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试卷 第4讲 三角形（含解析）-2021年九年级中考数学一轮复习专题训练（浙教版）
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这是一份试卷 第4讲 三角形（含解析）-2021年九年级中考数学一轮复习专题训练（浙教版），文件包含第4讲三角形巩固练习docx、第4讲三角形巩固练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
三角形巩固练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．直角△ABC、△DEF如图放置，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE且AB⊥DE．若DF＝a，BC＝b，CF＝c，则AE的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a+b﹣c D．a﹣b+c
【分析】根据全等三角形的判定方法证明△ABC≌△DEF（AAS），得AC＝DF，BC＝EF，最后根据线段的和差可得结论．
【解答】解：∵AB⊥DE，
∴∠DGH＝90°，
∵∠DFE＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∴∠AFH＝∠DGH，
∵∠DHG＝∠AHF，
∴∠A＝∠D，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF，BC＝EF，
∵DF＝a，BC＝b，CF＝c，
∴AE＝AC+EF﹣CF＝DF+BC﹣CF＝a+b﹣c．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，确定用AAS定理进行证明是关键．
2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝5cm，则PD的长可以是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【分析】过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，根据角平分线的性质求出此时PD的长度，再逐个判断即可．
【解答】解：过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PD＝PC，
∵PC＝5cm，
∴PD＝5（cm），
即PD的最小值是5cm，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，注意：垂线段最短，角平分线上的点到角两边的距离相等．
3．如图，△ABC中，∠B＝55°，D是BC延长线上一点，且∠ACD＝130°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．65° C．75° D．85°
【分析】根据三角形的外角性质列式计算，得到答案．
【解答】解：∵∠ACD是△AB的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣55°＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
5．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；
D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．
6．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
【分析】先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解．
【解答】解：∵方程x2﹣6x+8＝0的解是x＝2或4，
（1）当2为腰，4为底时，2+2＝4不能构成三角形；
（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长＝4+4+2＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论．
7．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
8．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【解答】解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°；
∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠CED＝90°，AC＝CD，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB＝CE，BC＝DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，
即Sb＝Sa+Sc＝11+5＝16，
故选：C．
【点评】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD＝30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．
故②正确；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．
∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
10．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．
【解答】解：连接AR．
因为E、F分别是AP、RP的中点，
则EF为△APR的中位线，
所以EF＝AR，为定值．
所以线段EF的长不改变．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴×6×2+×AC×2＝10，
解得AC＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
12．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE＝∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③；
④EF一定平行BC．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【分析】由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE＝DF，∠ADE＝∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF＝AE，继而证得①∠AFE＝∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③．
【解答】解：①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE＝∠ADF，DF＝DE，
∴AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF，故正确；
②∵DF＝DE，AF＝AE，
∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故正确；
③∵S△BFD＝BF•DF，S△CDE＝CE•DE，DF＝DE，
∴；故正确；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC．故错误．
故选：A．
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
13．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，然后求出∠CAE＝∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后求出∠CNG＝90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH＝∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM＝∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM＝GM，从而得到AM是△AEG的中线．
【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，（故①正确）；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE，（故②正确）；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，
，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM＝∠ABC，（故④正确），
EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中线，（故③正确）．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．
