人教版新课标A选修4-4第一章 坐标系综合与测试课后练习题

这是一份人教版新课标A选修4-4第一章 坐标系综合与测试课后练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )
A．(π，0) B．(π，2π)
C．(－π，0) D．(－2π，0)
解析：选A x＝πcs(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，所以化为直角坐标为(π，0)．
2．在极坐标系中，已知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))、Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，－\f(π,6)))，则OA、OB的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B．0
C.eq \f(π,3) D.eq \f(5π,6)
解析：选C
如图所示，夹角为eq \f(π,3).
3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝eq \f(1,3)cs 2x按伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝3y))后为( )
A．y＝cs x B．y＝3cseq \f(x,2)
C．y＝2cseq \f(x,3) D．y＝eq \f(1,2)cs 3x
解析：选A 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝3y，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x′,2)，,y＝\f(y′,3).))
代入y＝eq \f(1,3)cs 2x，得eq \f(y′,3)＝eq \f(1,3)cs x′.
∴y′＝cs x′，即曲线y＝cs x.
4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2))) C．(1,0) D．(1，π)
解析：选B 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2))).
5．曲线θ＝eq \f(2π,3)与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( )
A．1 B.eq \r(3) C．3eq \r(3) D．6
解析：选C 极坐标方程θ＝eq \f(2π,3)，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,2)))，∠AOC＝eq \f(π,6)，∴|AO|＝2×3×cs eq \f(π,6)＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).
6．点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(7π,6)))关于直线θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2π,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(7π,6)))
解析：选A 法一：点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(7π,6)))关于直线θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)的对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(7π,6)＋\f(π,6)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4π,3))).
法二：点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(7π,6)))的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,6)，sin \f(7π,6)))＝－eq \f(\r(3),2)，－eq \f(1,2)，
直线θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，即直线y＝x，
点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))关于直线y＝x的对称点为－eq \f(1,2)，－eq \f(\r(3),2)，
再化为极坐标即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4π,3))).
7．极坐标方程ρsin2θ－2cs θ＝0表示的曲线是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
解析：选C 由ρsin2θ－2cs θ＝0，得ρ2sin2θ－2ρcs θ＝0，
∴化为直角坐标方程是y2－2x＝0，即x＝eq \f(1,2)y2，表示抛物线．
8．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcs θ＝eq \f(1,2) B．ρcs θ＝2
C．ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3))) D．ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))
解析：选B 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，
即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.
由所给的选项中ρcs θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．
9．圆ρ＝4cs θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
解析：选B 圆ρ＝4cs θ的圆心C(2,0)，如图，|OC|＝2，
在Rt△COD中，∠ODC＝eq \f(π,2)，∠COD＝eq \f(π,4)，
∴|CD|＝eq \r(2).
10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
A．2ρ(sin θ＋cs θ)＝r
B．2ρ(sin θ＋cs θ)＝－r
C.eq \r(2)ρ(sin θ＋cs θ)＝r
D.eq \r(2)ρ(sin θ＋cs θ)＝－r
解析：选D 圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①
圆ρ＝－2rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－2rsin θcs eq \f(π,4)＋cs θsin eq \f(π,4)＝－eq \r(2)r(sin θ＋cs θ)．
两边同乘以ρ得ρ2＝－eq \r(2)r(ρsin θ＋ρcs θ)
∵x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＋eq \r(2)rx＋eq \r(2)ry＝0.②
①－②整理得eq \r(2)(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线eq \r(2)(x＋y)＝－r化为极坐标方程为eq \r(2)ρ(cs θ＋sin θ)＝－r.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．直线xcs α＋ysin α＝0的极坐标方程为________．
解析：ρcs θcs α＋ρsin θsin α＝0，cs (θ－α)＝0，
取θ－α＝eq \f(π,2).
答案：θ＝eq \f(π,2)＋α
13换题内容
13．(2015·金华高二检测)极坐标方程ρ＝csθ化为直角坐标方程为________．
12．在极坐标系中，若过点A(4,0)的直线l与曲线ρ2＝4ρcs θ－3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
解析：
将ρ2＝4ρcs θ－3化为直角坐标方程得(x－2)2＋y2＝1，如图易得－eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \f(\r(3),3).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
13．已知点M的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(2π,3)，\f(2π,3)))，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，,z＝z))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2π,3)cs \f(2π,3)＝－\f(π,3)，,y＝\f(2π,3)sin \f(2π,3)＝\f(\r(3)π,3)，,z＝\f(2π,3)，))
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝\r(x2＋y2＋z2)，,cs φ＝\f(z,r)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝\f(2\r(2)π,3)，,cs φ＝\f(\r(2),2).))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝\f(2\r(2)π,3)，,φ＝\f(π,4).))
∴点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(\r(3)π,3)，\f(2π,3)))，球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2)π,3)，\f(π,4)，\f(2π,3))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(\r(3)π,3)，\f(2π,3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2)π,3)，\f(π,4)，\f(2π,3)))
14．在极坐标系中，定点A(1，eq \f(π,2))，点B在直线l：ρcs θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________．
解析：将ρcs θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))化为直角坐标得A(0,1)，如图，过A作AB⊥直线l于B，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，
则|OB|＝eq \f(\r(2),2)，θ＝eq \f(3π,4)，故B点的极坐标是Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(3π,4))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(3π,4)))
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆心A为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,4)))，半径为1的圆的极坐标方程．
解：在极坐标系中，设点P(ρ，θ)是圆上任意一点，则有
r2＝OP2＋OA2－2OP·OA·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))，
即1＝ρ2＋1－2ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))).
即ρ2－2ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝0为所求圆的极坐标方程．
16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cs θ与ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
解：ρ＝－2cs θ可变为ρ2＝－2ρcs θ，
化为普通方程为x2＋y2＝－2x，
即(x＋1)2＋y2＝1表示圆，
圆心为(－1,0)，半径为1.
将ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1化为普通方程为x－eq \r(3)y－2＝0，
∵圆心(－1,0)到直线的距离为eq \f(|－1－2|,\r(1＋3))＝eq \f(3,2)＞1，
∴直线与圆相离．
17．(本小题满分12分)极坐标系中，求点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(π,3)))(m＞0)到直线ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2的距离．
解：将直线极坐标方程化为ρcs θcs eq \f(π,3)＋sin θsin eq \f(π,3)＝2，化为直角坐标方程为x＋eq \r(3)y－4＝0，
点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(π,3)))的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，\f(\r(3)m,2)))，
∴点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，\f(\r(3)m,2)))到直线x＋eq \r(3)y－4＝0的距离为eq \f(\f(m,2)＋\r(3)·\f(\r(3)m,2)－4,\r(1＋3))＝eq \f(2|m－2|,2)＝|m－2|.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))，半径r＝1，P在圆C上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．
解：(1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，
由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))，
所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＋3＝0.
(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，
由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝1，P在圆C上，
所以(2x－1)2＋(2y－eq \r(3))2＝1，
则Q的直角坐标方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))2＝eq \f(1,4).
19．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，圆心为直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，
所以圆C的半径PC
＝ eq \r(\r(2)2＋12－2×1×\r(2)cs \f(π,4))＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cs θ.
20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)∵ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1，
∴ρcs θ·cseq \f(π,3)＋ρsin θ·sineq \f(π,3)＝1.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))∴eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y＝1.
即曲线C的直角坐标方程为x＋eq \r(3)y－2＝0.
令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝eq \f(2\r(3),3).
∴M(2,0)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3))).
∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).
(2)M、N连线的中点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
直线OP的极角为θ＝eq \f(π,6).
∴直线OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)．