高中数学人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明示范课课件ppt

这是一份高中数学人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明示范课课件ppt，共53页。PPT课件主要包含了已知条件，推理论证等内容，欢迎下载使用。

【自主预习】综合法(1)定义:利用_________和某些数学_____、_____、_____等,经过一系列的_________,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
(2)框图表示:用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
【即时小测】1.以下命题中,正确的是　(　　)A.综合法是执果索因的逆推法B.综合法是由因导果的顺推法C.综合法是因果互推的两头凑法D.综合法就是举反例
【解析】选B.综合法就是从已知条件(因)出发,利用已有知识进行证明结论(果)的方法.
2.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且a2+b2-c2=ab,则角C的值为　(　　)
【解析】选A.由余弦定理知
3.已知等差数列{an},Sn表示前n项和,a3+a9>0,S9<0,则S1,S2,S3,…中最小的是________.【解析】由于数列{an}为等差数列,所以a3+a9=2a6>0.S9= =9a5<0.所以S5最小.答案:S5
【知识探究】探究点　综合法1.综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理?提示:综合法的推理过程是演绎推理,它的每一步推理都是严密的逻辑推理.
2.综合法的推证一定正确吗?提示:不一定,综合法的推理过程是演绎推理,只有在大前提、小前提和推理形式都正确时,推证才一定正确.
【归纳总结】1.综合法的特点综合法的特点是从“已知”看“未知”,逐步推理,实际上是寻找使结论成立的必要条件.
2.综合法的书写格式从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是“因为,所以”或“⇒”.
易错警示:综合法是“由因导果”的推理过程,即从已知到未知的推理过程.由因导果的过程中“因”必须是充分的,否则会出现错误的“果”.
类型一　用综合法证明不等式【典例】1.若a>b>0,则下列不等式中,总成立的是 　 (　　)
2.在不等式“a2+b2≥2ab”的证明中:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0.所以a2+b2≥2ab.该证明用的方法是________.3.(2016·沈阳高二检测)已知a,b,c∈R,且a+b+c=1.求证:a2+b2+c2≥
【解题探究】1.典例1中,不等式正确与否的判断依据是什么?提示:不等式的性质.2.典例2中,证明过程从什么出发的?提示:从已知的不等式出发的.3.典例3中,怎么利用a+b+c=1这一条件?提示:将a+b+c=1两边平方,然后利用重要不等式即可.
【解析】1.选A.因为a>b>0,所以 > >0,所以a+ >b+ .2.由题设知:本题中证明是从已知的不等式(a+b)2≥0出发,经过推理得出结论,是综合法.答案:综合法
3.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca于是(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)=3(a2+b2+c2)所以a2+b2+c2≥ (a+b+c)2= .当且仅当a=b=c时取等号,原式得证.
【方法技巧】综合法证明不等式的主要依据综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式,其中常用的有以下几个:①a2≥0(a∈R);②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有a2+b2≥2ab, ≥ab,a2+b2≥ ;
③若a,b∈(0,+∞),则 ≥ ,特别地, ≥2;④a2+b2+c2≥ab+bc+ac(a,b,c∈R),由不等式a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,易得a2+b2+c2≥ab+bc+ac,此结论是一个重要的不等式,在不等式的证明中的使用频率很高;
⑤(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),体现了a+b+c,a2+b2+c2与ab+bc+ac这三个式子之间的关系.易错警示:应用上述不等式来证明问题时,首先弄清式中字母的取值范围.如③中a,b∈(0,+∞),以免用错.
【变式训练】(2016·武汉高二检测)已知a,b,c为不全等的正实数.求证: .
【证明】因为又a,b,c为不全等的正实数.而且上述三式等号不能同时成立.所以 >6-3=3,
类型二　用综合法证明三角等式【典例】1.在△ABC中,三边a,b,c成等比数列,求证:acs2 +ccs2 ≥ b.2.证明:sin(2α+β)=sinβ+2sinαcs(α+β).
【解题探究】1.典例1中,在三角形中,条件“acs2+ccs2 ”如何转化?提示:先借助降幂公式把cs2 ,cs2 化为csC,csA,再借助余弦定理实现角转换为边.
2.典例2中等式两边的角有何特点？提示：等式左边是2α+β，等式右边是(α+β)和α.
【证明】1.因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.当且仅当a=c时取等号,所以acs2 +ccs2 ≥ b.