14．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①AG⊥BE；②BG＝4GE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，再证△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD；求出∠ABE+∠BAG＝90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到①正确．根据tan∠ABE＝tan∠EAG＝，得到AG＝BG，GE＝AG，于是得到BG＝4EG，故②正确；根据AD∥BC，求出S△BDE＝S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；由∠AHD＝∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正确；
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
在△BAE和△CDE中
∵，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，故①正确；
∵tan∠ABE＝tan∠EAG＝，
∴AG＝BG，GE＝AG，
∴BG＝4EG，故②正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，故④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．
15．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选C．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
二．填空题（共10小题）
16．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为 3或4.5 厘米/秒，△BPD能够与△CQP全等．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，根据全等三角形的判定得出两种情况：①BD＝CP，BP＝CQ，②BD＝CQ，BP＝PC，再求出答案即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，
∵AB＝12厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝AB＝6（cm），
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴要使，△BPD能够与△CQP全等，有两种情况：
①BD＝CP，BP＝CQ，
8﹣3t＝6，
解得：t＝，
∴CQ＝BP＝3×＝2，
∴点Q的运动速度为2÷＝3（厘米/秒）；
②BD＝CQ，BP＝PC，
∵BC＝8厘米，
∴BP＝CP＝BC＝4（厘米），
即3t＝4，
解得：t＝，
∴CQ＝BD＝6厘米，
∴点Q的运动速度为6÷＝4.5（厘米/秒），
故答案为：3或4.5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
17．如图，AB＝AC，BD⊥AC于点D，点E，F分别为AB，BD上的动点，且AE＝BF，∠DBA＝34°．
（1）CE与BD的大小关系 ≥ （填“≥”或“≤”）；
（2）当CE+AF取得最小值时，∠BEC的度数是 101° ．
【分析】（1）过C作CH⊥AB于H，利用等腰三角形的两条腰上的高相等，即可得到BD＝CH，再根据CE≥CH，即可得到CE≥BD；
（2）将CA绕着点A顺时针旋转90°，得到AG，连接EG，判定△ABF≌△GAE（SAS），即可得到AF＝GE，进而得出CE+AF＝CE+GE，依据当C，E，G三点共线时，CE+GE有最小值，即CE+AF有最小值，根据△ACG是等腰直角三角形，即可得到∠ACE＝45°，依据∠ABD＝34°，∠ADB＝90°，即可得出∠CAE＝56°，最后依据三角形外角性质进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，过C作CH⊥AB于H，
∵AB＝AC，BD⊥AC，
∴＝，
∴BD＝CH，
∵点E为AB上的动点，
∴CE≥CH，
∴CE≥BD，
故答案为：≥；
（2）如图所示，将CA绕着点A顺时针旋转90°，得到AG，连接EG，
则∠CAG＝90°，CA＝GA，
又∵CA＝AB，
∴AB＝GA，
∵BD⊥AC，GA⊥AC，
∴BD∥AG，
∴∠ABF＝∠EAG，
又∵BF＝AE，
∴△ABF≌△GAE（SAS），
∴AF＝GE，
∴CE+AF＝CE+GE，
当C，E，G三点共线时，CE+GE有最小值，即CE+AF有最小值，
此时，△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝45°，
∵∠ABD＝34°，∠ADB＝90°，
∴∠CAE＝56°，
∴∠BEC＝∠ACE+∠CAE＝45°+56°＝101°，
故答案为：101°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的性质．
18．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝ 4 ．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解答】
解：观察发现，
∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，
即S1+S2＝1，
同理S3+S4＝3．
则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．
故答案为：4．
【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
19．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 76 ．
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【解答】解：设将AC延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD＝6×2＝12，BC＝5．
∵∠BCD＝90°
∴BC2+CD2＝BD2，即52+122＝BD2
∴BD＝13
∴AD+BD＝6+13＝19
∴这个风车的外围周长是19×4＝76．
故答案为：76．
【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
20．若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 ．
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．
【解答】解：根据题意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
①若a＝1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，
∵1+1＝2，
∴不能组成三角形，
②若a＝2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，
能组成三角形，
周长＝2+2+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．
21．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 19 cm．
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．
【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，
∴AD＝CD，AE＝CE＝AC＝3cm，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC＝13 ①
则△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BC+6 ②
把①代入②得△ABC的周长＝13+6＝19cm
故答案为：19．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；解答此题时要注意利用垂直平分线的性质找出题中的等量关系，进行等量代换，然后求解．
22．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式+|a﹣b|＝0，则△ABC的形状为 等腰直角三角形 ．
【分析】已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负数之和为0，两非负数同时为0，可得出c2＝a2+b2，且a＝b，利用勾股定理的逆定理可得出∠C为直角，进而确定出三角形ABC为等腰直角三角形．
【解答】解：∵+|a﹣b|＝0，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，且a﹣b＝0，
∴c2＝a2+b2，且a＝b，
则△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质：绝对值及算术平方根，以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握非负数的性质及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
23．在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为 4 ．
【分析】根据角平分线的性质定理，解答出即可；
