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初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线综合与测试精品教学设计
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这是一份初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线综合与测试精品教学设计，共13页。教案主要包含了知识梳理，习题精练，提高训练，培优训练等内容，欢迎下载使用。
【知识梳理】
知识点1、相交线与平行线的概念
1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
2、若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线；垂直是相交的一种特殊情况。
3、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
（1）定义：两个角有一个公共顶点，他们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角，如
4、对顶角：图1，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4也是对顶角。
（2）性质：对顶角相等.
（图1）
5、易错警示：互为对顶角的两个角相等，但相等的两个角不一定是对顶角。
【例1】下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为（ ）
A．B．C．D．
【例2】在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（ ）
A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．平行、垂直或相交
知识点2、余角（或补角）及其性质
1、如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
2、如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角。
3、补角、余角的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
（1）如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，反之，如果两个角互为余角，那么这两个角的和为90°，如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，反之，如果两个角互为补角，那么这两个角的和为180°.
4、要点精析：（2）锐角的余角是锐角，锐角的补角是钝角；同一个锐角的补角比其余角大90°。
（3）任意两个直角是互补的。
（4）如果两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，那么这两个互为邻补角，一个角的邻补角最多有两个，一个角的补角有很多个。
5、易错警示：一个角或三个角及三个以上的角之间不存在互余或互补的关系，如∠1+∠2+∠3=90°，但不能说这三个角互余。
【例3】如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOD=134°，则∠AOC的度数为（ ）
A．134°B．144°C．46°D．32°
（例3）
知识点3、垂线
1、定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，如图，直线AB与直线CD垂直，
记住“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点O叫做垂足。
2、格式：∵AB⊥CD（已知）∴∠AOC=90°（垂直定义）。
（图2）
3、注意：判断平面内两直线的位置关系，就是判断两直线是平行关系还是垂直关系。
知识点4、垂线的画法及性质1
1、垂线的画法：经过一点（已知直线上或直线外），画已知直线的垂线，步骤如下：
（1）靠线：让直角三角板的一条直角边与已知直线重合；
（2）过点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点；
（3）画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线，如图3，
（图3）（图4）
2、要点精析：（1）过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上，如图4。
（2）画垂线时用实线，此时如需延长线段或反向延长射线，要用虚线画延长线或反向延长线。
3、垂线的性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
知识点五、垂线的性质2及点到直线的距离
1、垂直的性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简短说成：垂线段最短。（过直线外一点画已知直线的垂线，这点与垂直之间的线段，叫这点到已知直线的垂线段）
2、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3、要点精析：（1）因为某点到已知直线的垂线段只有一条，所以点到直线的距离是唯一的。
（2）当这个点在已知直线上时，可看作点到直线的距离为0.
【例4】点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于2cmB．等于2cmC．不大于2cmD．等于4cm
【例5】已知；如图，∠AOC=90°，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 以上选项都不对
（例5）（例6）
【例6】如图，∠PQR=138°，SQ⊥QR,QT⊥PQ，则∠SQT等于（ ） A. 42° B. 64° C. 48° D. 24°
【习题精练】
1、下列说法中正确的是（ ）
A．如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线所在直线互相平行B．不相交的两条直线一定是平行线
C．同一平面内两条射线不相交，则这两条射线互相平行D．同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线
2、下列几何语言描述正确的是（ ）
A．直线mn与直线ab相交于点DB．点A在直线M上C．点A在直线AB上D．延长直线AB
3、如图，直线a，b相交于一点，若∠1=70°，则∠2的度数是（ ）A．110°B．70°C．90°D．130°
（3题）
4、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个
5、如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．图（1）中∠1与∠2是一组对顶角B．图（2）中∠1与∠2是一组对顶角
C．图（3）中∠1与∠2是一组邻补角D．图（4）中∠1与∠2是互为邻补角
6、如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
（6题）（7题）（8题）
7、如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠AOE=36°，则∠BOD=（ ）
A．36°B．44°C．50°D．54°
如图，已知AB⊥CB于点B，AC⊥DC于点C，则下列判断不正确的是（ ）
A．AB＜ACB．AD＜BCC．AC＜ADD．BC＜AC
9、如图，已知直线AB．CD，EF相交于点O，∠1=95°，∠2=32°，则∠BOC= ．
（9题）（10题）（11题）
10、已知如图：AC⊥BC，CD⊥AB，则点B到AC的距离是线段 的长．
11、如图，直线AB、CD交于点O，则∠BOD= ．
12、如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=
1：2，求∠AOF的度数．
（12题）（14题）
【提高训练】
☆13、同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（ ）个．
A．1或3B．0、1或3C．0、1或2D．0、1、2或3
☆14、如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD=2：3，则∠BOD=（ ）
A．30°B．36°C．45°D．72°
【提高训练】
☆☆15、已知∠α的两边分别与∠β的两边垂直，且∠α=20°，则∠β的度数为（ ）
A．20°B．160°C．20°或160°D．70°
七年级(下)第二章相交线与平行线(春季班第三周周末教案课时8)
第二节 探索直线平行的条件
【知识梳理】
知识点1、同位角
1、定义：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角，如图1，∠1与∠2，∠3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8都是同位角（即具有相同方位的两个角）；分别画出∠1与∠2的两条边，可以发现这两个角的边由三条线组成，它的图是字母F形.
