2021学年1.1变化率与导数教学设计

这是一份2021学年1.1变化率与导数教学设计，共4页。教案主要包含了问题情境，建构数学，数学运用，回顾小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标：
1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；
2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；
3．理解切线概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转化
问题的能力及数形结合思想．
教学重点：
理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．
教学难点：
用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．
如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线，该直线是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．
因此，在点P附近我们可以用这条直线来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看出直线（即在很小的范围内以直代曲）．
2．探究活动．
如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线，
试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；
在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直线l3吗？
在点P附近能作出一条比l1，l2，l3更加逼近曲线的直线吗？
二、建构数学
切线定义: 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线． 随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线．
思考：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？
三、数学运用
例1 试求在点(2，4)处的切线斜率．
解法一 分析：设P(2，4)，Q(xQ，f(xQ))，
则割线PQ的斜率为：
当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；
当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4．
从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的切线斜率为4．
解法二 设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)，则割线PQ的斜率为：
当∆x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)＝x2，在点(2，4)处的切线斜率为4．
练习 试求在x＝1处的切线斜率．
解：设P(1，2)，Q(1＋Δx，(1＋Δx)2＋1)，则割线PQ的斜率为：
当∆x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数2，从而曲线f(x)＝x2＋1在x＝1处的切线斜率为2．
小结 求曲线上一点处的切线斜率的一般步骤：
（1）找到定点P的坐标，设出动点Q的坐标；
（2）求出割线PQ的斜率；
（3）当时，割线逼近切线，那么割线斜率逼近切线斜率．
思考 如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？
解 设
所以，当无限趋近于0时，无限趋近于点处的切线的斜率．
变式训练
1．已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程；
2．已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程；
3．已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．
课堂练习
已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．
四、回顾小结
1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映（局部以直代曲）．
2．根据定义，利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程．
五、课外作业