【解答】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝4，
∴DE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．
24．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 ．
【分析】在BE上截取BG＝CF，连接OG，证明△OBG≌△OCF，则OG＝OF，∠BOG＝∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在Rt△BCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的长．
【解答】解：如图，在BE上截取BG＝CF，连接OG，
∵Rt△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC＝∠ECF，
∵∠OBC＝∠OCD＝45°，
∴∠OBG＝∠OCF，
在△OBG与△OCF中
∴△OBG≌△OCF（SAS）
∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，
∴OG⊥OF，
在Rt△BCE中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，
∴EC＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵BC2＝BF•BE，
则62＝BF，解得：BF＝，
∴EF＝BE﹣BF＝，
∵CF2＝BF•EF，
∴CF＝，
∴GF＝BF﹣BG＝BF﹣CF＝，
在等腰直角△OGF中
OF2＝GF2，
∴OF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用．
25．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH＝8，则FG＝ 5 ．
【分析】如解答图，连接CG，首先证明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，进而证明△HEM≌△HCN，得到四边形MBNH为正方形，由此求出CH、HN、CN的长度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的长度．
【解答】解：如图所示，连接CG．
在△CGD与△CEB中
∴△CGD≌△CEB（SAS），
∴CG＝CE，∠GCD＝∠ECB，
∴∠GCE＝90°，即△GCE是等腰直角三角形．
又∵CH⊥GE，
∴CH＝EH＝GH．
过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN＝90°，
又∵∠EHC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠HEM＝∠HCN．
在△HEM与△HCN中，
∴△HEM≌△HCN（ASA）．
∴HM＝HN，
∴四边形MBNH为正方形．
∵BH＝8，
∴BN＝HN＝4，
∴CN＝BC﹣BN＝6﹣4＝2．
在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH＝2．
∴GH＝CH＝2．
∵HM∥AG，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3．
又∵∠HNC＝∠GHF＝90°，
∴Rt△HCN∽Rt△GFH．
∴，即，
∴FG＝5．
故答案为：5．
【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．
三．解答题（共5小题）
26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD．
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，根据SAS可证明△BOC≌△ADC．
（2）利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（3）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，
BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
（2）解：△ADO是直角三角形．
理由如下：∵△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（3）解：∵∠COB＝∠CAD＝α，∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∠OAD＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴α﹣60°＝50°，
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
∴190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
所以，当α为125°、110°、140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．
27．如图所示，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接BD，根据已知分别求得△ABD的面积与△BDC的面积，即可求四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接BD，
∵AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝90°
∴BD＝5cm，S△ABD＝×3×4＝6cm2
又∵BD＝5cm，BC＝13cm，CD＝12cm
∴BD2+CD2＝BC2
∴∠BDC＝90°
∴S△BDC＝×5×12＝30cm2
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝6+30＝36cm2．
【点评】此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算．连接BD，是关键的一步．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB、AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得：CD＝CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；
（2）由题意：∠DCE＝90°，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC的度数．
【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠FCE，
在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS）．
（2）解：由题意：∠DCE＝90°，
∵EF∥CD，
∴∠E＝180°﹣∠DCE＝90°，
∴∠BDC＝90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
【分析】（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE＝OM，由正方形的性质得OE＝OF，易得OM＝OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；
（2）由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果．
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE＝OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF，
∴OF＝OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；
（2）解：∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，
∴，
解得：，
∴CE＝2，
∴OE＝2．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的性质，运用方程思想是解本题的关键．
30．如图，在▱ABCD中，∠BCD＝120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠BAD＝∠BCD＝120°，∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，BC＝AD，由等边三角形的性质得出BE＝BC，DF＝CD，∠EBC＝∠CDF＝60°，证出∠ABE＝∠FDA，AB＝DF，BE＝AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB＝∠FAD，求出∠AEB+∠BAE＝60°，得出∠FAD+∠BAE＝60°，即可得出∠EAF的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，BC＝AD，
∵△BCE和△CDF都是正三角形，
∴BE＝BC，DF＝CD，∠EBC＝∠CDF＝60°，
∴∠ABE＝∠FDA，AB＝DF，BE＝AD，
在△ABE和△FDA中，，
∴△ABE≌△FDA（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB＝∠FAD，
∵∠ABE＝60°+60°＝120°，
