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初中数学第一章 三角形的证明综合与测试练习
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这是一份初中数学第一章 三角形的证明综合与测试练习,文件包含第一章三角形的证明重难点提升卷原卷版docx、第一章三角形的证明重难点提升卷解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共29页, 欢迎下载使用。
1.(3分)(2020秋•无锡期末)在等腰三角形中,有一个角是50°,它的一条腰上的高与底边的夹角是( )
A.25°B.25°或40°C.25°或 35°D.40°
【分析】根据题意先画出图形,再分两种情况:50°为底角和50°为顶角求出答案.
【解答】解:当50°为底角时,
∵∠B=∠ACB=50°,
∴∠BCD=90°﹣50°=40°;
当50°为顶角时,
∵∠A=50°,
∴∠B=∠ACB=65°,
∴∠BCD=90°﹣65°=25°.
故选:B.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理,是基础知识要熟练掌握.注意分类讨论思想的应用.
2.(3分)(2020秋•萧山区期中)在下列条件:①∠A+∠B=∠C,②∠A:∠B:∠C=5:3:2,③∠A=90°﹣∠B,④∠A=2∠B=3∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析,即可得到答案.
【解答】解:①∵∠A+∠B=∠C,
∴2∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形;
②∵∠A:∠B:∠C=5:3:2,
设∠A=5x,则∠B=3x,∠C=2x,
∴5x+2x+3x=180,
解得:x=18°,
∴∠5=18°×5=90°,
∴△ABC是直角三角形;
③∵∠A=90°﹣∠B,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠C=180°﹣90°=90°,
∴△ABC是直角三角形;
④∵3∠C=2∠B=∠A,
∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A=180°,
∴∠A=(108011)°,
∴△ABC为钝角三角形.
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定,三角形内角和定理,掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键.
3.(3分)(2020秋•越城区期中)用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”,应先假设这个三角形中( )
A.至少有两个角是直角
B.没有直角
C.至少有一个角是直角
D.有一个角是钝角,一个角是直角
【分析】熟记反证法的步骤,然后进行判断.
【解答】解:用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”,应先假设这个三角形中有两个角是直角.
故选:A.
【点睛】此题考查反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:
(1)假设结论不成立;
(2)从假设出发推出矛盾;
(3)假设不成立,则结论成立.
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
4.(3分)(2020春•锦江区期末)如图是5×5的正方形方格图,点A,B在小方格的顶点上,要在小方格的顶点确定一点C,连接AC和BC,使△ABC是等腰三角形,则方格图中满足条件的点C的个数是( )
A.4B.5C.6D.7
【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可.
【解答】解:如图所示:
C在C1,C2,C3,C4位置上时,AC=BC;
C在C5,C6位置上时,AB=BC;
即满足点C的个数是6,
故选:C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,能找出符合的所有点是解此题的关键,注意:有两边相等的三角形是等腰三角形.
5.(3分)(2020秋•无锡期末)下列条件中,能判断两个直角三角形全等的是( )
A.有两条边分别相等
B.有一个锐角和一条边相等
C.有一条斜边相等
D.有一直角边和斜边上的高分别相等
【分析】根据全等三角形的判定定理:AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析,然后即可得出答案.
【解答】解:A、两边分别相等,但是不一定是对应边,不能判定两直角三角形全等,故此选项不符合题意;
B、一条边和一锐角对应相等,不能判定两直角三角形全等,故此选项不符合题意;
C、有一条斜边相等,两直角边不一定对应相等,不能判定两直角三角形全等,故此选项不符合题意;
D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等,故此选项符合题意;
故选:D.
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定,熟练掌握判定定理是解题关键.
6.(3分)(2020秋•盘龙区期末)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,以相同的长(大于12AB)为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD.已知△CDE的面积比△CDB的面积小5,则△ADE的面积为( )
A.5B.4C.3D.2
【分析】根据题意得到MN是线段AB的垂直平分线,进而得到点D是AB的中点,根据三角形的面积公式计算,得到答案.
【解答】解:由尺规作图可知,MN是线段AB的垂直平分线,
∴点D是AB的中点,
∴S△ADC=S△BDC,
∵S△BDC﹣S△CDE=5,
∴S△ADC﹣S△CDE=5,即△ADE的面积为5,
故选:A.