（图1）
（1）同位角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，一边共线，另两边不共线；
2、要点精析：（2）“同”表示“相同”，“位”表示方位；“同位角”可理解为“相同方位的两个角”；即如果一个角在左上角，那么另一个角也应在左上角；以此类推。两个同位角的位置关系具有“同上、同左”“同上、同右”“同下、同左”“同下、同右”的特征。
【例1】如图中直线l1，l2被l3所截，则同位角有（ ）对．A．1对B．2对C．3对D．4对
（例1）（例2）
【例2】参观世博会的李英在云南展厅中看到了苗族跳舞用的竹竿按如图所示的方式摆放在地面上，在这个图形中能与∠1构成同位角的角有（ ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
【例3】∠α与∠β是直线l1和l2被直线l3所截形成的同位角，那么∠α与∠β的大小关系是（ ）
A. ∠α=∠β B. ∠α>∠β C. ∠α<∠β D. 不能确定
知识点2、内错角
1、定义：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角，如图2，∠1与∠2，∠3与∠4，都是内错角（即在内部错开的两个角）；分别画出∠1与∠2的两条边，可以发现这两个角的边由“三条线”组成，它的图是字母“Z”字形。.
（图2）
（1）内错角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，一边共线，另两边不共线；
2、要点精析：（2）内错角的顶点不是公共的；
（3）“内”可理解为夹在两直线之间，“错”可理解为错开，即位于第三条直线的两侧；内错角的位置关系具有“内部、错开”的特征。
【例4】如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠3的内错角是（ ）A．∠1B．∠2C．∠4D．∠5
（例4）
知识点3、同旁内角
1、定义：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角，如图3，∠1与∠2，∠3与∠4，都是同旁内角（即在内部同一旁的两个角）；分别画出∠1与∠2的两条边，可以发现这两个角的边由“三条线”组成，它的图是字母“U”字形.
（图3）
（1）同旁内角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，一边共线，另两边不共线；
2、要点精析：（2）同旁内角的顶点不是公共的；
（3）“同旁”即在第三条直线的同一旁，“内”表示为夹在两直线之间；同旁内角的位置关系具有“内部、同旁”的特征。
3、同位角、内错角、同旁内角的特征：
4、识别同位角、内错角和同旁内角的常用方法：
（1）分离图像法：通过分离图形，把每一组对角从图形中分离出来，观察角的形状结构特征，找出规律加以区分；
①同位角：相同方位（即同左、同上；同左、同下；同右、同上；同右、同下）；
（2）方位法：②内错角：内部、错开；
③同旁内角：内部、同旁。
【例5】若∠1与∠2是同旁内角，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A．40°B．140°C．40°或140°D．不能确定
【例6】如图所示，以下几种说法，其中正确的个数是( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
①∠3和∠4是同位角； ②∠6和∠7是同位角； ③∠4和∠5是内错角；
④∠2和∠5是同旁内角； ⑤∠2和∠7是同位角； ⑥∠1和∠2是同位角
（例6）（例7）
【例7】如图，与∠1互为同旁内角的角共有（ ）个．A．1B．2C．3D．4
知识点4、平行线的画法
1、过直线外一点画已知直线的平行线的步骤：
一落：把三角尺的一边落在已知直线上；
二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；
三移：把这个三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；
四画：沿三角尺经过已知点的直角边画直线，此直线即为已知直线的平行线。
知识点5、平行线的基本性质（重难点）
1、平行线的基本性质1：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
2、要点精析：（1）“有且只有”强调直线的存在性和唯一性；
（2）前提条件“过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线。
3、平行线的基本性质2：平行于同一条直线的两条直线平行。①表达方式：如果a∥c，b∥c，那么a∥b。
②作用：可用来判定两直线平行。
知识点6、同位角相等，两直线平行
1、判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（1）简称：同位角相等，两直线平行。
（2）表达方式：用“∥”表示平行，如图4，∵∠1=∠2（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。
（图4）
（1）“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）；
2、 要点精析
（2）在同一平面内两直线的位置关系：①相交（垂直是相交的特殊情况）；②平行。
3、判定两直线平行的方法：（1）平面内不相交的两直线（平行线的定义）
（2）同位角相等（判定方法）两直线平行
知识点7、内错角相等，两直线平行
1、判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
①简称：内错角相等，两直线平行。
②表达方式：如图5，∵∠1=∠2（已知），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）。
（图5）
（1）“内错角相等，两直线平行”，它可利用“同位角相等，两直线平行”结合“对顶角相等”推导得出；
2、要点精析（2）利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得的内错角，再说明这两条直线平行；
（3）说明两直线平行，只需一对内错角相等即可。
3、易错警示：易找错要证明两条直线平行的内错角。
知识点8、同旁内角互补，两直线平行
1.、判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
