数学选修4-4柱坐标系与球坐标系简介课后测评

这是一份数学选修4-4柱坐标系与球坐标系简介课后测评，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知一个点的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,6)，\f(π,3)))，则它的方位角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,6)
解析：选A 由球坐标的定义可知选A.
2．设点M的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(5,4)π，\r(2)))，则它的球坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)，\f(5 π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5 π,4)，\f(π,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3 π,4)，\f(π,4)))
解析：选B 设点M的直角坐标为(x，y，z)，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs \f(5 π,4)，,y＝\r(2)sin\f(5 π,4)，,z＝\r(2)，))
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，,z＝\r(2).))
设点M的球坐标为(ρ，φ，θ)．
则ρ＝eq \r(－12＋－12＋\r(2)2)＝2，
由eq \r(2)＝2cs φ知φ＝eq \f(π,4).
又tan θ＝eq \f(－1,－1)＝1，
故θ＝eq \f(5 π,4)，
故点M的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)，\f(5 π,4))).
3．点P的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)，π))，则它的直角坐标为( )
A．(1,0,0) B．(－1，－1,0)
C．(0，－1,0) D．(－1,0,0)
解析：选D x＝rsin φcs θ＝1·sineq \f(π,2)·cs π＝－1，
y＝rsin φsin θ＝1·sineq \f(π,2)·sin π＝0，
z＝rcs φ＝1·cseq \f(π,2)＝0.
∴它的直角坐标为(－1,0,0)．
4．设点M的直角坐标为(－1，－1，eq \r(2))，则它的球坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)，\f(5π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,4)，\f(π,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,4)，\f(π,4)))
解析：选B 由坐标变换公式，得
r＝eq \r(x2＋y2＋z2)＝2，
cs φ＝eq \f(z,r)＝eq \f(\r(2),2)，∴φ＝eq \f(π,4).
∵tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(－1,－1)＝1，∴θ＝eq \f(5π,4).
∴M的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)，\f(5π,4))).
二、填空题
5．已知点M的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,4)，\f(3π,4)))，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．
解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．
答案：(－2,2,2eq \r(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(3π,4)，2\r(2)))
6．在球坐标系中，方程r＝1表示________．
解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．
答案：球心在原点，半径为1的球面
7．在球坐标系中Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)，\f(π,4)))和Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,4)，\f(3π,4)))的距离为________．
解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，eq \r(2))，B(－1,1，－eq \r(2))．
∴|AB|＝eq \r([1－－1]2＋1－12＋[\r(2)－－\r(2)]2)＝2eq \r(3).
答案：2eq \r(3)
三、解答题
8．将下列各点的球坐标化为直角坐标．
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,2)，\f(5π,3)))；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(3π,4)，π)).
解：(1)x＝4sineq \f(π,2)cseq \f(5π,3)＝2，y＝4sineq \f(π,2)sineq \f(5π,3)＝－2eq \r(3)，
z＝4cseq \f(π,2)＝0，
∴它的直角坐标为(2，－2eq \r(3)，0)．
(2)x＝8sineq \f(3π,4)cs π＝－4eq \r(2)，
y＝8sineq \f(3π,4)sin π＝0，z＝8cseq \f(3π,4)＝－4eq \r(2)，
∴它的直角坐标为(－4eq \r(2)，0，－4eq \r(2))．
9．如图，请你说出点M的球坐标．
解：
由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示．
∴点M的球坐标为：M(R，φ，θ)．
10．如图建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标．(其中O是△BCD的中心)
解：∵O是△BCD的中心，
∴OC＝OD＝OB＝eq \f(\r(3),3)，AO＝eq \f(\r(6),3).
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(π,2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(π,2)，\f(2π,3)))，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(π,2)，\f(4π,3)))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，0，0)).