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
7.(3分)(2020秋•肇州县期末)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DA=DE,DB=BE=EC.若∠ABC=130°,则∠C的度数为( )
A.20°B.22.5°C.25°D.30°
【分析】可设∠C=x,根据等腰三角形的性质可得∠EBC=x,则∠DBE=130°﹣x,根据等腰三角形的性质可得∠EDB=25°+12x,再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠A=12.5°+14x,再根据三角形内角和为180°,列出方程即可求解.
【解答】解:设∠C=x,根据等腰三角形的性质得∠EBC=x,则∠DBE=130°﹣x,根据等腰三角形的性质得∠EDB=25°+12x,根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A=12.5°+14x,
依题意有12.5°+14x+x+130°=180°,
解得x=30°.
故选:D.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形外角的性质,三角形内角和定理,得到方程是解本题的关键.
8.(3分)如图,△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】过点P作PF⊥AC于F,PG⊥BC于G,PH⊥AB于H,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF=PG=PH,从而得解.
【解答】解:如图,过点P作PF⊥AC于F,PG⊥BC于G,PH⊥AB于H,
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P,
∴PF=PG=3,PG=PH,
∴PF=PG=PH=3.
故选:C.
【点睛】本题考查了角平分线的性质,掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键.
9.(3分)(2020春•兰州期末)如图,在△ABC中,AB=AC=10,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的角平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长是( )
A.2B.4C.5D.52
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,求出∠DAE=∠EAB=30°,根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°,从而得到∠DAE=∠F,根据等角对等边求出AD=DF,求出∠B=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答.
【解答】解:∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°=60°,
∵AE是∠BAD的角平分线,
∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=12×60°=30°,
∵DF∥AB,
∴∠F=∠BAE=30°,
∴∠DAE=∠F=30°,
∴AD=DF,
∵∠B=90°﹣60°=30°,
∴AD=12AB=12×10=5,
∴DF=5,
故选:C.
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键.
10.(3分)(2020春•牡丹区期末)如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1B2,△A2B2B3,△A3B3B4,…均为等边三角形.若OB1=1,则△A8B8B9的边长为( )
A.64B.128C.132D.256
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出B1A1∥A2B2∥A3B3,以及a2=2a1,得出a3=4a1=4,a4=8a1=8,a5=16a1…进而得出答案.
【解答】解:∵△A1B1B2是等边三角形,
∴∠A1B1B2=∠A1B2O=60°,A1B1=A1B2,
∵∠O=30°,
∴∠A2A1B2=∠O+∠A1B2O=90°,
∵∠A1B1B2=∠O+∠OA1B1,
∴∠O=∠OA1B1=30°,
∴OB1=A1B1=A1B2=1,
在Rt△A2A1B2中,∵∠A1A2B2=30°
∴A2B2=2A1B2=2,
同法可得A3B3=22,A4B4=23,…,AnBn=2n﹣1,
∴△A8B8B9的边长=27=128,
故选:B.
【点睛】本题考查等边三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.(3分)(2020秋•顺义区期末)命题“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”,它的逆命题是 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 .
【分析】将命题的条件和结论相互转换,可得到互逆命题.
【解答】解:逆命题是:线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等,
故答案为线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.
【点睛】本题考查命题与证明,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题.
12.(3分)(2019春•罗湖区期中)下列语句:①有一边对应相等的两个直角三角形全等;②一般三角形具有的性质,直角三角形都具有;③有两边相等的两直角三角形全等;④两直角三角形的斜边为5cm,一条直角边都为3cm,则这两个直角三角形必全等.其中正确的有 2 个.
【分析】根据直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理HL、SSS、SAS、ASA、AAS等作出判定即可.
【解答】解:①直角三角形两直角对应相等,有一边对应相等的两个直角三角形只具备一边与一角对应相等,所以有一边对应相等的两个直角三角形不一定全等;
②直角三角形是特殊的三角形,所以一般三角形具有的性质,直角三角形都具有;
③如果一个直角三角形的两直角边与另一个直角三角形的一条直角边与斜边分别相等,那么这两个直角三角形不全等,所以有两边相等的两直角三角形不一定全等;
④两直角三角形的斜边为5cm,一条直角边都为3cm,根据HL可得这两个直角三角形必全等.