①简称：同旁内角互补，两直线平行。
②表示方式：如图6，∵∠1+∠2=180°（已知），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
（图6）
（1）利用同旁内角证明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等。
2、要点精析：（2）在“三线八角”中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补中，只要其中一个结论成立，则利用对顶角、
补角等相关知识，可得到另两个结论也成立。
【例8】如图，下列推理错误的是（ ）
A．因为∠1=∠2，所以a∥bB．因为∠4=∠6，所以c∥d
C．因为∠3+∠4=180°，所以a∥bD．因为∠1+∠5=180°，所以a∥b
（例8）（例9）
【例9】已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．
【习题精练】
1、如图，能判定EB∥AC的是（ ）A．∠C=∠ABEB．∠A=∠EBDC．∠C=∠ABCD．∠A=∠ABE
（1题）（2题）
2、如图，下列说法正确的是（ ）
A．∠2和∠B是同位角B．∠2和∠B是内错角C．∠1和∠A是内错角D．∠3和∠B是同旁内角
3、如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠A与∠EDC是同位角B．∠A与∠ABF是内错角C．∠A与∠ADC是同旁内角D．∠A与∠C是同旁内角（3题）（4题）（5题）
4、如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠A+∠2=180°B．∠1=∠AC．∠1=∠4D．∠A=∠3
5、如图，在四边形ABCD中，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．∠1=∠3B．∠2=∠4C．∠B=∠DD．∠1+∠2+∠B=180°
6. 如图，下列说法正确的是（ ）．
A．图中没有同位角、内错角、同旁内角 B．图中没有同位角和内错角，但是有一对同旁内角
C．图中没有内错角和同旁内角，但有三对同位角 D．图中没有同位角和内错角，但有三对同旁内角
(6题)（7题）（8题）
7、如图，∵∠1=∠2，∴ ∥ ，理由是 ．
8、如图：请写出一个条件： ，使AB∥CD．理由是： ．
9、能判定DE∥BC的同位角有 组．
（9题）（10题）（11题）
10、如图，若∠1＝∠2，则 ∥ ；若∠3＝∠4，则 ∥ ；若∠5＝∠B，则 ∥ ；若∠D＋∠DAB＝180°，则 ∥ ．
11、如图，两条直线a，b被第三条直线c所截，如果∠1=40°，要使a∥b，则∠2= 。
12、看图填空，并在括号内注明说理依据．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？
解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2．所以 ∥ （ ）．又因为AC⊥AE（已知），所以∠EAC=90°．（ ）所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2= °．所以∠EAB=∠FBG（ ）．所以 ∥ （同位角相等，两直线平行）．
（12题）（13题）
【提高训练】
☆13、如图，图中与∠C是同旁内角的角有几个（ ）A．1B．2C．3D．4
☆14、如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=40°，则当∠2= 度时，a∥b．
（14题）
【提高训练】
☆☆15、如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠BOD=78°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 ．
（15题）
七年级(下)春季班第四周(强化训练4)
【习题精练】
如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，若∠BOD=40°，则不正确的结论是（ ）
A．∠AOC=40°B．∠COE=130°C．∠EOD=40°D．∠BOE=90°
（1题）
2、如图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
3、如图，AB，CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOC=130°，∠BOF=140°，则∠EOF的度数为（ ）
A．95B．65C．50D．40
（2题）（5题）（6题）
4、体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间，线段最短D．平行线间的距离相等
5、如图，△ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长B．线段CD的长C．线段AD的长D．线段AB的长
如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
7、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠BOD=15°30′，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠AOF=45°B．∠BOD=∠AOCC．∠BOD的余角等于75°30′D．∠AOD与∠BOD互为补角
（7题）（8题）
如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠A=∠DCED．∠A+∠2+∠4=180°
9、如图，图中∠1与∠2是同位角的是（ ）A．（2）（3）B．（1）（2）（3）C．（2）（3）（4）D．（3）（4）
（9题）
如图，对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（ ）
A．∠1=∠4B．∠2=∠4C．∠3+∠2=∠4D．∠2+∠3+∠4=180°
（10题）（11题）（12题）
11、如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平线D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
