初中数学北师大版八年级下册第三章 图形的平移与旋转综合与测试课后练习题

第三章 图形的平移与旋转考点梳理

【考点1  平移性质的运用】

【方法点拨】平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图

形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对

应点．连接各组对应点的线段平行且相等．

【例1】（2020春•越秀区校级月考）在手工制作课上，张华和李丽用铁丝制作楼梯模型，如图所示，则她们用的铁丝周长（　　）

A．张华的长 B．李丽的长 C．一样长 D．不能确定

【变式1-1】（2020春•西城区校级期中）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若三角形ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（　　）

A．23cm B．26cm C．29cm D．32cm

【变式1-2】（2019春•海曙区期中）如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝4，EF＝10，△BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②△ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为16，正确的有（　　）

A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④

【变式1-3】（2020春•蕲春县期中）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移AD长的距离得到直角三角形DEF，已知BE＝5，EF＝8，CG＝3．则图中阴影部分面积　    　．

【考点2  作图—平移变换】

【方法点拨】平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图

形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对

应点．连接各组对应点的线段平行且相等．

【例2】（2020春•江岸区校级月考）在如图的直角坐标系中，将△ABC平移后得到△A′B′C′，它们的三个顶点坐标如表所示：

（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：△ABC向右平移　  　个单位长度，再向上平移　 　个单位长度可以得到△A′B′C′；a＝　 　，b＝　 　．

（2）求出线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积．

（3）若点M（m，n）为线段AB上的一点，则m、n满足的关系式是　      　．

【变式2-1】（2020秋•雨花区月考）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上．

（1）求三角形ABC的面积；

（2）将△ABC平移后得到△DEF，若此时A点的对应点D的坐标为（1，3），请直接写出B点的对应点E和C点的对应点F的坐标，并在图中画出△DEF；

（3）在x轴上是否存在点P使得△DFP的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

【变式2-2】（2020秋•泰兴市期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．

（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．

①点M平移到点A的过程可以是：先向　 　平移　 　个单位长度，再向　 　平移　 　个单位长度；

②点B的坐标为　   　；

（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．

（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式2-3】（2021春•锦江区校级月考）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：

（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．

（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系　              　．

（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．

【考点3  旋转的概念】

【方法点拨】旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．

旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．

【例3】下面是4个能完全重合的正六边形，请仔细观察A、B、C、D四个图案，其中与所给图形不相同的是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式3-1】（2020春•唐河县期末）如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　　）

A．144° B．90° C．72° D．60°

【变式3-2】（2020春•南海区期末）如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q

【变式3-3】（2020•黔西南州）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．

根据以上规定，回答问题：

（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　 　；

A．矩形

B．正五边形

C．菱形

D．正六边形

（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　   　（填序号）；

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．

其中真命题的个数有　 　个；

A．0

B．1

C．2

D．3

（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．

【考点4  利用旋转求角度】

【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

【例4】（2020•大连）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（　　）

A．50° B．70° C．110° D．120°

【变式4-1】（2020春•织金县期末）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠a的度数是（　　）

A．50° B．60° C．40° D．30°

【变式4-2】（2020•菏泽）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（　　）

A． B．α C．α D．180°﹣α

【变式4-3】（2020•雨花区模拟）Rt△ABC，已知∠C＝90，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD （如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝（　　）

A．80 B．80或120 C．60或120 D．80或100

【考点5  作图—旋转变换】

【例5】（2020春•盐湖区期末）在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题：

（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1顺时针旋转90°后的△A2B2C1；

（3）连接A1A2，则△C1A1A2是　    　三角形，并直接写出△C1A1A2的面积．

【变式5-1】（2020秋•锦江区校级月考）在平面直角坐标系中，△ABC的点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：

（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；

（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标．

（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．

【变式5-2】（2020春•锦江区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A （2，2），B （1，0），C（3，1）．

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2；

（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．

【变式5-3】（2020春•成都期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．

（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；

（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为　   　；

（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值　　．

【考点6  与旋转有关的点的坐标】

【例6】（2020春•翠屏区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（　　）

A．（4，3） B．（4，4） C．（5，3） D．（5，4）

【变式6-1】（2020春•林州市期中）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（　　）

A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（，1） D．（﹣2，1）

【变式6-2】（2020•天桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（﹣2，） B．（﹣2，2） 

C．（﹣3，2） D．（﹣3，）

【变式6-3】（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上，其中A（0，﹣4），C（﹣2，0），将矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形A'B'C'D，点B'恰好落在x轴上，线段B'A'与CD交于点E的坐标为（　　）

A．（﹣2，） B．（﹣2，） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，）

【考点7  与旋转有关的点的坐标（周期规律）】

【例7】（2020春•郑州期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（　　）

A．（28，4） B．（36，0） C．（39，0） D．（，）

【变式7-1】（2019秋•南海区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（　　）

A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．

【变式7-2】（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是　       　．

【变式7-3】（2020•惠民县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O，…，依此规律，得到等腰直角三角形A2020OB2020，则点B2020的坐标为　        　．

【考点8  中心对称图形】

【方法点拨】中心对称图形是把这个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.

【例8】（2020•襄城区校级模拟）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式8-1】（2020春•鹿城区校级期中）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【变式8-2】（2020春•西城区期末）下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）

A．唐代对凤纹 B．良渚神人兽面纹 

C．敦煌元素宝相花纹 D．《营造法式》海石榴花纹

【变式8-3】（2020秋•柯桥区期末）下列扑克牌中，中心对称图形有（　　）

A．1张 B．2张 C．3张 D．4张

【考点9  关于原点对称的点的坐标】

【方法点拨】解答此类题需熟悉：两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数．

【例9】（2020•德城区模拟）在平面直角坐标系中，若点M（m，n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点P（m﹣n，n）所在象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式9-1】（2019秋•中山市期末）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是（　　）

A．a或a＞1 B．a C．a＜1 D．a＞1

【变式9-2】（2019秋•霍林郭勒市期末）在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为　 　．

【变式9-3】（2020春•柯桥区期中）直角坐标系中，已知A（3，2），作点A关于y轴对称点A1，点A1关于原点对称点A2，点A2关于x轴对称点A3，A3关于y轴对称点A4，……，按此规律，则点A2019的坐标为　    　．

【考点10  中心对称性质的运用】

【方法点拨】（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，

那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于

中心的对称点．（2）中心对称的性质： ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两

个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．

【例10】（2020秋•沂水县期中）如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线MN将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式10-1】（2020春•海勃湾区期末）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EFAB；G、H是BC边上的点，且GHBC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（　　）

A． B． C． D．

【变式10-2】（2020•镇江模拟）如图，O是▱ABCD的对称中心，点E在边BC上，AD＝7，BE＝3，将△ABE绕点O旋转180°，设点E的对应点为E'，则　   　．

【变式10-3】（2020春•宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．

（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；

（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；

（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．