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    高二数学精品教案:2.3 2 离散型随机变量的方差(选修2-3)
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    高中数学人教版新课标A选修2-32.3离散型随机变量的均值与方差教案及反思

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    这是一份高中数学人教版新课标A选修2-32.3离散型随机变量的均值与方差教案及反思,共10页。教案主要包含了复习引入,讲解新课,讲解范例,课堂练习,小结 ,课后作业,板书设计 [来源数理化网],教学反思等内容,欢迎下载使用。

    知识与技能:了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
    过程与方法:了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”,以及“若ξ~Β(n,p),则Dξ=np(1—p)”,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
    情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
    教学重点:离散型随机变量的方差、标准差
    教学难点:比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题
    教具准备:多媒体、实物投影仪 。
    教学设想:了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”,以及“若ξ~Β(n,p),则Dξ=np(1—p)”,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
    授课类型:新授课
    课时安排:2课时
    教 具:多媒体、实物投影仪
    内容分析:
    数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天,我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究,即研究过一组数据的方差.
    回顾一组数据的方差的概念:设在一组数据,,…,中,各数据与它们的平均值得差的平方分别是,,…,,那么++…+
    叫做这组数据的方差
    教学过程:
    一、复习引入:
    1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
    2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量
    3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量
    4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
    5. 分布列:
    6. 分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1.
    7.二项分布:ξ~B(n,p),并记=b(k;n,p).
    8.几何分布: g(k,p)= ,其中k=0,1,2,…, .
    9.数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
    则称 …… 为ξ的数学期望,简称期望.
    10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
    11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令…,则有…,…,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
    12. 期望的一个性质:
    13.若ξB(n,p),则Eξ=np
    二、讲解新课:
    1. 方差: 对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是,,…,,…,且取这些值的概率分别是,,…,,…,那么,
    =++…++…
    称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的是随机变量ξ的期望.
    2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差,记作.
    3.方差的性质:(1);(2);
    (3)若ξ~B(n,p),则np(1-p)
    4.其它:
    ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;
    ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;
    ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛
    三、讲解范例:
    例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
    解:抛掷散子所得点数X 的分布列为
    从而
    ;

    .
    例2.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:
    根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?
    解:根据月工资的分布列,利用计算器可算得
    EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1
    = 1400 ,
    DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3
    + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1
    = 40 000 ;
    EX2=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,
    DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l
    = 160000 .
    因为EX1 =EX2, DX1例3.设随机变量ξ的分布列为
    求Dξ
    解:(略),
    例4.已知离散型随机变量的概率分布为
    离散型随机变量的概率分布为
    求这两个随机变量期望、均方差与标准差
    解:;