∴∠AEB+∠BAE＝60°，
∴∠FAD+∠BAE＝60°，
∴∠EAF＝120°﹣60°＝60°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
三角形巩固练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．直角△ABC、△DEF如图放置，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE且AB⊥DE．若DF＝a，BC＝b，CF＝c，则AE的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a+b﹣c D．a﹣b+c
【分析】根据全等三角形的判定方法证明△ABC≌△DEF（AAS），得AC＝DF，BC＝EF，最后根据线段的和差可得结论．
【解答】解：∵AB⊥DE，
∴∠DGH＝90°，
∵∠DFE＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∴∠AFH＝∠DGH，
∵∠DHG＝∠AHF，
∴∠A＝∠D，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF，BC＝EF，
∵DF＝a，BC＝b，CF＝c，
∴AE＝AC+EF﹣CF＝DF+BC﹣CF＝a+b﹣c．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，确定用AAS定理进行证明是关键．
2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝5cm，则PD的长可以是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【分析】过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，根据角平分线的性质求出此时PD的长度，再逐个判断即可．
【解答】解：过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PD＝PC，
∵PC＝5cm，
∴PD＝5（cm），
即PD的最小值是5cm，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，注意：垂线段最短，角平分线上的点到角两边的距离相等．
3．如图，△ABC中，∠B＝55°，D是BC延长线上一点，且∠ACD＝130°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．65° C．75° D．85°
【分析】根据三角形的外角性质列式计算，得到答案．
【解答】解：∵∠ACD是△AB的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣55°＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
5．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；
D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．
6．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
【分析】先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解．
【解答】解：∵方程x2﹣6x+8＝0的解是x＝2或4，
（1）当2为腰，4为底时，2+2＝4不能构成三角形；
（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长＝4+4+2＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论．
7．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
8．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【解答】解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°；
∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠CED＝90°，AC＝CD，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB＝CE，BC＝DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，
即Sb＝Sa+Sc＝11+5＝16，
故选：C．
【点评】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD＝30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．
故②正确；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．
∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
10．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．
【解答】解：连接AR．
因为E、F分别是AP、RP的中点，
则EF为△APR的中位线，
所以EF＝AR，为定值．
所以线段EF的长不改变．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴×6×2+×AC×2＝10，
解得AC＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
12．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE＝∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③；
④EF一定平行BC．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【分析】由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE＝DF，∠ADE＝∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF＝AE，继而证得①∠AFE＝∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③．
【解答】解：①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE＝∠ADF，DF＝DE，
∴AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF，故正确；
②∵DF＝DE，AF＝AE，
∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故正确；
③∵S△BFD＝BF•DF，S△CDE＝CE•DE，DF＝DE，
∴；故正确；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC．故错误．
故选：A．
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
13．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，然后求出∠CAE＝∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后求出∠CNG＝90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH＝∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM＝∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM＝GM，从而得到AM是△AEG的中线．
【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，（故①正确）；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE，（故②正确）；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，
，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM＝∠ABC，（故④正确），
EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中线，（故③正确）．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．
14．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①AG⊥BE；②BG＝4GE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，再证△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD；求出∠ABE+∠BAG＝90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到①正确．根据tan∠ABE＝tan∠EAG＝，得到AG＝BG，GE＝AG，于是得到BG＝4EG，故②正确；根据AD∥BC，求出S△BDE＝S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；由∠AHD＝∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正确；
