专题07 二元一次方程组-2021年中考数学二轮复习专题 学案+课件

2021年中考数学一轮专题复习

学案07 二元一次方程组

1．二元一次方程：

含有  2  个未知数（元），并且未知项的次数都是  1  的整式方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的一般形式：  ax+by+c=0(a，b，c为常数，且a≠0，b≠0)  ．

必须满足以下三个条件：（1）等号两边的式子都是整式；（2）有且只有两个未知数；（3）含有未知数的项的次数都是1．

2．二元一次方程组：

由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为，其解一般写成的形式．

3．二元一次方程的解：

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有  无数  个解．

4．二元一次方程组的解：

使二元一次方程组两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程．只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解．

【例1】下列方程组中是二元一次方程组的是（    ）

A．      B．      C．        D．

【分析】对照二元一次方程及二元一次方程组的定义，逐项判断即可．

【答案】D．

【例2】按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（　　）

A．x=5，y=﹣2       B．x=3，y=﹣3

C．x=﹣4，y=2       D．x=﹣3，y=﹣9

【考点】代数式求值；二元一次方程的解．

【专题】计算题．

【分析】根据运算程序列出方程，再根据二元一次方程的解的定义对各选项分析判断利用排除法求解．

【解答】解：由题意得，2x﹣y=3，

A、x=5时，y=7，故A选项错误；

B、x=3时，y=3，故B选项错误；

C、x=﹣4时，y=﹣11，故C选项错误；

D、x=﹣3时，y=﹣9，故D选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查了代数式求值，主要利用了二元一次方程的解，理解运算程序列出方程是解题的关键．

1．解二元一次方程组的方法：

思想：二元一次方程组  一元一次  方程．消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有  代入  消元法和  加减  消元法两种．

2．代入法：适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况．

代入消元法的一般步骤：①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．

②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．

③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．

④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．

3．加减法：在方程两边同乘以一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数（或互为相反数），再将方程两边分别相减（或相加）．

加减消元法的一般步骤：①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．

②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．

③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．

④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．

【例3】（2020•天津7/25）方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

【考点】解二元一次方程组

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：，

①+②得：3x=3，

解得：x=1，

把x=1代入①得：y=2，

则方程组的解为．

故选：A．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

【例4】解方程组：

【答案】解法一：①×②得：6x－2y＝10　③，

②＋③得：11x＝33，∴x＝3．把x＝3

代入①得：9－y＝5．∴y＝4

所以．

解法二：由①得：y＝3x－5　③

把③代入②得：5x＋2(3x－5)＝23，

11x＝33，∴x＝3．把x＝3代入③得：y＝4．所以．

1．列二元一次方程组解应用题：

审题→找出  相等关系  →列出二元一次方程组→解二元一次方程组→写出答案．

2．列二元一次方程组解应用题的具体步骤：

①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系；

②找：找出应用题中的相等关系；

③设：设未知数（一般求什么，就设什么）；

④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组；

⑤解：解所列的方程组，求出未知数的值；

⑥验：检验所得未知数的值是否符合实际意义及题意；

⑦答：写出答案（包括单位名称）．

【例5】（2020•海南18/22）某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？

【考点】二元一次方程组的应用

【分析】设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，根据6天共加工竹笋22吨，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，

依题意，得：，

解得：．

答：该合作社改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

【例6】（2020•重庆A卷24/26）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100 kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加．求a的值．

【考点】二元一次方程组的应用

【分析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得到结论；

（2）根据题意列方程即可得到结论．

【解答】解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；

根据题意得：，

解得：，

答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；

（2），

解得：a=10，

答：a的值为10．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．

1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（　　）

A．　　   B．     C．      D．

2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）

A．     B．   C．    D．

3．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为（　　）

A．－1　　　B．1　　　C．2　　　D．3

4．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_________．

5．已知x、y满足方程组则x－y的值为________．

6.已知是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，求(a＋1)(a－1)＋7的值．

7.方程组的解是(　　)

A．      B．     C．       D．

8.（2020•北京12/28）方程组的解为          ．

9.解方程组：．

10.解方程组．

11.解二元一次方程组：．

12.（2018·北京市3/28）方程组的解为（　　）

A．  B．  C．  D．

13.（2018·包头13/26）若a﹣3b＝2，3a﹣b＝6，则b﹣a的值为      ．

14.（2019·天津市9/25）方程组的解是（　　）

A．  B．  C．  D．

15.（2019·重庆市7/26）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（　　）

A．  B． 

C．  D．

16.某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是(　　)

A．　　　B．

C．       D．

17.（2020•江西17/23）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．

（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．

18.（2020•重庆B卷24/26）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对，两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年、两个品种各种植了10亩．收获后、两个品种的售价均为2.4元，且品种的平均亩产量比品种高100千克，、两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）求、两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计、两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨，而品种的售价保持不变，、两个品种全部售出后总收入将增加．求的值．