12、如图所示，已知∠1=∠2，请你添上一个适当的条件 ，使AB∥CD．
13、如图所示，同位角一共有 对，内错角一共有 对，同旁内角一共有有 对．
（13题）（15题）（16题）
14、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是 ．
15、如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．若∠EOD=20°，则∠COB的度数为 °．
16、如图，城建局在河提上A处向河岸修排水渠时，要求施工人员沿与河岸l垂直的方向开挖，以保证管道铺设最省，这种做法的依据是 ．
17、能判定DE∥BC的同位角有 组．
（17题）
18、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，OF⊥CD，垂足为O，求∠EOF的度数．
（18题）
19、如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．
（19题）
【提高训练】
☆20、若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交D．以上都不对
☆21、如图，∠B=45°，∠A+15°=∠1，∠ACD=60°．求证：AB∥CD．
（21题）
【培优训练】
☆☆22、在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定
【知识梳理】
知识点1、相交线与平行线的概念
1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
2、若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线；垂直是相交的一种特殊情况。
3、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
（1）定义：两个角有一个公共顶点，他们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角，如
4、对顶角：图1，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4也是对顶角。
（2）性质：对顶角相等.
（图1）
5、易错警示：互为对顶角的两个角相等，但相等的两个角不一定是对顶角。
【例1】下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为（ ）
A．B．C．D．
【例2】在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（ ）
A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．平行、垂直或相交
知识点2、余角（或补角）及其性质
1、如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
2、如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角。
3、补角、余角的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
（1）如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，反之，如果两个角互为余角，那么这两个角的和为90°，如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，反之，如果两个角互为补角，那么这两个角的和为180°.
4、要点精析：（2）锐角的余角是锐角，锐角的补角是钝角；同一个锐角的补角比其余角大90°。
（3）任意两个直角是互补的。
（4）如果两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，那么这两个互为邻补角，一个角的邻补角最多有两个，一个角的补角有很多个。
5、易错警示：一个角或三个角及三个以上的角之间不存在互余或互补的关系，如∠1+∠2+∠3=90°，但不能说这三个角互余。
【例3】如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOD=134°，则∠AOC的度数为（ ）
A．134°B．144°C．46°D．32°
（例3）
知识点3、垂线
1、定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，如图，直线AB与直线CD垂直，
记住“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点O叫做垂足。
2、格式：∵AB⊥CD（已知）∴∠AOC=90°（垂直定义）。
（图2）
3、注意：判断平面内两直线的位置关系，就是判断两直线是平行关系还是垂直关系。
知识点4、垂线的画法及性质1
1、垂线的画法：经过一点（已知直线上或直线外），画已知直线的垂线，步骤如下：
（1）靠线：让直角三角板的一条直角边与已知直线重合；
（2）过点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点；
（3）画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线，如图3，
（图3）（图4）
2、要点精析：（1）过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上，如图4。
（2）画垂线时用实线，此时如需延长线段或反向延长射线，要用虚线画延长线或反向延长线。
3、垂线的性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
知识点五、垂线的性质2及点到直线的距离
1、垂直的性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简短说成：垂线段最短。（过直线外一点画已知直线的垂线，这点与垂直之间的线段，叫这点到已知直线的垂线段）
2、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3、要点精析：（1）因为某点到已知直线的垂线段只有一条，所以点到直线的距离是唯一的。
（2）当这个点在已知直线上时，可看作点到直线的距离为0.