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
在△BAE和△CDE中
∵，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，故①正确；
∵tan∠ABE＝tan∠EAG＝，
∴AG＝BG，GE＝AG，
∴BG＝4EG，故②正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，故④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．
15．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选C．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
二．填空题（共10小题）
16．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为 3或4.5 厘米/秒，△BPD能够与△CQP全等．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，根据全等三角形的判定得出两种情况：①BD＝CP，BP＝CQ，②BD＝CQ，BP＝PC，再求出答案即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，
∵AB＝12厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝AB＝6（cm），
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴要使，△BPD能够与△CQP全等，有两种情况：
①BD＝CP，BP＝CQ，
8﹣3t＝6，
解得：t＝，
∴CQ＝BP＝3×＝2，
∴点Q的运动速度为2÷＝3（厘米/秒）；
②BD＝CQ，BP＝PC，
∵BC＝8厘米，
∴BP＝CP＝BC＝4（厘米），
即3t＝4，
解得：t＝，
∴CQ＝BD＝6厘米，
∴点Q的运动速度为6÷＝4.5（厘米/秒），
故答案为：3或4.5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
17．如图，AB＝AC，BD⊥AC于点D，点E，F分别为AB，BD上的动点，且AE＝BF，∠DBA＝34°．
（1）CE与BD的大小关系 ≥ （填“≥”或“≤”）；
（2）当CE+AF取得最小值时，∠BEC的度数是 101° ．
【分析】（1）过C作CH⊥AB于H，利用等腰三角形的两条腰上的高相等，即可得到BD＝CH，再根据CE≥CH，即可得到CE≥BD；
（2）将CA绕着点A顺时针旋转90°，得到AG，连接EG，判定△ABF≌△GAE（SAS），即可得到AF＝GE，进而得出CE+AF＝CE+GE，依据当C，E，G三点共线时，CE+GE有最小值，即CE+AF有最小值，根据△ACG是等腰直角三角形，即可得到∠ACE＝45°，依据∠ABD＝34°，∠ADB＝90°，即可得出∠CAE＝56°，最后依据三角形外角性质进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，过C作CH⊥AB于H，
∵AB＝AC，BD⊥AC，
∴＝，
∴BD＝CH，
∵点E为AB上的动点，
∴CE≥CH，
∴CE≥BD，
故答案为：≥；
（2）如图所示，将CA绕着点A顺时针旋转90°，得到AG，连接EG，
则∠CAG＝90°，CA＝GA，
又∵CA＝AB，
∴AB＝GA，
∵BD⊥AC，GA⊥AC，
∴BD∥AG，
∴∠ABF＝∠EAG，
又∵BF＝AE，
∴△ABF≌△GAE（SAS），
∴AF＝GE，
∴CE+AF＝CE+GE，
当C，E，G三点共线时，CE+GE有最小值，即CE+AF有最小值，
此时，△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝45°，
∵∠ABD＝34°，∠ADB＝90°，
∴∠CAE＝56°，
∴∠BEC＝∠ACE+∠CAE＝45°+56°＝101°，
故答案为：101°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的性质．
18．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝ 4 ．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解答】
解：观察发现，
∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，
即S1+S2＝1，
同理S3+S4＝3．
则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．
故答案为：4．
【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
19．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 76 ．
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【解答】解：设将AC延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD＝6×2＝12，BC＝5．
∵∠BCD＝90°
∴BC2+CD2＝BD2，即52+122＝BD2
∴BD＝13
∴AD+BD＝6+13＝19
∴这个风车的外围周长是19×4＝76．
故答案为：76．
【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
20．若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 ．
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．
【解答】解：根据题意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
①若a＝1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，
∵1+1＝2，
∴不能组成三角形，
②若a＝2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，
能组成三角形，
周长＝2+2+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．
21．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 19 cm．
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．
【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，
∴AD＝CD，AE＝CE＝AC＝3cm，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC＝13 ①
则△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BC+6 ②
把①代入②得△ABC的周长＝13+6＝19cm
故答案为：19．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；解答此题时要注意利用垂直平分线的性质找出题中的等量关系，进行等量代换，然后求解．
22．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式+|a﹣b|＝0，则△ABC的形状为 等腰直角三角形 ．
【分析】已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负数之和为0，两非负数同时为0，可得出c2＝a2+b2，且a＝b，利用勾股定理的逆定理可得出∠C为直角，进而确定出三角形ABC为等腰直角三角形．
【解答】解：∵+|a﹣b|＝0，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，且a﹣b＝0，
∴c2＝a2+b2，且a＝b，
则△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质：绝对值及算术平方根，以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握非负数的性质及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
23．在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为 4 ．
【分析】根据角平分线的性质定理，解答出即可；
【解答】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝4，
∴DE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．
24．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 ．
