高中数学人教版新课标A选修2-22.2直接证明与间接证明教学设计及反思

教学环节

教学活动

设计意图

一、

提出

问题

1. 比较

生：。

2.

生：讨论、交流完成，对比解答

通过复习导入新课

通过典型数学实例，概括综合法的特点

二、

综合法定义

综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。（也形象地称为“顺推证法”或“由因导果法”）

阅读课本P85倒数第3行：流程框图 

更直观了解综合法的证明过程

三、

应用

1. 例1．在中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A，B，C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证：为等边三角形。[几何画板]

证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C ①

∵A，B，C为的内角

∴A+B+C=π                     ②

由①②得                    ③

        由a,b,c成等比数列，有     ④

∵

由④，得   

即  

因此    a=c   从而有   A=C        ⑤

由②③⑤，得   

  所以为等边三角形。

强调分析过程和思考过程，尤其是本题的文字语言与符号语言的转换（2B=A+C），隐含条件的显性化（A+B+C=π），通过寻找条件和结论间的联系，就可直接从已知条件和余弦定理出发，证明问题。

例题起到运用综合法证题的示范作用，注意规范化表达。

四、

练习

巩固

1. P89.1

2. 补充：

已知:xy>0,求证：[几何画板]

  证明：

（学生板演练习）

及时讲评学生板演过程中出现的问题

五、

提出

问题

师：要证明成立，需要什么条件？

生：需要：

师：要证明成立，只需证什么条件？

生：需要：

师：要证明成立，需要什么条件？

生：需要：

师：是否成立？

生：是的

师：上面的分析过程，即

给出分析法的实例。详细的板书推导利于学生总结归纳出分析法的思考过程和特点

引导学生概括出分析法的特点

六、

分析法定义

分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种证明的方法叫做分析法。（也形象地称为“逆推证法”或“执果索因法”）

阅读课本P97.流程框图

更直观了解分析法的证明过程

七、

应用

1. 例2．求证：

证明：∵和4都是正数

∴为了证明

只需证明

展开得：

只需证 15<16

∵15<16显然成立，∴原式成立

2. 师：综合法与分析法有什么样的思维关系？

生：讨论交流，总结归纳

“综合法”与“分析法”的思维是互逆的关系，综合法是从条件出发，产生与目标相关的联想，从而实现问题的解决；而分析法是从结论出发，寻找结论成立须满足的条件在具体处理问题时，两种思维一般同时进行，即综合法离不开目标的指引，分析法离不开条件的环境。

   综合法和分析法各有优缺点。分析法思考自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考。实际证明时先用分析法探求证明途径，然后用综合法叙述。

3. 上面的例2可以用综合法完成证明（要在草稿纸上先分析好）

   例题证明

        ∵15<16

∴

∴

则

∵和4都是正数

∴成立

例题示范分析法的思路、证明步骤，加深对分析法的认识

通过讨论交流，比较2种证明方法的差异，提升对综合法与分析法的认识。老师要提醒并强调分析法的证明过程易出现不完整情况

正因为分析法在证明过程中易出现步骤的不完善，所以告诉学生可以将用分析法证明的问题以综合法的形式呈现，这样也可以培养学生的逻辑性思维

八、

练习

巩固

P89.2

九、

知识

小结

综合法和分析法的思考过程、特点；分析法证明问题时需要注意的地方；综合法与分析法的关系。[几何画板]

通过小结总结所学，突出重点，强调难点

十、

课后

作业

1．P91.习题2.2A组2

2. P91.习题2.2B组2

2. 阅读课本

十一、

设计

反思

学生在用分析法证明问题时，往往缺少必要的叙述环节，直接从还应证式出发推证。教学中应强调证明格式，对于普通班，可以要求学生将草稿纸上的分析过程倒过来写，只用综合法的方式证题，这样会清晰得多。