2.因为sin(2α+β)-2sinαcs(α+β)=sin[(α+β)+α]-2sinαcs(α+β)=sin(α+β)csα+cs(α+β)sinα-2sinαcs(α+β)=sin(α+β)csα-cs(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]=sinβ.所以原命题成立.
【延伸探究】1.在典例2中令α=β,求证:sin3α=3sinα-4sin3α.【证明】左边=sin(2α+α)=sin2αcsα+cs2αsinα=2sinαcs2α+(1-2sin2α)sinα=2sinα(1-sin2α)+sinα-2sin3α=2sinα-2sin3α+sinα-2sin3α=3sinα-4sin3α=右边.所以sin3α=3sinα-4sin3α.
2.试证明:cs3α=4cs3α-3csα.【证明】左边=cs(2α+α)=cs2αcsα-sin2αsinα=(2cs2α-1)csα-2sin2αcsα=2cs3α-csα-2csα(1-cs2α)=4cs3α-3csα=右边.所以cs3α=4cs3α-3csα.
【方法技巧】证明三角等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式.(2)和、差、倍角的三角函数公式.(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理.(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.
【补偿训练】(2016·东营高二检测)在锐角三角形ABC中,已知3b=-2 asinB,且csB=csC,求证:△ABC是正三角形.【证明】因为△ABC为锐角三角形,所以A,B,C∈ .由正弦定理及条件可得3sinB=2 sinAsinB.
因为sinB≠0,所以sinA= ,所以A= .又csB=csC且B,C∈ ,所以B=C.又B+C= ,所以B=C= .所以△ABC是正三角形.
类型三　用综合法解决函数、数列问题【典例】1.(2016·温州高二检测)已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 的等比数列,则|m-n|=________.2.(2015·山东高考)定义运算“⊗”:x⊗y= (x,y∈R且xy≠0),当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为_____.
3.对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下条件:①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.试判断g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数,如果是,请予证明;如果不是,请说明理由.
【解题探究】1.典例1中方程的四个根具有什么特点?提示:①四根成等比数列,②等比数列的首项为 ,③满足根与系数的关系.2.典例2解题的关键是什么?提示:根据新定义运算,写出解析式.
3.判断g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数需要检验什么条件?提示:①对任意的x∈[0,1],总有g(x)≥0;②g(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1都有g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2).
【解析】1.方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0⇔x2-mx+2=0①或x2-nx+2=0②.设方程①两根为x1,x4,方程②两根为x2,x3.则x1·x4=2,x1+x4=m,x2·x3=2,x2+x3=n.因为方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 的等比数列,所以x1,x2,x3,x4分别为此数列的前四项且x1= ,x4= =4,公比为2,所以x2=1,x3=2,所以
m=x1+x4= +4= ,n=x2+x3=1+2=3,故|m-n|=答案:
2.由新定义运算知,(2y)⊗ ,因为x>0,y>0,所以x⊗y+(2y)⊗x= 当且仅当x= y时取等号,所以x⊗y+(2y)⊗x的最小值是 .答案:
3.g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数,证明如下:因为x∈[0,1],所以2x≥1,2x-1≥0,即对任意x∈[0,1],总有g(x)≥0,满足条件①.g(1)=2-1=1,满足条件②.
由于x1≥0,x2≥0,所以g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]≥0,因此g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2),满足条件③,故函数g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数.
【延伸探究】若函数f(x)是理想函数,证明f(0)=0.【证明】令x1=x2=0,则满足x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,于是有f(0+0)≥f(0)+f(0),得f(0)≤0.又由条件①知f(0)≥0,故必有f(0)=0.
【方法技巧】1.综合法证明问题的步骤
2.综合法解决数列问题的依据
【变式训练】(2016·郑州高二检测)不相等的三个数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数　(　　)A.成等比数列,而非等差数列B.成等差数列,而非等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.既非等差数列又非等比数列
【解析】选B.由已知条件知由②得a= ,由③得c= ,代入①得 =2b,所以x2+y2=2b2.故x2,b2,y2成等差数列.
自我纠错　综合法的应用【典例】如果a >b ,则实数a,b应满足的条件是______.【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是忽视a >b 中隐含条件,实际上a≥0,b≥0.正确解答过程如下:【解析】由题意可知,a≥0,b≥0.a >b 等价于(a )2>(b )2,即a3>b3.等价于a>b.答案:a>b≥0.