    =0.04, .
    点评:本题中的和都以相等的概率取各个不同的值,但的取值较为分散,的取值较为集中.,,,方差比较清楚地指出了比取值更集中.
    =2,=0.02,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
    例5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下:射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
    解:
    +(10-9);
    同理有
    由上可知,,所以,在射击之前,可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近,均在9环左右,但甲所得环数较集中,以9环居多,而乙得环数较分散,得8、10环地次数多些.
    点评:本题中,和所有可能取的值是一致的,只是概率的分布情况不同.=9,这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度,即两名射手成绩的稳定情况
    例6.A、B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表所示:
    A机床B机床
    问哪一台机床加工质量较好
    解: Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
    Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
    它们的期望相同,再比较它们的方差
    Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2
    ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,
    Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2
    ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.
    ∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
    四、课堂练习:
    1 .已知,则的值分别是( )
    A.; B.; C.; D.
    答案:1.D
    2. 一盒中装有零件12个,其中有9个正品,3个次品,从中任取一个,如果每次取出次品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.
    分析:涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样,每次抽样后次品率将会发生变化,即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样,则各次抽样的次品率不变,各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.
    解:设取得正品之前已取出的次品数为ξ,显然ξ所有可能取的值为0,1,2,3
    当ξ=0时,即第一次取得正品,试验停止,则
    P(ξ=0)=
    当ξ=1时,即第一次取出次品,第二次取得正品,试验停止,则
    P(ξ=1)=
    当ξ=2时,即第一、二次取出次品,第三次取得正品,试验停止,则
    P(ξ=2)=
    当ξ=3时,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,试验停止,则P(ξ=3)=
    所以,Eξ=
    3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%,从中任意地连续取出200件商品,设其中次品数为ξ,求Eξ,Dξ
    分析:涉及产品数量很大,而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很大,因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小,所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的.解答本题,关键是理解清楚:抽200件商品可以看作200次独立重复试验,即ξB(200,1%),从而可用公式:Eξ=np,Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算
    解:因为商品数量相当大,抽200件商品可以看作200次独立重复试验,所以ξB(200,1%)因为Eξ=np,Dξ=npq,这里n=200,p=1%,q=99%,所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98
    4. 设事件A发生的概率为p,证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4
    分析:这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法,关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差Dξ=P(1-P)后,我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数,这里可用配方法,也可用重要不等式证明结论
    证明:因为ξ所有可能取的值为0,1且P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p,
    所以,Eξ=0×(1-p)+1×p=p
    则 Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)
    5. 有A、B两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下:
    其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120,试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好
    分析: 两个随机变量ξA和ξB&都以相同的概率0.1,0.2,0.4,0.1,0.2取5个不同的数值.ξA取较为集中的数值110,120,125,130,135;ξB取较为分散的数值100,115,125,130,145.直观上看,猜想A种钢筋质量较好.但猜想不一定正确,需要通过计算来证明我们猜想的正确性
    解:先比较ξA与ξB的期望值,因为
    EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
    EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.
    所以,它们的期望相同.再比较它们的方差.因为
    DξA=(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50,
    DξB=(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.
    所以,DξA < DξB.因此,A种钢筋质量较好
    6. 在有奖摸彩中,一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的,20个奖品是25元的,5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下,一张彩票的合理价格是多少元?
    分析:这是同学们身边常遇到的现实问题,比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一般来说,出台各种彩票,政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业,同时也要考虑工作人员的工资等问题.本题的“不考虑获利”的意思是指:所收资金全部用于奖品方面的费用
    解:设一张彩票中奖额为随机变量ξ,显然ξ所有可能取的值为0,5,25,100依题
    意,可得ξ的分布列为
    答:一张彩票的合理价格是0.2元.
    五、小结 :⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤:①理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值;②求ξ取各个值的概率,写出分布列;③根据分布列,由期望的定义求出Eξ;④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ~B(n,p),则不必写出分布列,直接用公式计算即可.
    ⑵对于两个随机变量和,在和相等或很接近时,比较和
    ,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要
    六、课后作业: P69练习1,2,3 P69 A组4 B组1,2
    1.设~B(n、p)且E=12 D=4,求n、p
    解:由二次分布的期望与方差性质可知E=np D= np(1-p)
    ∴ ∴
    2.已知随机变量服从二项分布即~B(6、)求b (2;6,)
    解:p(=2)=c62()2()4
    3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和,已知和 的分布列如下:(注得分越大,水平越高)

    试分析甲、乙技术状况
    解:由0.1+0.6+a+1a=0.3
    0.3+0.3+b=1a=0.4
    ∴E=2.3 , E=2.0
    D=0.81 , D=0.6
    七、板书设计(略) [来源数理化网]
    八、教学反思:
    ⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤:
    ①理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值;
    ②求ξ取各个值的概率,写出分布列;
    ③根据分布列,由期望的定义求出Eξ;
    ④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ~B(n,p),则不必写出分布列,直接用公式计算即可.
    ⑵对于两个随机变量和,在和相等或很接近时,比较和,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要
    w。w-w*k&s%5¥u
    w。w-w*k&s%5¥u
    ξ
    x1
    x2

    xi

    P
    P1
    P2

    Pi

    ξ
    0
    1

    k

    n
    P


    ξ
    1
    2
    3

    k

    P


    ξ
    x1
    x2

    xn

    P
    p1
    p2

    pn

    ξ
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    P
    甲单位不同职位月工资X1/元
    1200
    1400
    1600
    1800
    获得相应职位的概率P1
    0.4
    0.3
    0.2
    0.1
    乙单位不同职位月工资X2/元
    1000
    1400
    1800
    2000
    获得相应职位的概率P2
    0.4
    0.3
    0.2
    0.1
    ξ
    1
    2

    n
    P

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    P
    3.7
    3.8
    3.9
    4
    4.1
    4.2
    4.3
    P
    次品数ξ1
    0
    1
    2
    3
    次品数ξ1
    0
    1
    2
    3
    概率P
    0.7
    0.2
    0.06
    0.04
    概率P
    0.8
    0.06
    0.04
    0.10
    ξA
    110
    120
    125
    130
    135
    ξB
    100
    115
    125
    130
    145
    P
    0.1
    0.2
    0.4
    0.1
    0.2
    P
    0.1
    0.2
    0.4
    0.1
    0.2
    ξ
    0
    5
    25
    100
    P
    1
    2
    3
    p
    a
    0.1
    0.6
    1
    2
    3
    p
    0.3
    b
    0.3
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