所以正确的结论是②④.
故答案为2.
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定.直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判定方法都适合它,同时,直角三角形又是特殊的三角形,有它的特殊性,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.
13.(3分)(2020秋•南关区校级期末)如图,△PBC的面积为4cm2,AP垂直∠B的平分线BP于点P,则△ABC的面积为 8 cm2.
【分析】延长AP交BC于点Q,则由条件可知S△ABP=S△BQP,S△APC=S△PQC,则阴影部分面积为△ABC的一半,可得出答案.
【解答】解:如图,延长AP交BC于点Q,
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P,
∴AP=QP,
∴S△ABP=S△BQP,S△APC=S△PQC,
∴S△ABC=2S阴影=8(cm2),
故答案为:8.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质,垂直平分线的定义及三角形的面积,由条件得出阴影部分面积为△ABC的一半是解题的关键.
14.(3分)(2020春•浦东新区期末)如图,在△ABC中,AB=6,AC=9,BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线,MN经过点O,且MN∥BC,MN分别交AB、AC于点M、N,则△AMN的周长是 15 .
【分析】由在△ABC中,∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O,过点O作MN∥BC,易证得△BOM与△CON是等腰三角形,继而可得△AMN的周长等于AB+AC.
【解答】解:∵在△ABC中,∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠BCO,
∵MN∥BC,
∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB,
∴∠ABO=∠MOB,∠ACO=∠NOC,
∴BM=OM,CN=ON,
∴△AMN的周长是:AM+NM+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=9+6=15.
故答案为:15.
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质,角平分线的性质,平行线的判定,三角形周长的求法,等量代换等知识点.
15.(3分)(2020秋•沙河口区期末)如图,△ABC中,∠ABC=45°,高AD和BE相交于点H,∠CAD=30°,若AC=4,则点H到BC的距离是 2 .
【分析】根据含0°角的直角三角形的性质可求解CD的长,再利用AAS证明△BDH≌△ADC,可得HD=CD,进而求解.
【解答】解:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠HBD+∠BHD=90°,
∵∠CAD=30°,AC=4,
∴CD=12AC=2,
∵BE⊥AC,
∴∠HBD+∠C=90°,
∴∠BHD=∠C,
∵∠ABD=45°,
∴∠BAD=45°,
∴BD=AD,
在△BDH和△ADC中,
∠BHD=∠C∠BDH=∠ADCBD=AD,
∴△BDH≌△ADC(AAS),
∴HD=CD=2,
故点H到BC的距离是2.
故答案为2.
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定,含30°角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质,证明△BDH≌△ADC是解题的关键.
16.(3分)(2019春•平阴县期末)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOE=120°,其中正确结论有 ①②③⑤ (填序号).
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,从而证出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE;
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,由∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△CQB≌△CPA(ASA),再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由∠PQC=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知②正确;
③根据②△CQB≌△CPA(ASA),可知③正确;
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,可知∠DQE≠∠CDE,可知④错误;
⑤由BC∥DE,得到∠CBE=∠BED,由∠CBE=∠DAE,得到∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°,同理可得出∠AOE=120°,进而得出∠DOE=60°,故⑤正确.
【解答】解:∵等边△ABC和等边△CDE,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,
在△ACD与△BCE中,AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,①正确,
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠DAC,
又∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,
∴∠ACP=∠BCQ,
在△CQB和△CPA中,∠CBE=∠DACAC=BC∠BCQ=∠ACP,
∴△CQB≌△CPA(ASA),
∴CP=CQ,
又∵∠PCQ=60°,
∴△PCQ为等边三角形,
∴∠PQC=∠DCE=60°,
∴PQ∥AE,②正确,
∵△CQB≌△CPA,
∴AP=BQ③正确,
∵AD=BE,AP=BQ,
∴AD﹣AP=BE﹣BQ,
即DP=QE,
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,
∴∠DQE≠∠CDE,故④错误;
∵BC∥DE,
∴∠CBE=∠BED,
∵∠CBE=∠DAE,
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°,
同理可得出∠AOE=120°,
∴∠DOE=60°,故⑤正确;
∴正确结论有:①②③⑤;
故答案为:①②③⑤.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.