【例4】点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于2cmB．等于2cmC．不大于2cmD．等于4cm
【例5】已知；如图，∠AOC=90°，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 以上选项都不对
（例5）（例6）
【例6】如图，∠PQR=138°，SQ⊥QR,QT⊥PQ，则∠SQT等于（ ） A. 42° B. 64° C. 48° D. 24°
【习题精练】
1、下列说法中正确的是（ ）
A．如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线所在直线互相平行B．不相交的两条直线一定是平行线
C．同一平面内两条射线不相交，则这两条射线互相平行D．同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线
2、下列几何语言描述正确的是（ ）
A．直线mn与直线ab相交于点DB．点A在直线M上C．点A在直线AB上D．延长直线AB
3、如图，直线a，b相交于一点，若∠1=70°，则∠2的度数是（ ）A．110°B．70°C．90°D．130°
（3题）
4、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个
5、如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．图（1）中∠1与∠2是一组对顶角B．图（2）中∠1与∠2是一组对顶角
C．图（3）中∠1与∠2是一组邻补角D．图（4）中∠1与∠2是互为邻补角
6、如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
（6题）（7题）（8题）
7、如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠AOE=36°，则∠BOD=（ ）
A．36°B．44°C．50°D．54°
如图，已知AB⊥CB于点B，AC⊥DC于点C，则下列判断不正确的是（ ）
A．AB＜ACB．AD＜BCC．AC＜ADD．BC＜AC
9、如图，已知直线AB．CD，EF相交于点O，∠1=95°，∠2=32°，则∠BOC= ．
（9题）（10题）（11题）
10、已知如图：AC⊥BC，CD⊥AB，则点B到AC的距离是线段 的长．
11、如图，直线AB、CD交于点O，则∠BOD= ．
12、如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=
1：2，求∠AOF的度数．
（12题）（14题）
【提高训练】
☆13、同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（ ）个．
A．1或3B．0、1或3C．0、1或2D．0、1、2或3
☆14、如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD=2：3，则∠BOD=（ ）
A．30°B．36°C．45°D．72°
【提高训练】
☆☆15、已知∠α的两边分别与∠β的两边垂直，且∠α=20°，则∠β的度数为（ ）
A．20°B．160°C．20°或160°D．70°
七年级(下)第二章相交线与平行线(春季班第三周周末教案课时8)
第二节 探索直线平行的条件
【知识梳理】
知识点1、同位角
1、定义：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角，如图1，∠1与∠2，∠3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8都是同位角（即具有相同方位的两个角）；分别画出∠1与∠2的两条边，可以发现这两个角的边由三条线组成，它的图是字母F形.
（图1）
（1）同位角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，一边共线，另两边不共线；
2、要点精析：（2）“同”表示“相同”，“位”表示方位；“同位角”可理解为“相同方位的两个角”；即如果一个角在左上角，那么另一个角也应在左上角；以此类推。两个同位角的位置关系具有“同上、同左”“同上、同右”“同下、同左”“同下、同右”的特征。
【例1】如图中直线l1，l2被l3所截，则同位角有（ ）对．A．1对B．2对C．3对D．4对
（例1）（例2）
【例2】参观世博会的李英在云南展厅中看到了苗族跳舞用的竹竿按如图所示的方式摆放在地面上，在这个图形中能与∠1构成同位角的角有（ ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
【例3】∠α与∠β是直线l1和l2被直线l3所截形成的同位角，那么∠α与∠β的大小关系是（ ）
A. ∠α=∠β B. ∠α>∠β C. ∠α<∠β D. 不能确定
知识点2、内错角
1、定义：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角，如图2，∠1与∠2，∠3与∠4，都是内错角（即在内部错开的两个角）；分别画出∠1与∠2的两条边，可以发现这两个角的边由“三条线”组成，它的图是字母“Z”字形。.