【分析】在BE上截取BG＝CF，连接OG，证明△OBG≌△OCF，则OG＝OF，∠BOG＝∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在Rt△BCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的长．
【解答】解：如图，在BE上截取BG＝CF，连接OG，
∵Rt△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC＝∠ECF，
∵∠OBC＝∠OCD＝45°，
∴∠OBG＝∠OCF，
在△OBG与△OCF中
∴△OBG≌△OCF（SAS）
∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，
∴OG⊥OF，
在Rt△BCE中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，
∴EC＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵BC2＝BF•BE，
则62＝BF，解得：BF＝，
∴EF＝BE﹣BF＝，
∵CF2＝BF•EF，
∴CF＝，
∴GF＝BF﹣BG＝BF﹣CF＝，
在等腰直角△OGF中
OF2＝GF2，
∴OF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用．
25．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH＝8，则FG＝ 5 ．
【分析】如解答图，连接CG，首先证明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，进而证明△HEM≌△HCN，得到四边形MBNH为正方形，由此求出CH、HN、CN的长度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的长度．
【解答】解：如图所示，连接CG．
在△CGD与△CEB中
∴△CGD≌△CEB（SAS），
∴CG＝CE，∠GCD＝∠ECB，
∴∠GCE＝90°，即△GCE是等腰直角三角形．
又∵CH⊥GE，
∴CH＝EH＝GH．
过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN＝90°，
又∵∠EHC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠HEM＝∠HCN．
在△HEM与△HCN中，
∴△HEM≌△HCN（ASA）．
∴HM＝HN，
∴四边形MBNH为正方形．
∵BH＝8，
∴BN＝HN＝4，
∴CN＝BC﹣BN＝6﹣4＝2．
在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH＝2．
∴GH＝CH＝2．
∵HM∥AG，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3．
又∵∠HNC＝∠GHF＝90°，
∴Rt△HCN∽Rt△GFH．
∴，即，
∴FG＝5．
故答案为：5．
【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．
三．解答题（共5小题）
26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD．
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，根据SAS可证明△BOC≌△ADC．
（2）利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（3）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，
BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
（2）解：△ADO是直角三角形．
理由如下：∵△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（3）解：∵∠COB＝∠CAD＝α，∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∠OAD＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴α﹣60°＝50°，
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
∴190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
所以，当α为125°、110°、140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．
27．如图所示，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接BD，根据已知分别求得△ABD的面积与△BDC的面积，即可求四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接BD，
∵AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝90°
∴BD＝5cm，S△ABD＝×3×4＝6cm2
又∵BD＝5cm，BC＝13cm，CD＝12cm
∴BD2+CD2＝BC2
∴∠BDC＝90°
∴S△BDC＝×5×12＝30cm2
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝6+30＝36cm2．
【点评】此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算．连接BD，是关键的一步．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB、AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得：CD＝CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；
（2）由题意：∠DCE＝90°，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC的度数．
【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠FCE，
在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS）．
（2）解：由题意：∠DCE＝90°，
∵EF∥CD，
∴∠E＝180°﹣∠DCE＝90°，
∴∠BDC＝90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
【分析】（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE＝OM，由正方形的性质得OE＝OF，易得OM＝OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；
（2）由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果．
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE＝OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF，
∴OF＝OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；
（2）解：∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，
∴，
解得：，
∴CE＝2，
∴OE＝2．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的性质，运用方程思想是解本题的关键．
30．如图，在▱ABCD中，∠BCD＝120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠BAD＝∠BCD＝120°，∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，BC＝AD，由等边三角形的性质得出BE＝BC，DF＝CD，∠EBC＝∠CDF＝60°，证出∠ABE＝∠FDA，AB＝DF，BE＝AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB＝∠FAD，求出∠AEB+∠BAE＝60°，得出∠FAD+∠BAE＝60°，即可得出∠EAF的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，BC＝AD，
∵△BCE和△CDF都是正三角形，
∴BE＝BC，DF＝CD，∠EBC＝∠CDF＝60°，
∴∠ABE＝∠FDA，AB＝DF，BE＝AD，
在△ABE和△FDA中，，
∴△ABE≌△FDA（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB＝∠FAD，
∵∠ABE＝60°+60°＝120°，
∴∠AEB+∠BAE＝60°，
∴∠FAD+∠BAE＝60°，
∴∠EAF＝120°﹣60°＝60°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
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