高中数学第一章 坐标系综合与测试习题

这是一份高中数学第一章 坐标系综合与测试习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，
∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
2．柱坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)，1))对应的点的直角坐标是( )
A．(eq \r(3)，－1,1) B．(eq \r(3)，1,1) C．(1，eq \r(3)，1) D．(－1，eq \r(3)，1)
解析：选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，,z＝z))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝\r(3)，,z＝1.))
3．在极坐标系中，点A的极坐标是(1，π)，点P是曲线C：ρ＝2sin θ上的动点，则|PA|的最小值是( )
A．0 B.eq \r(2) C.eq \r(2)＋1 D.eq \r(2)－1
解析：选D A的直角坐标为(－1,0)，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，|AC|＝eq \r(2)，则|PA|min＝eq \r(2)－1.
4．直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin θ＋tsin 15°，,y＝cs θ－tsin 75°))(t为参数，θ是常数)的倾斜角是( )
A．105° B．75° C．15° D．165°
解析：选A 参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin θ＋tsin 15°，,y＝cs θ－tsin 75°))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin θ＋tcs 75°，,y＝cs θ－tsin 75°，))
消去参数t得，y－cs θ＝－tan 75°(x－sin θ)，
∴k＝－tan 75°＝tan (180°－75°)＝tan 105°.
故直线的倾斜角是105°.
5．双曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tan θ，,y＝2\f(1,cs θ)))(θ为参数)的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(\r(2),2)x B．y＝±eq \f(1,2)x
C．y＝±eq \r(2)x D．y＝±2x
解析：选D 把参数方程化为普通方程得eq \f(y2,4)－x2＝1，渐近线方程为y＝±2x.
6．极坐标方程ρ＝cs θ和参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1－t，,y＝2＋3t))(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．圆、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．直线、直线
解析：选A ∵ρ＝cs θ，∴x2＋y2＝x表示圆．
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1－t，,y＝2＋3t，))∴y＋3x＝－1表示直线．
7．已知点P的极坐标为(π，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )
A．ρ＝π B．ρ＝cs θ C．ρ＝eq \f(π,cs θ) D．ρ＝eq \f(－π,cs θ)
解析：选D
设M(ρ，θ)为所求直线上任意一点，
由图形知|OM|cs∠POM＝π，∴ρcs(π－θ)＝π.∴ρ＝eq \f(－π,cs θ).
8．直线l：y＋kx＋2＝0与曲线C：ρ＝2cs θ相交，则k满足的条件是( )
A．k≤－eq \f(3,4) B．k≥－eq \f(3,4)
C．k∈R D．k∈R且k≠0
解析：选A 由题意可知直线l过定点(0，－2)，曲线C的普通方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.由图可知，直线l与圆相切时，有一个交点，此时eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，得－k＝eq \f(3,4).若满足题意，只需－k≥eq \f(3,4).
即k≤－eq \f(3,4)即可．
9．参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(1＋sin θ)，,y＝cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(θ,2)))))(θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( )
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
D．抛物线的一部分，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))
解析：选D 由y＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(θ,2)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)),2)＝eq \f(1＋sin θ,2)，可得sin θ＝2y－1，由x＝eq \r(1＋sin θ)得x2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程x2＝2y，
又x＝eq \r(1＋sin θ)∈[0，eq \r(2)]．∴表示抛物线的一部分，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2))).
10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝eq \f(π,3)，ρcs θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3－\r(3),4) C.eq \f(2－\r(3),4) D.eq \f(1,3)
解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y＝0，y＝eq \r(3)x，x＋y＝1，如图所示，围成的图形为△OPQ，可得S△OPQ＝eq \f(1,2)|OQ|·|yP|＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),\r(3)＋1)＝eq \f(3－\r(3),4).
11．设曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋3cs θ，,y＝－1＋3sin θ))(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l的距离为eq \f(7\r(10),10)的点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 曲线C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，它表示以(2，－1)为圆心，3为半径的圆，其中圆心(2，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离d＝eq \f(|2＋3＋2|,\r(10))＝eq \f(7\r(10),10)且3－eq \f(7\r(10),10)12．已知直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2－tsin 30°，,y＝－1＋tsin 30°))(t为参数)与圆x2＋y2＝8相交于B、C两点，O为原点，则△BOC的面积为( )
A．2eq \r(7) B.eq \r(30) C.eq \f(\r(15),2) D.eq \f(\r(30),2)
解析：选C eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2－tsin 30°，,y＝－1＋tsin 30°))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2－\f(1,2)t＝2－\f(\r(2),2)t′，,y＝－1＋\f(1,2)t＝－1＋\f(\r(2),2)t′))(t′为参数)．
代入x2＋y2＝8，得t′2－3eq \r(2)t′－3＝0，
∴|BC|＝|t′1－t′2|＝eq \r(t′1＋t′22－4t′1t′2)＝eq \r(3\r(2)2＋4×3)＝eq \r(30)，
弦心距d＝ eq \r(8－\f(30,4))＝eq \f(\r(2),2)，S△BCO＝eq \f(1,2)|BC|·d＝eq \f(\r(15),2).
