数学选修4-4极坐标系同步测试题

这是一份数学选修4-4极坐标系同步测试题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在极坐标平面内，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，200π))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π,3)，201π))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－200π))，Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)，200π))中互相重合的两个点是( )
A．M和N B．M和G
C．M和H D．N和H
解析：选A 由极坐标的定义知，M，N表示同一个点．
2．将点M的极坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(π,3)))化成直角坐标是( )
A．(5,5eq \r(3)) B．(5eq \r(3)，5)
C．(5,5) D．(－5，－5)
解析：选A x＝ρcs θ＝10cseq \f(π,3)＝5，y＝ρsin θ＝10sineq \f(π,3)＝5eq \r(3).
3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．
4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D．两点重合
解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．
二、填空题
5．点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))关于极点的对称点为________．
解析：如图，易知对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,6)π)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,6)π))
6．在极坐标系中，已知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3π,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))两点，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝eq \r(12＋22－2×1×2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－\f(π,4))))＝eq \r(5).
答案：eq \r(5)
7．直线l过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))，则直线l与极轴的夹角等于________．
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝eq \f(π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，
所以∠OAB＝eq \f(π－\f(π,6),2)＝eq \f(5π,12)，
所以∠ACO＝π－eq \f(π,3)－eq \f(5π,12)＝eq \f(π,4).
答案：eq \f(π,4)
三、解答题
8．在极轴上求与点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(2)，\f(π,4)))的距离为5的点M的坐标．
解：设M(r,0)，因为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(2)，\f(π,4)))，
所以 eq \r(4\r(2)2＋r2－8\r(2)rcs\f(π,4))＝5，
即r2－8r＋7＝0.
解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
(1)(eq \r(3)，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．
解：(1)ρ＝eq \r(\r(3)2＋32)＝2eq \r(3).tan θ＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3).
又因为点在第一象限，
所以θ＝eq \f(π,3).
所以点(eq \r(3)，3)的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，\f(π,3))).
(2)ρ＝eq \r(－12＋－12)＝eq \r(2)，tan θ＝1.
又因为点在第三象限，
所以θ＝eq \f(5π,4).
所以点(－1，－1)的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(5π,4))).
(3)ρ＝eq \r(－32＋02)＝3，画图可知极角为π，
所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．
10．已知定点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,3))).
(1)将极点移至O′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，\f(π,6)))处极轴方向不变，求P点的新坐标；
(2)极点不变，将极轴顺时针转动eq \f(π,6)角，求P点的新坐标．
解：(1)设点P新坐标为(ρ，θ)，
如图所示，由题意可知|OO′|＝2eq \r(3)，|OP|＝4，∠POx＝eq \f(π,3)，∠O′Ox＝eq \f(π,6)，
∴∠POO′＝eq \f(π,6).
在△POO′中，ρ2＝42＋(2eq \r(3))2－2·4·2eq \r(3)·cseq \f(π,6)＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.
又∵eq \f(sin∠OPO′,2\r(3))＝eq \f(sin∠POO′,2)，
∴sin∠OPO′＝eq \f(sin\f(π,6),2)·2eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠OPO′＝eq \f(π,3).
∴∠OP′P＝π－eq \f(π,3)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)，
∴∠PP′x＝eq \f(2π,3).
∴∠PO′x′＝eq \f(2π,3).
∴P点的新坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))).
(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，
则ρ＝4，θ＝eq \f(π,3)＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2).
∴P点的新坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,2))).