故
1.设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,则x与y的大小关系为( )A.x>y B.x=yC.x
3.已知实数a, b满足等式 下列五个关系式① ② ③ ④ ⑤其中不可能成立的关系式有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个
4.已知函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数,则b的值为 .【解析】由于f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即ax2-bx+c=ax2+bx+c,故-bx=bx,所以b=0.
5.已知等差数列{an},Sn表示前n项和,a3+a9>0,S9<0,则S1,S2,S3,…中最小的是________.【解析】由于{an}为等差数列,所以a3+a9=2a6>0.S9= =9a5<0.所以S5最小.
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD，
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD所以AB⊥PD，又因为AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.
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