三.解答题(共6小题,满分52分)
17.(8分)(2020秋•集贤县期中)如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE.
求证:BC=BE.
【分析】根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE,∴CD=EF,再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF,∴BD=BF,∴BD﹣CD=BF﹣EF,即BC=BE.
【解答】证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD=AF,AC=AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴CD=EF.
∵AD=AF,AB=AB,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.
∴BD﹣CD=BF﹣EF.
即BC=BE.
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.利用三角形全等提供的条件证明三角形全等是常见的方法,注意掌握.
18.(8分)(2020秋•朝阳区校级期中)我们曾学过定理“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”,其逆命题也是正确的,即在直角三角形中,如果一直角边等于斜边的一半,那么该直角边所对的角为30°.”
(1)请你证明上述命题,写出过程;
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=12AB,求证:∠B=30°.
证明:
(2)解决下面的问题:如图1,A、B为格点,以A为圆心,AB长为半径画弧交直线l于点C,则∠CAB= 30 °;
(3)如图2,D、F为格点,按要求在网格中作图(保留作图痕迹).作Rt△DEF,使点E在直线上,并且∠DEF=90°,∠EDF=15°.
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的判定与性质即可得出结论;
(2)作CF⊥AB于F.由作图可知:AC=AB=2CF,即可推出∠CAB=30°.
(3)以D为圆心,DF长为半径画弧交直线a于点G,连接FG交直线l于E,连接DE,△DEF即为所求.
【解答】(1)证明:作Rt△ABC的斜边上的中线CD,如图所示:
则CD=12AB=AD,
∵AC=12AB,
∴AC=CD=AD,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠A=60°
∴∠B=90°﹣∠A=30°;
(2)解:作CF⊥AB于F,如图1所示:
由作图可知:AC=AB=2CF,
∴∠CAB=30°,
故答案为:30;
(3)解:如图2所示,
△DEF即为所求.
【点睛】本题考查了命题与定理、含30°角的直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及作图等知识;熟练掌握含30°角的直角三角形的判定与性质是解题的关键.
19.(8分)(2019秋•百色期末)如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.
【分析】(1)连接BD,CD,由AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,根据角平分线的性质,即可得DE=DF,又由DG⊥BC且平分BC,根据线段垂直平分线的性质,可得BD=CD,继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD,则可得BE=CF;
(2)首先证得△AED≌△AFD,即可得AE=AF,然后设BE=x,由AB﹣BE=AC+CF,即可得方程5﹣x=3+x,解方程即可求得答案.
【解答】(1)证明:连接BD,CD,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,
∵DG⊥BC且平分BC,
∴BD=CD,
在Rt△BED与Rt△CFD中,
BD=CDDE=DF,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴BE=CF;
(2)解:在△AED和△AFD中,
∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FADAD=AD,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,
设BE=x,则CF=x,
∵AB=5,AC=3,AE=AB﹣BE,AF=AC+CF,
∴5﹣x=3+x,
解得:x=1,
∴BE=1,AE=AB﹣BE=5﹣1=4.
【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,利用方程思想与数形结合思想求解.
20.(8分)(2020春•叙州区期末)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,E为BC边上一点,以E为顶点作∠AEF,∠AEF的一边交AC于点F,使∠AEF=∠B.
(1)如果∠ABC=40°,则∠BAC= 100° ;
(2)判断∠BAE与∠CEF的大小关系,并说明理由;
(3)当△AEF为直角三角形时,求∠AEF与∠BAE的数量关系.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质解答即可;
(2)根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE=∠AEC=∠AEF+∠FEC,再由条件∠AEF=∠B可得∠BAE=∠FEC;
(3)分别根据当∠AFE=90°时,以及当∠EAF=90°时利用外角的性质得出即可.
【解答】解:(1)∵在△ABC中,∠ABC=∠ACB,∠ABC=40°,
∴∠ACB=40°,
∴∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°,
故答案为:100°.
