高中数学曲线的参数方程练习
展开1.下列方程可以作为x轴的参数方程的是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=t2+1,,y=0;))(t为参数) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=0,,y=3t+1;))(t为参数)
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1+sin θ,,y=0;))(θ为参数) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=4t+1,,y=0;))(t为参数)
解析:选D x轴上的点横坐标可取任意实数,纵坐标为0.
2.已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=6+\f(4,cs θ),,y=5tan θ-3))(θ为参数,π≤θ<2π),若点Μ(14,a)在曲线C上,则a等于( )
A.-3-5eq \r(3) B.-3+5eq \r(3)
C.-3+eq \f(5,3)eq \r(3) D.-3-eq \f(5,3)eq \r(3)
解析:选A ∵(14,a)在曲线C上,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(14=6+\f(4,cs θ), ①,a=5tan θ-3. ②))
由①,得cs θ=eq \f(1,2).又π≤θ<2π,
∴sin θ=-eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)=-eq \f(\r(3),2),
∴tan θ=-eq \r(3).
∴a=5·(-eq \r(3))-3=-3-5eq \r(3).
3.在方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=sin θ,,y=cs 2θ))(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )
A.(2,-7) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),\f(2,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(1,2))) D.(1,0)
解析:选C 将点的坐标代入参数方程,若能求出θ,则点在曲线上,经检验,知C满足条件.
4.由方程x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2t,y=t)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-2t,y=t))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2t,y=-t)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-2t,y=-t))
解析:选A 设(x,y)为所求轨迹上任一点.
由x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0,得
(x-2t)2+(y-t)2=4+2t2.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2t,,y=t.))
二、填空题
5.已知曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2sin θ+1,,y=sin θ+3))(θ为参数,0≤θ<2π).
下列各点:A(1,3),B(2,2),C(-3,5),其中在曲线上的点是________.
解析:将点A坐标代入方程,得θ=0或π,
将点B,C坐标代入方程,方程无解,
故点A在曲线上.
答案:A(1,3)
6.下列各参数方程与方程xy=1表示相同曲线的是________(填序号).
①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=t2,,y=-t2,))②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=sin t,,y=csc t,))③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=cs t,,y=sec t,))
④eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=tan t,,y=ct t.))
解析:普通方程中,x,y均为不等于0的实数,而①②③中x的取值依次为:[0,+∞),[-1,1],[-1,1],故①②③均不正确,而④中,x∈R,y∈R,且xy=1,故④正确.
答案:④
7.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12,运动开始时,点M位于A(1,1),则点M的参数方程为________________________.
解析:设M(x,y),
则在x轴上的位移为x=1+9t,
在y轴上的位移为y=1+12t.
∴参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1+9t,,y=1+12t))(t为参数).
答案:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1+9t,,y=1+12t))(t为参数)
三、解答题
8.已知动圆x2+y2-2axcs θ-2bysin θ=0(a,b∈R+,且a≠b,θ为参数),求圆心的轨迹方程.
解:设P(x,y)为所求轨迹上任一点.
由x2+y2-2axcs θ-2bysin θ=0,得
(x-acs θ)2+(y-bsin θ)2=a2cs2θ+b2sin2θ.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=acs θ,,y=bsin θ))(θ为参数).
这就是所求的轨迹方程.
9.如图所示,OA是圆C的直径,且OA=2a,射线OB与圆交于Q点,和经过A点的切线交于B点,作PQ⊥OA,PB∥OA,试求点P的轨迹方程.
解:设P(x,y)是轨迹上任意一点,取∠DOQ=θ,
由PQ⊥OA,PB∥OA,得
x=OD=OQcs θ=OAcs2θ=2acs2θ,
y=AB=OAtan θ=2atan θ.
所以P点轨迹的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2acs2θ,,y=2atan θ,))θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2))).
10.试确定过M(0,1)作椭圆x2+eq \f(y2,4)=1的弦的中点的轨迹方程.
解:设过M(0,1)的弦所在的直线方程为y=kx+1,
其与椭圆的交点为(x1,y1)和(x2,y2).
设中点P(x,y),则有:x=eq \f(x1+x2,2),y=eq \f(y1+y2,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx+1,,x2+\f(y2,4)=1,))
得(k2+4)y2-8y+4-4k2=0.
∴x1+x2=eq \f(-2k,k2+4),y1+y2=eq \f(8,k2+4).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-\f(k,k2+4),,y=\f(4,k2+4)))(k为参数).
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程.
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