初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试精练

这是一份初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试精练，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
2．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
3．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条件是（ ）
A．∠B＝90°B．∠A＝∠CC．AB＝BCD．AC⊥BD
4．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．若正方形的面积为100，则其对角线长为（ ）
A．100B．20C．10D．10
6．如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，，则M，C两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A．5B．10C．15D．20
8．如图所示，AB、CD、EF互相平行，AE、GI、BF互相平行，则图形中有（ ）个平行四边形．
A．5B．7C．8D．9
二、填空题
9．平行四边形的判定方法有：从边的条件有：①两组对边_________的四边形是平行四边形；②两组对边________的四边形是平行四边形.从对角线的条件有：③两条对角线________的四边形是平行四边形.从角的条件有：④两组对角________的四边形是平行四边形。
10．四边形ABCD中，若∠A+∠B＝180°，∠C+∠D＝180°，则这个四边形________平行四边形（填“是”“不是”或“不一定是”）。
11．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且_______∥_______时，这个四边形是平行四边形.
12．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件_____，则四边形ABCD为菱形．
13．如图，两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合部分的四边形ABCD是___，若AD＝6，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为___．
14．如图，将长，宽分别为，1的长方形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片）．则四个等腰三角形的腰长均为_______．
15．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠BED的度数是_____．
16．如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，点、、、、在同一水平面上，则正方形的面积为__________．
17．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为______．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6 cm，AD＝9 cm．点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，当点P，Q运动_______s时，直线QP将四边形截出一个平行四边形.
三、解答题
19．已知正方形ABCD，E、F分别为边BC、CD上的点，DE=AF．求证：AF⊥DE．
20．如图，在□ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线。求证：四边形AECF是平行四边形．
21．如图，在 □ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点．已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H．求证：四边形EGFH是平行四边形.
22．在□ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
23．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
24．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．
25．如图，在等边△ABC中，D，F分别为CB，BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE。
求证：（1）△ACD≌△CBF；
（2）四边形CDEF为平行四边形.
26．如图，在ABC中，D是BC边上的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）填空：
①若AB＝5，则AC的长为 时，四边形BECF是菱形；
②若AB＝5，BC＝6且四边形BECF是正方形，则AF的长为 ．
参考答案
1．C
【分析】
根据矩形和平行四边形的判定判断即可．
【详解】
A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题，故该选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故该选项错误；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，故该选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，故该选项错误；
故选：C．
【点精】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．
2．D
【解析】
【分析】
从角的方面判定平行四边形的方法：对角相等的四边形是平行四边形.
【详解】
解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件。
故选D。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．只有选项D符合。
【点睛】
本题考查了根据角的关系判定平行四边形，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法。
3．A
【分析】
四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等或有一内角为直角即可．
【详解】
解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：对角线相等（AC＝BD）或有一个内角等于90°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理与矩形的判定定理．掌握对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
由平行四边形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．
【详解】
解：∵,，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴A正确；
∵，，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴B正确；
∵一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴D不正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
5．C
【分析】
先求出正方形的边长，再利用勾股定理，即可求解．
【详解】
∵正方形的面积为100，
∴正方形的边长为10，
∴其对角线长=，
故选C．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．C
【分析】
首先根据勾股定理求得AB的长度，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解．
【详解】
解：如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1.2km，BC＝1.6km，
由勾股定理得到：AB＝＝=2（km）．
∵点M是AB的中点，
∴MC＝AB＝1km．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．
【详解】
∵DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE是平行四边形，∠B=∠EDC，∠FDB=∠C
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDF
∴BF=FD，DE=EC，所以：▱AFDE的周长等于AB+AC=10．
故选B．
【点睛】
根据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题．
8．D
【解析】
根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出图中共有9个平行四边形．
解：图中有9个平行四边形，有四边形ACHG，四边形ECHI，四边形IHDF，四边形HGBD，四边形ACDB，四边形GIFB，四边形DCEF，四边形AEIG，四边形ABCD，
故选D．
9．分别平行 分别相等 互相平分 分别相等
【解析】
【分析】
属于基础题，熟记定理即可．根据平行四边形的判定定理进行解答．
【详解】
解：平行四边形的判定方法有：
从边的条件有：①两组对边 分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边 分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边 相等且平行的四边形是平行四边形。
从对角线的条件有：④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
从角的条件有：⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形 不一定是平行四边形．故答案为①分别平行；②分别相等；③相等且平行；④互相平分；⑤分别相等；不一定。
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定．解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理.
10．不一定是
【解析】
【分析】
平行四边形的判定方法有：从边的条件有：①两组对边 分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边 分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边 相等且平行的四边形是平行四边形．从对角线的条件有：④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．从角的条件有：⑤两组对角 相等的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理进行解答。
【详解】
解：∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∵∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形。
​故答案为不一定是。
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定方法.
11．AD BC
【解析】
【分析】
根据平行线的性质，得DC∥AB，利用平行四边形的判定方法得出AD∥BC时可得出这个四边形是平行四边形即可得出答案。
【详解】
​解：∵∠1＝∠2，
∴DC∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
故答案为AD；BC。
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，平行线的性质.正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．
12．OA＝OC
【分析】
添加条件OA＝OC，先证四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，即可得出平行四边形ABCD是菱形．
【详解】
.解：添加一个条件OA＝OC，则四边形ABCD为菱形，
理由如下：
∵AC平分BD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13．菱形 18
【解析】
试题解析：∵AD∥BC,AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