(2)∠BAE=∠FEC;
理由如下:
∵∠B+∠BAE=∠AEC,∠AEF=∠B,
∴∠BAE=∠FEC;
(3)如图1,当∠AFE=90°时,
∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF,
∠B=∠AEF=∠C,
∴∠BAE=∠CEF,
∵∠C+∠CEF=90°,
∴∠BAE+∠AEF=90°,
即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余;
如图2,当∠EAF=90°时,
∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠1,
∠B=∠AEF=∠C,
∴∠BAE=∠1,
∵∠C+∠1+∠AEF=90°,
∴2∠AEF+∠1=90°,
即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余.
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及外角的性质,此题难度适中,注意掌握分类讨论思想的应用.
21.(10分)(2020秋•大武口区期末)如图所示,已知△ABC中,AB=AC=BC=10厘米,M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度是1厘米/秒的速度,点N的速度是2厘米/秒,当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.
(1)M、N同时运动几秒后,M、N两点重合?
(2)M、N同时运动几秒后,可得等边三角形△AMN?
(3)M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰△AMN,如果存在,请求出此时M、N运动的时间?
【分析】(1)首先设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,表示出M,N的运动路程,N的运动路程比M的运动路程多10cm,列出方程求解即可;
(2)根据题意设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,然后表示出AM,AN的长,由于∠A等于60°,所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形;
(3)首先假设△AMN是等腰三角形,可证出△ACM≌△ABN,可得CM=BN,设出运动时间,表示出CM,NB的长,列出方程,可解出未知数的值.
【解答】解:(1)设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,
x×1+10=2x,
解得:x=10;
(2)设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,如图①,
AM=t×1=t,AN=AB﹣BN=10﹣2t,
∵三角形△AMN是等边三角形,
∴t=10﹣2t,
解得t=103,
∴点M、N运动103秒后,可得到等边三角形△AMN.
(3)当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,
由(1)知10秒时M、N两点重合,恰好在C处,
如图②,假设△AMN是等腰三角形,
∴AN=AM,
∴∠AMN=∠ANM,
∴∠AMC=∠ANB,
∵AB=BC=AC,
∴△ACB是等边三角形,
∴∠C=∠B,
在△ACM和△ABN中,
∵∠C=∠B∠AMC=∠ANBAC=AB,
∴△ACM≌△ABN(AAS),
∴CM=BN,
设当点M、N在BC边上运动时,M、N运动的时间y秒时,△AMN是等腰三角形,
∴CM=y﹣10,NB=30﹣2y,CM=NB,
y﹣10=30﹣2y,
解得:y=403.故假设成立.
∴当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰△AMN,此时M、N运动的时间为403秒.
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及判定,关键是根据题意设出未知数,理清线段之间的数量关系.
22.(10分)(2019春•洛龙区期中)如图1,Rt△ABC中,AC⊥CB,AC=15,AB=25,点D为斜边上动点.
(1)如图2,过点D作DE⊥AB交CB于点E,连接AE,当AE平分∠CAB时,求CE;
(2)如图3,在点D的运动过程中,连接CD,若△ACD为等腰三角形,求AD.
【分析】(1)由△ACE≌△ADE(AAS),推出CE=DE,AC=AD=15,设CE=x,则BE=20﹣x,BD=25﹣15=10,在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题;
(2)分两种情形分别求解即可解决问题;
【解答】解:(1)∵AC⊥CB,AC=15,AB=25
∴BC=20,
∵AE平分∠CAB,
∴∠EAC=∠EAD,
∵AC⊥CB,DE⊥AB,
∴∠EDA=∠ECA=90°,
∵AE=AE,
∴△ACE≌△ADE(AAS),
∴CE=DE,AC=AD=15,
设CE=x,则BE=20﹣x,BD=25﹣15=10
在Rt△BED中
∴x2+102=(20﹣x)2,
∴x=7.5,
∴CE=7.5.
(2)①当AD=AC时,△ACD为等腰三角形
∵AC=15,
∴AD=AC=15.