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．将参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(a,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)))，,y＝\f(b,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,t)))))(t为参数)转化成普通方程为________．
解析：参数方程变为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2x,a)＝t＋\f(1,t)，,\f(2y,b)＝t－\f(1,t)，))∴eq \f(2x2,a2)－eq \f(2y2,b2)＝4，∴eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1.
答案：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
14．在极坐标中，直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
解析：直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2可化为x＋y－2eq \r(2)＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式，得2eq \r(r2－d2)＝2 eq \r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),\r(2))))2)＝4eq \r(3).
答案：4eq \r(3)
15．(广东高考)已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs t，,y＝\r(2)sin t))(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
解析：曲线C的普通方程为：x2＋y2＝ (eq \r(2) cs t)2＋(eq \r(2) sin t)2＝2(cs2t＋sin2t)＝2，由圆的知识可知，圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l，从而l的斜率为－1，由点斜式可得直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.由ρcs θ＝x，ρsin θ＝y，可得l的极坐标方程为ρcs θ＋ρsin θ－2＝0.
答案：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)
16．(重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcs θ＝4的直线与曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t2，,y＝t3))(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：ρcs θ＝4化为直角坐标方程为x＝4，①
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t2，,y＝t3))化为普通方程为y2＝x3，②
①②联立得A(4,8)，B(4，－8)，
故|AB|＝16.
答案：16
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α，,y＝2＋2sin α))(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP―→＝2OM―→，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝eq \f(π,3)与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
解：(1)设P(x，y)，则由条件知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2))).由于M点在C1上，所以
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＝2cs α，,\f(y,2)＝2＋2sin α，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs α，,y＝4＋4sin α.))从而C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs α，,y＝4＋4sin α.))(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ1＝8sin θ.
射线θ＝eq \f(π,3)与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin eq \f(π,3)，射线θ＝eq \f(π,3)与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin eq \f(π,3).所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2eq \r(3).
18．(江苏高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋1，,y＝2t))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2tan2θ，,y＝2tan θ))(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋1，,y＝2t))(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,y2＝2x，))解得公共点的坐标为(2,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1)).
19．(福建高考)(本小题满分12分)已知方程y2－6ysin θ－2x－9cs2θ＋8cs θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．
解：(1)证明：将方程y2－6ysin θ－2x－9cs 2θ＋8cs θ＋9＝0可配方为(y－3sin θ)2＝2(x－4cs θ)
∴图象为抛物线．
设其顶点为(x，y)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ，,y＝3sin θ，))
消去θ得顶点轨迹是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝14，,y2－6ysin θ－2x－9cs 2θ＋8cs θ＋9＝0))
消去x，得y2－6ysin θ＋9sin 2θ＋8cs θ－28＝0.
弦长|AB|＝|y1－y2|＝4eq \r(7－2cs θ)，
当cs θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.
20．(本小题满分12分)曲线的极坐标方程为ρ＝eq \f(2,1－cs θ)，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A、B和C、D四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB|＋|CD|有最小值？并求出这个最小值．
解：由题意，设A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ3，θ＋\f(π,2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ4，θ＋\f(3π,2))).
则|AB|＋|CD|＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4)
＝eq \f(2,1－cs θ)＋eq \f(2,1＋cs θ)＋eq \f(2,1＋sin θ)＋eq \f(2,1－sin θ)＝eq \f(16,sin22θ).
∴当sin22θ＝1即θ＝eq \f(π,4)或θ＝eq \f(3π,4)时，两条直线的倾斜角分别为eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)时，|AB|＋|CD|有最小值16.
21．(辽宁高考)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2eq \r(2).
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t3＋a，,y＝\f(b,2)t3＋1))(t∈R为参数)．求a，b的值．
解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y－22＝4，,x＋y－4＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝4，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝2，,y2＝2.))
所以C1与C2交点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4))).
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
由参数方程可得y＝eq \f(b,2)x－eq \f(ab,2)＋1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,2)＝1，,－\f(ab,2)＋1＝2，))解得a＝－1，b＝2.
22．(辽宁高考)(本小题满分12分)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x1，,y＝2y1.))
由xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝1得x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))2＝1，
即曲线C的方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1.
故C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs t，,y＝2sin t))(t为参数)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，所求直线斜率为k＝eq \f(1,2)，于是所求直线方程为y－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，化为极坐标方程，并整理得
2ρcs θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝eq \f(3,4sin θ－2cs θ).