初中北师大版第三章 整式及其加减3.3 整式课时作业

这是一份初中北师大版第三章 整式及其加减3.3 整式课时作业，共25页。
1．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE=OE B．CE=DE C．OE=CE D．∠AOC=60°
2．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于E，EM＝8，则圆的半径为（ ）
A．4B．3C．D．
3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是（ ）
A．3 dmB．4 dmC．5 dmD．6 dm
4．如图，已知⊙O弦AB的长6cm，OC⊥AB，OC=4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
5．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A．B．8C．D．
6．如图为球形灯笼的截面图，过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，则⊙O半径为（ ）
A．2dmB．dmC．dmD．dm
7．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，则AB的长为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
8．如图，⊙O中，AC＝6，BD＝4，AB⊥CD于E点，∠CDB＝30°，则⊙O的半径为（ ）
A．B．5C．D．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
10．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是（ ）
A．3 B．6 C．4 D．8
11．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，CD⊥AB，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．（20﹣10）mB．20mC．30mD．（20+10）m
12．已知⊙O的直径20，OP长为8，则过P的弦中，弦长为整数的弦共有（ ）条．
A．1 B．9 C．17 D．16
二．填空题
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为
15．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O过点B．C两点，且⊙O半径r＝，则OA的长为 ．
16．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为 .
17．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，则这个圆形截面的半径为 cm．
18．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝ m．
三．解答题
19．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
20．在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长．
21．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D．E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．
22．已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E．F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．