19.（2019•呼和浩特22/25）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：

小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．

（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；

（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．

20.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．请问小华家离学校多远？

1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（　　）

A．　　   B．     C．      D．

【答案】B．

【分析】把各选项中的x、y值代入原方程，判断左右两边是否相等即可．

【解答】解：把A选项代入原方程，左边=右边，此项不符合题意；

把B选项代入原方程，左边≠右边，此项符合题意；

把C选项代入原方程，左边=右边，此项不符合题意；

把D选项代入原方程，左边=右边，此项不符合题意；

故答案为：B．

2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）

A．     B．   C．    D．

【答案】A．

【分析】根据二元一次方程组的定义逐项判断即可．

【解答】解：根据二元一次方程组的定义逐项判断，是二元一次方程组的是，故答案为：A．

3．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为（　　）

A．－1　　　B．1　　　C．2　　　D．3

【答案】A．

【分析】把代入中得到关于a、b的方程组，解该方程组，进而求解即可．

【解答】解：把代入中，

得：，

解得：，

∴a－b=-1，

故答案为：A．

4．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_________．

【答案】a<4．

【分析】方程组中两个方程相加，得到4x+4y=4+a，再根据x＋y＜2进而求出a的取值范围即可．

【解答】解：，

①+②得：4x+4y=4+a，

∴，

∵x＋y＜2，

∴＜2，

∴a<4．

故答案为：a<4．

5．已知x、y满足方程组则x－y的值为________．

【答案】1．

【分析】方程组中两个方程相减，得到x-y=1即可．

【解答】解：，

①-②得：x-y=1．

故答案为：1．

6.已知是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，求(a＋1)(a－1)＋7的值．

【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程的解，根据题意得出a的值是解决问题的关键．根据已知是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，代入方程即可得出a的值，再利用二次根式的运算性质求出．

【答案】∵是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，∴2＝＋a，a＝，

∴(a＋1)(a－1)＋7＝a2－1＋7＝3－1＋7＝9．

7.方程组的解是(　　)

A．      B．     C．       D．

【分析】可解此方程组，也可把四个选项依次代入原方程组验证．

【答案】D．

8.（2020•北京12/28）方程组的解为          ．

【考点】解二元一次方程组．有

【答案】见试题解答内容

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：，

①+②得：4x＝8，

解得：x＝2，

把x＝2代入①得：y＝1，

则方程组的解为．

故答案为：．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

9.解方程组：．

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：②﹣①得：5y=5，即y=1，

将y=1代入①得：x=4，

则方程组的解为．

【点评】此题考查了解二元一次方程组．

10.解方程组．

【考点】高次方程．.

【分析】由②得③，把③代入①解答即可．

【解答】解：，由②得③，

把③代入①得：，

解得：，，

当x1=0时，y1=1；

当时，，

所以方程组的解是，．

【点评】此题考查高次方程问题，关键是把高次方程化为一般方程再解答．

11.解二元一次方程组：．

【考点】解二元一次方程组．

【分析】 方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：，

①×2+②得：7x=14，即x=2，

把x=2代入①得：y=﹣3，

则方程组的解为．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

12.（2018·北京市3/28）方程组的解为（　　）

A．  B．  C．  D．

【考点】解二元一次方程组．

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；

【解答】解：，

①×3﹣②得：5y＝﹣5，即y＝﹣1，

将y＝﹣1代入①得：x＝2，

则方程组的解为．

故选：D．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13.（2018·包头13/26）若a﹣3b＝2，3a﹣b＝6，则b﹣a的值为      ．

【考点】解二元一次方程组．

【分析】将两方程相加可得4a﹣4b＝8，再两边都除以2得出a﹣b的值，继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案．

【解答】解：由题意知，

①+②，得：4a﹣4b＝8，

则a﹣b＝2，

∴b﹣a＝﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．

14.（2019·天津市9/25）方程组的解是（　　）

A．  B．  C．  D．

【考点】解二元一次方程组．

【分析】运用加减消元法解答即可．

【解答】解：，

①+②得，x＝2，

把x＝2代入①得，6+2y＝7，解得，

故原方程组的解为：．

故选：D．

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的基本解法是解答本题的关键．

15.（2019·重庆市7/26）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（　　）

A．  B． 

C．  D．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，

依题意，得：．

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

16.某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是(　　)

A．　　　B．

C．       D．

【分析】列方程组解应用题的关键是找出实际问题中的等量关系．本题中存在两个等量关系：甲种奖品的件数＋乙种奖品的件数＝30；买甲种奖品的钱数＋买乙种奖品的钱数＝400．

【答案】B．

17.（2020•江西17/23）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．

（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．

【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用

【分析】（1）设笔记本的单价为元，单独购买一支笔芯的价格为元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．

【解答】解：（1）设笔记本的单价为元，单独购买一支笔芯的价格为元，

依题意，得：，

解得：．

答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．

（2）小贤和小艺带的总钱数为（元．

两人合在一起购买所需费用为（元．

（元，（元，，

他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

18.（2020•重庆B卷24/26）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对，两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年、两个品种各种植了10亩．收获后、两个品种的售价均为2.4元，且品种的平均亩产量比品种高100千克，、两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）求、两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计、两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨，而品种的售价保持不变，、两个品种全部售出后总收入将增加．求的值．

【考点】二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用

【分析】（1）设、两个品种去年平均亩产量分别是千克和千克；根据题意列方程组即可得到结论；

（2）根据题意列方程即可得到结论．

【解答】解：（1）设、两个品种去年平均亩产量分别是千克和千克；

根据题意得，，

解得：，

答：、两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；

（2），

解得：，

答：的值为10．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．

19.（2019•呼和浩特22/25）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：

小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．

（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；

（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．

【解答】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：

1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）

∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y

0.3（x﹣y）＝5.7

∴x﹣y＝19

∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．

（2）由（1）及题意得：

化简得

①+②得2y＝36

∴y＝18  ③

将③代入①得x＝37

∴小王的实际行车时间为37分钟，小张的实际行车时间为18分钟．

20.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．请问小华家离学校多远？

【分析】根据从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟分别列方程，进而得到方程组，解该方程组即可．

【答案】解：设平路有x米，坡路有y米，根据题意得：

解这个方程组，得．

所以x＋y＝700．

答：小华家离学校700米．