（图2）
（1）内错角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，一边共线，另两边不共线；
2、要点精析：（2）内错角的顶点不是公共的；
（3）“内”可理解为夹在两直线之间，“错”可理解为错开，即位于第三条直线的两侧；内错角的位置关系具有“内部、错开”的特征。
【例4】如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠3的内错角是（ ）A．∠1B．∠2C．∠4D．∠5
（例4）
知识点3、同旁内角
1、定义：两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角，如图3，∠1与∠2，∠3与∠4，都是同旁内角（即在内部同一旁的两个角）；分别画出∠1与∠2的两条边，可以发现这两个角的边由“三条线”组成，它的图是字母“U”字形.
（图3）
（1）同旁内角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，一边共线，另两边不共线；
2、要点精析：（2）同旁内角的顶点不是公共的；
（3）“同旁”即在第三条直线的同一旁，“内”表示为夹在两直线之间；同旁内角的位置关系具有“内部、同旁”的特征。
3、同位角、内错角、同旁内角的特征：
4、识别同位角、内错角和同旁内角的常用方法：
（1）分离图像法：通过分离图形，把每一组对角从图形中分离出来，观察角的形状结构特征，找出规律加以区分；
①同位角：相同方位（即同左、同上；同左、同下；同右、同上；同右、同下）；
（2）方位法：②内错角：内部、错开；
③同旁内角：内部、同旁。
【例5】若∠1与∠2是同旁内角，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A．40°B．140°C．40°或140°D．不能确定
【例6】如图所示，以下几种说法，其中正确的个数是( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
①∠3和∠4是同位角； ②∠6和∠7是同位角； ③∠4和∠5是内错角；
④∠2和∠5是同旁内角； ⑤∠2和∠7是同位角； ⑥∠1和∠2是同位角
（例6）（例7）
【例7】如图，与∠1互为同旁内角的角共有（ ）个．A．1B．2C．3D．4
知识点4、平行线的画法
1、过直线外一点画已知直线的平行线的步骤：
一落：把三角尺的一边落在已知直线上；
二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；
三移：把这个三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；
四画：沿三角尺经过已知点的直角边画直线，此直线即为已知直线的平行线。
知识点5、平行线的基本性质（重难点）
1、平行线的基本性质1：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
2、要点精析：（1）“有且只有”强调直线的存在性和唯一性；
（2）前提条件“过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线。
3、平行线的基本性质2：平行于同一条直线的两条直线平行。①表达方式：如果a∥c，b∥c，那么a∥b。
②作用：可用来判定两直线平行。
知识点6、同位角相等，两直线平行
1、判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（1）简称：同位角相等，两直线平行。
（2）表达方式：用“∥”表示平行，如图4，∵∠1=∠2（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。
（图4）
（1）“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）；
2、 要点精析
（2）在同一平面内两直线的位置关系：①相交（垂直是相交的特殊情况）；②平行。
3、判定两直线平行的方法：（1）平面内不相交的两直线（平行线的定义）
（2）同位角相等（判定方法）两直线平行
知识点7、内错角相等，两直线平行
1、判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
①简称：内错角相等，两直线平行。
②表达方式：如图5，∵∠1=∠2（已知），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）。
（图5）
（1）“内错角相等，两直线平行”，它可利用“同位角相等，两直线平行”结合“对顶角相等”推导得出；
2、要点精析（2）利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得的内错角，再说明这两条直线平行；
（3）说明两直线平行，只需一对内错角相等即可。
3、易错警示：易找错要证明两条直线平行的内错角。
知识点8、同旁内角互补，两直线平行
1.、判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
①简称：同旁内角互补，两直线平行。
②表示方式：如图6，∵∠1+∠2=180°（已知），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
（图6）
（1）利用同旁内角证明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等。
2、要点精析：（2）在“三线八角”中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补中，只要其中一个结论成立，则利用对顶角、
补角等相关知识，可得到另两个结论也成立。
【例8】如图，下列推理错误的是（ ）
A．因为∠1=∠2，所以a∥bB．因为∠4=∠6，所以c∥d
C．因为∠3+∠4=180°，所以a∥bD．因为∠1+∠5=180°，所以a∥b
（例8）（例9）
【例9】已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．
【习题精练】
1、如图，能判定EB∥AC的是（ ）A．∠C=∠ABEB．∠A=∠EBDC．∠C=∠ABCD．∠A=∠ABE
（1题）（2题）
2、如图，下列说法正确的是（ ）
A．∠2和∠B是同位角B．∠2和∠B是内错角C．∠1和∠A是内错角D．∠3和∠B是同旁内角
3、如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠A与∠EDC是同位角B．∠A与∠ABF是内错角C．∠A与∠ADC是同旁内角D．∠A与∠C是同旁内角（3题）（4题）（5题）