23．如图⊙O的半径为1cm，弦AB．CD的长度分别为cm，1cm，
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）则弦AC．BD所夹的锐角α的度数是多少？
24．如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且ctα＝3，求水面上升的高度．
25．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田（即弓形）面积所用的公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”指弓形高．在如图所示的弧田中，半径为5，“矢”为2，求弧田面积为多少？
北师大版九年级数学下册第三章3．2垂径定理 同步测试(解析版)
一．选择题
1．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE=OE B．CE=DE C．OE=CE D．∠AOC=60°
解：根据⊙O的直径AB⊥弦CD于点E
∴CE=DE．
故选B．
2．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于E，EM＝8，则圆的半径为（ ）
A．4B．3C．D．
解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（8﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故选：C．
3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是（ ）
A．3 dmB．4 dmC．5 dmD．6 dm
解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，
∵AB＝16，
∴BC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OBC中，
∵OB＝10，BC＝8，
∴OC＝＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．
故选：B．
4．如图，已知⊙O弦AB的长6cm，OC⊥AB，OC=4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
解：如图：
连接OA．
∵OC⊥AB，AB=6cm，
∴AC=BC=AB=3cm（垂径定理）；
在Rt△AOC中，根据勾股定理知， QUOTE AO2=OC2+AC2 AO2=OC2+AC2，
∴ QUOTE OA2 OA2=16+9=25，
∴OA=5cm.
故选B．
5．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A．B．8C．D．
解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，
故选：D．
6．如图为球形灯笼的截面图，过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，则⊙O半径为（ ）
A．2dmB．dmC．dmD．dm
解：∵过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，
∴BD＝AD＝1dm，
在Rt△ODB中，OD2+DB2＝OB2，
即（4﹣r）2+12＝r2，
解得：r＝dm，
故选：C．
7．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，则AB的长为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
解：：∵AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，
∴AD=BD=AB（垂径定理），
∴AB=2AD，
在Rt△ADO中，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，
∴AD= QUOTE AO2-OD2=102-62= AO2-OD2=102-62=8（勾股定理）；
∴AB=16．
故选B．
8．如图，⊙O中，AC＝6，BD＝4，AB⊥CD于E点，∠CDB＝30°，则⊙O的半径为（ ）
A．B．5C．D．
解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴OM＝EN，ON＝EM，
在Rt△ACE中，∵AC＝6，∠A＝∠CDB＝30°，
∴CE＝AC＝3，AE＝3，
在Rt△DEB中，∵BD＝4，∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝2，DE＝2，
∴CD＝3+2，AB＝2+3，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝BM＝，CN＝DN＝，
∴EM＝ON＝，
∴OD＝＝＝．
故选：C．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
解：连接BC，作OE⊥AC于E．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AO＝OB，
∴OE＝BC＝，
故选：C．
10．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是（ ）
A．3 B．6 C．4 D．8
解：如图：
连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为4，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM=AB，
由勾股定理可得，AM=3，所以AB=6．
故选B．
11．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，CD⊥AB，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．（20﹣10）mB．20mC．30mD．（20+10）m
解：∵点O是这段弧所在圆的圆心，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
设AB＝OB＝OA＝rm，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AB，
∴C，D，O三点共线，
∴AD＝DB＝rm，
在Rt△AOD中，
∴OD＝r，
∵OD+CD＝OC，
∴r+5＝r，
解得：r＝（20+10）m，
∴这段弯路的半径为（20+10）m
故选：D．
12．已知⊙O的直径20，OP长为8，则过P的弦中，弦长为整数的弦共有（ ）条．
A．1 B．9 C．17 D．16
答案：D
解：如图，
AB是直径，OA=10，OP=8，过点P作CD⊥AB，交圆于点C，D两点．
由垂径定理知，点P是CD的中点，
∴PC=4，
在直角三角形OPC中，由勾股定理求得，PC=6，
∴CD=12，则CD是过点P最短的弦长为12；AB是过P最长的弦，长为20．
故过点P的弦的长度都在12～20之间；
因此弦长为12，13，14，15，16，17，18，19，20；
当弦长为12．20时，过P点的弦分别为弦CD和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为13，14，15，16，17，18，19时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有16条．
二．填空题
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为 2 ．
解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH＝，
∴CD＝2CH＝2．
故答案为：2
14．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为
解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE= QUOTE 12 12CD=2，∠OEC=90°，
设OC=OA=x，则OE=x-1，
根据勾股定理得： QUOTE CE2+OE2 CE2+OE2= QUOTE OC2 OC2，
即
解得：x=2.5；
故答案为：2.5．
15．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O过点B．C两点，且⊙O半径r＝，则OA的长为 3或5 ．
解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在直线AD上，
连结OB，
在Rt△ABD中，sinB＝＝，
∵AB＝5，
∴AD＝4，
∴BD＝＝＝3，
在Rt△OBD中，OB＝，BD＝3，
∴OD＝＝1，
当点A与点O在BC的两侧时，OA＝AD+OD＝4+1＝5；
当点A与点O在BC的同侧时，OA＝AD﹣OD＝4﹣1＝3，
故OA的长为3或5．
故答案为3或5．
16．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为 .
解：如图，
∵OD=CD=6，
∴由勾股定理得AD=6 QUOTE 3 3 ，
∴由垂径定理得AB=12 QUOTE 3 3，
故答案为：12 QUOTE 3 3．
17．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，则这个圆形截面的半径为 10 cm．
解：设此圆形截面所在圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，交弧于点C，
则CD＝4cm，AD＝AB＝×16＝8（cm），
设这个圆形截面的半径为rcm，
则OD＝OC﹣CD＝r﹣4（cm）
∵在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
解得：r＝10，
故这个圆形截面的半径为10cm．
故答案为：10．
18．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝ 8 m．
解：连接OA，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB．
在Rt△ADO中，OA＝OC＝5m，OD＝CD﹣OC＝3m，∠ADO＝90°，
∴AD＝＝＝4（m），
∴AB＝2AD＝8m．
故答案为：8．
三．解答题
19．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
解：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE，即AC=BD；
20．在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长．
解：由题意得出：OC⊥AB于点D，
由垂径定理知，点D为AB的中点，AB＝2AD，
∵直径是52cm，
∴OB＝26cm，
∴OD＝OC﹣CD＝26﹣16＝10（cm），
由勾股定理知，
BD＝＝24（cm），
∴AB＝48cm．
21．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D．E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．
解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
∴DM＝DE．
∵DE＝8（cm）
∴DM＝4（cm）
在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），
∴OM＝＝＝3（cm）
∴直尺的宽度为3cm．
22．已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E．F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．
解：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF
∵DB=10cm，
∴OD=5cm
∴AO=AD+OD=3+5=8cm
∵∠PAC=30°
∴OG=AO= QUOTE 12 ×8＝4cm
∵OG⊥EF，∴EG=GF
∵GF= QUOTE OF2-OG2=52-42 OF2-OG2=52-42 =3cm
∴EF=6cm．

23．如图⊙O的半径为1cm，弦AB．CD的长度分别为cm，1cm，
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）则弦AC．BD所夹的锐角α的度数是多少？
解：（1）过点O作OE⊥AB于E，连结OA．OB，如图，
∴AE＝BE＝AB，
∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OE＝AB＝；
（2）连结OC．OD，如图，
∵OC＝OD＝1，CD＝1，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CAD＝∠COD＝30°，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ADB＝∠AOB＝45°，
∴∠α＝∠CAD+∠ADB＝30°+45°＝75°．
24．如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且ctα＝3，求水面上升的高度．
解：（1）∵，DC⊥AB，
∴AC＝BC，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，
∵AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解之得R＝5．
答：桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）设OD与EF相交于点G，联结OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠EGD＝∠EGO＝90°，
在Rt△EGD中，，
∴EG＝3DG，
设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，
∴EG＝6﹣3x，
在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2，
∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52，
化简得 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝2（舍去），x2＝1，
答：水面上升的高度为1米．
25．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田（即弓形）面积所用的公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”指弓形高．在如图所示的弧田中，半径为5，“矢”为2，求弧田面积为多少？
解：如图所示：
∵OA＝OC＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝＝4，
∴AB＝8，
∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝（8×2+22）＝10；