∵纸条等宽，
∴AE=AF，

∴△ABE≌△ADF，
∴AB=AD，
∵AD=BC
∴AB=BC，
∴该四边形是菱形，
∴BE=3cm，

∴四边形ABCD的面积
故答案为：菱形，
点睛：菱形的判定：有一组领边相等的平行四边形是菱形，
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边相等的四边形是菱形.
14．
【分析】
先根据勾股定理求出对角线的长，然后根据矩形的性质即可求出四个等腰形的腰长．
【详解】
解：∵长方形的长，宽分别为，1，
∴AC=，
∴AO=AC==OC=OB=OD ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及矩形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
15．45°
【分析】
由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，可求∠BEA＝15°，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°，
∴∠BAE＝150°，AB＝AE，
∴∠AEB＝15°，
∴∠BED＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
16．
【分析】
首先由正方形的面积得出，然后证明，得出，然后利用勾股定理得出BG的长度，最后利用面积公式求解即可．
【详解】
∵正方形的面积为，正方形的面积为，
，
，
．
在和中，，
，
，
，
∴正方形的面积为，
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握这些性质是解题的关键．
17．4.8
【解析】
试题解析：如图，连接PA.
∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，

又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.
∴四边形PEAF是矩形，
∴AP=EF.
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
即
∴线段EF长的最小值为4.8；
故答案为：
18．2或3
【解析】
【分析】
由运动时间为t秒，分情况两种情况：①当BQ=AP时，四边形APQD是平行四边形，②当CQ=PD时，四边形CQPB是平行四边形，分别列式求解即可．
【详解】
解：设点P、Q运动的时间为t(s)，依题意有：
CQ=2t，BQ=6-2t，AP=t，PD=9-t；
∵CB∥AD，
∴①当BQ=AP时，四边形APQD是平行四边形，即6-2t=t，解得t=2；
②当CQ=PD时，四边形CQPB是平行四边形，即2t=9-t，解得t=3；
所以当2或3秒时，直线QP将四边形截出一个平行四边形．
故答案为2或3．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定,解题关键是综合运用判定和性质.
19．证明见解析
【解析】
证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°，
在Rt△ADF与Rt△DCE中，AF=DE,AD=CD,∴Rt△ADF≌Rt△DCE（HL）∴∠DAF=∠EDC
设AF与ED交于点G，∴∠DGF=∠DAF+∠ADE=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°∴AF⊥DE．
20．见解析
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形可得，CE∥AF，∠DAB=∠DCB，又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，所以∠2=∠3，可证四边形AFCE是平行四边形。
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，​
∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，
∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，
∴∠2=∠3，
又∠3=∠CFB，
∴∠2=∠CFB，
∴AE∥CF，
又CE∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形。
【点睛】
此题主要考查两组对角分别相等的四边形是平行四边形，解题关键是正确选择判定方法.
21．见解析
【解析】
【分析】
可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=CF，DE=BF
∴四边形AECF是平行四边形．
∴GF∥EH．
∵ED∥BF且ED=BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴GE∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，证明四边形AECF和BFDE是平行四边形是关键．
22．（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
试题分析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC===5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．
23．（1）见试题解析；（2）2
【分析】
（1）由□ABCD可得AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠CDA，再结合点E、F分别是BC、AD的中点即可证得结论；
（2）当四边形AECF为菱形时，可得△ABE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果．
【详解】
∵在□ABCD中，AB=CD，
∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．
又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，
∴BE=DF．
∴△ABE≌△CDF．
（2）当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形，
四边形ABCD的高为 ,
∴菱形AECF的面积为2.
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等；菱形的四条边相等．
24．（1）证明见解析；（2）50°．
【解析】
试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D， ∴∠1=∠DCE，
∵AF∥CE， ∴∠AFB=∠ECB， ∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE=∠ECB， ∴∠AFB=∠1，
在△ABF和△CDE中，， ∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB， ∴∠1=∠DCE=65°，
∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．
考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质．
25．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出AC=CB，∠ACD=∠CBF=60°，进而利用SAS得出即可；（2）利用全等三角形判定与性质得出AD=CF，∠CAD=∠BCF，进而得出ED//FC且ED=FC即可得出答案。
【详解】
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=CB，∠ACD=∠CBF=60°，
∵在△ACD和△CBF中，
AC＝BC
∠ACD＝∠CBF
CD＝BF
∴△ACD≌△CBF（SAS）；
（2）证明：∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，∠CAD=∠BCF。
∵△AED为等边三角形，
∴∠ADE=60°，且AD=DE。
∴FC=DE。
∵∠EDB+60°=∠BDA=∠CAD+∠ACD=∠BCF+60°，
∴∠EDB=∠BCF。
∴ED∥FC。
∵ED＝FC，
∴四边形CDEF为平行四边形.
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定，根据已知等边三角形的性质得出△ACD≌△CBF是解题关键。
26．（1）见解析；（2）①5，②1
【分析】
（1）由已知各件，据AAS很容易证得：△BDE≌△CDF；
（2）①当EF⊥BC时，平行四边形BECF为菱形，据此得出AB＝AC；
②根据正方形的性质得BC＝EF，根据D是BC中点得出BD与DF的长度，再由勾股定理求出AD，进而得出结果．
【详解】
解：（1）∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∵CF∥BE，
∴∠CFD＝∠BED，
在△CFD和△BED中，，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF＝BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）①当AC＝5时，四边形BECF是菱形；理由如下：
∵AB＝5，
∴AB＝AC，
∵D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵四边形BECF为平行四边形，
∴四边形BECF是菱形．
故答案为5；
②∵四边形BEFC是正方形，
∴EF＝BC＝6，EF⊥BC，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝DF＝DE＝3，
∴AD＝，
∴AF＝AD﹣DF＝4﹣3＝1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定、正方形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的判定方法或等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．