4、如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠A+∠2=180°B．∠1=∠AC．∠1=∠4D．∠A=∠3
5、如图，在四边形ABCD中，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．∠1=∠3B．∠2=∠4C．∠B=∠DD．∠1+∠2+∠B=180°
6. 如图，下列说法正确的是（ ）．
A．图中没有同位角、内错角、同旁内角 B．图中没有同位角和内错角，但是有一对同旁内角
C．图中没有内错角和同旁内角，但有三对同位角 D．图中没有同位角和内错角，但有三对同旁内角
(6题)（7题）（8题）
7、如图，∵∠1=∠2，∴ ∥ ，理由是 ．
8、如图：请写出一个条件： ，使AB∥CD．理由是： ．
9、能判定DE∥BC的同位角有 组．
（9题）（10题）（11题）
10、如图，若∠1＝∠2，则 ∥ ；若∠3＝∠4，则 ∥ ；若∠5＝∠B，则 ∥ ；若∠D＋∠DAB＝180°，则 ∥ ．
11、如图，两条直线a，b被第三条直线c所截，如果∠1=40°，要使a∥b，则∠2= 。
12、看图填空，并在括号内注明说理依据．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？
解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2．所以 ∥ （ ）．又因为AC⊥AE（已知），所以∠EAC=90°．（ ）所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2= °．所以∠EAB=∠FBG（ ）．所以 ∥ （同位角相等，两直线平行）．
（12题）（13题）
【提高训练】
☆13、如图，图中与∠C是同旁内角的角有几个（ ）A．1B．2C．3D．4
☆14、如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=40°，则当∠2= 度时，a∥b．
（14题）
【提高训练】
☆☆15、如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠BOD=78°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 ．
（15题）
七年级(下)春季班第四周(强化训练4)
【习题精练】
如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，若∠BOD=40°，则不正确的结论是（ ）
A．∠AOC=40°B．∠COE=130°C．∠EOD=40°D．∠BOE=90°
（1题）
2、如图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
3、如图，AB，CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOC=130°，∠BOF=140°，则∠EOF的度数为（ ）
A．95B．65C．50D．40
（2题）（5题）（6题）
4、体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间，线段最短D．平行线间的距离相等
5、如图，△ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长B．线段CD的长C．线段AD的长D．线段AB的长
如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
7、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠BOD=15°30′，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠AOF=45°B．∠BOD=∠AOCC．∠BOD的余角等于75°30′D．∠AOD与∠BOD互为补角
（7题）（8题）
如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠A=∠DCED．∠A+∠2+∠4=180°
9、如图，图中∠1与∠2是同位角的是（ ）A．（2）（3）B．（1）（2）（3）C．（2）（3）（4）D．（3）（4）
（9题）
如图，对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（ ）
A．∠1=∠4B．∠2=∠4C．∠3+∠2=∠4D．∠2+∠3+∠4=180°
（10题）（11题）（12题）
11、如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平线D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
12、如图所示，已知∠1=∠2，请你添上一个适当的条件 ，使AB∥CD．
13、如图所示，同位角一共有 对，内错角一共有 对，同旁内角一共有有 对．
（13题）（15题）（16题）
14、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是 ．
15、如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．若∠EOD=20°，则∠COB的度数为 °．
16、如图，城建局在河提上A处向河岸修排水渠时，要求施工人员沿与河岸l垂直的方向开挖，以保证管道铺设最省，这种做法的依据是 ．
17、能判定DE∥BC的同位角有 组．
（17题）
18、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，OF⊥CD，垂足为O，求∠EOF的度数．
（18题）
19、如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．
（19题）
【提高训练】
☆20、若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交D．以上都不对
☆21、如图，∠B=45°，∠A+15°=∠1，∠ACD=60°．求证：AB∥CD．
（21题）
【培优训练】
☆☆22、在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定
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