②当CD=AD时,△ACD为等腰三角形
∵CD=AD,
∴∠DCA=∠CAD,
∵∠CAB+∠B=90°,
∠DCA+∠BCD=90°,
∴∠B=∠BCD,
∴BD=CD,
∴CD=BD=DA=12.5,
③当CD=AC时,△ACD为等腰三角形,
如图1中,作CH⊥BA于点H,
则12•AB•CH=12•AC•BC,
∵AC=15,BC=20,AB=25,
∴CH=12,
在Rt△ACH中,AH=AC2-CH2=9,
∵CD=AC,CH⊥BA,
∴DH=HA=9,
∴AD=18.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用,等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.
1.(3分)(2020秋•无锡期末)在等腰三角形中,有一个角是50°,它的一条腰上的高与底边的夹角是( )
A.25°B.25°或40°C.25°或 35°D.40°
【分析】根据题意先画出图形,再分两种情况:50°为底角和50°为顶角求出答案.
【解答】解:当50°为底角时,
∵∠B=∠ACB=50°,
∴∠BCD=90°﹣50°=40°;
当50°为顶角时,
∵∠A=50°,
∴∠B=∠ACB=65°,
∴∠BCD=90°﹣65°=25°.
故选:B.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理,是基础知识要熟练掌握.注意分类讨论思想的应用.
2.(3分)(2020秋•萧山区期中)在下列条件:①∠A+∠B=∠C,②∠A:∠B:∠C=5:3:2,③∠A=90°﹣∠B,④∠A=2∠B=3∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析,即可得到答案.
【解答】解:①∵∠A+∠B=∠C,
∴2∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形;
②∵∠A:∠B:∠C=5:3:2,
设∠A=5x,则∠B=3x,∠C=2x,
∴5x+2x+3x=180,
解得:x=18°,
∴∠5=18°×5=90°,
∴△ABC是直角三角形;
③∵∠A=90°﹣∠B,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠C=180°﹣90°=90°,
∴△ABC是直角三角形;
④∵3∠C=2∠B=∠A,
∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A=180°,
∴∠A=(108011)°,
∴△ABC为钝角三角形.
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定,三角形内角和定理,掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键.
3.(3分)(2020秋•越城区期中)用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”,应先假设这个三角形中( )
A.至少有两个角是直角
B.没有直角
C.至少有一个角是直角
D.有一个角是钝角,一个角是直角
【分析】熟记反证法的步骤,然后进行判断.
【解答】解:用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”,应先假设这个三角形中有两个角是直角.
故选:A.
【点睛】此题考查反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:
(1)假设结论不成立;
(2)从假设出发推出矛盾;
(3)假设不成立,则结论成立.
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
4.(3分)(2020春•锦江区期末)如图是5×5的正方形方格图,点A,B在小方格的顶点上,要在小方格的顶点确定一点C,连接AC和BC,使△ABC是等腰三角形,则方格图中满足条件的点C的个数是( )
A.4B.5C.6D.7
【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可.
【解答】解:如图所示:
C在C1,C2,C3,C4位置上时,AC=BC;
C在C5,C6位置上时,AB=BC;
即满足点C的个数是6,
故选:C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,能找出符合的所有点是解此题的关键,注意:有两边相等的三角形是等腰三角形.
5.(3分)(2020秋•无锡期末)下列条件中,能判断两个直角三角形全等的是( )
A.有两条边分别相等
B.有一个锐角和一条边相等
C.有一条斜边相等
D.有一直角边和斜边上的高分别相等
【分析】根据全等三角形的判定定理:AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析,然后即可得出答案.
【解答】解:A、两边分别相等,但是不一定是对应边,不能判定两直角三角形全等,故此选项不符合题意;
B、一条边和一锐角对应相等,不能判定两直角三角形全等,故此选项不符合题意;
C、有一条斜边相等,两直角边不一定对应相等,不能判定两直角三角形全等,故此选项不符合题意;
D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等,故此选项符合题意;
故选:D.
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定,熟练掌握判定定理是解题关键.
6.(3分)(2020秋•盘龙区期末)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,以相同的长(大于12AB)为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD.已知△CDE的面积比△CDB的面积小5,则△ADE的面积为( )
A.5B.4C.3D.2
【分析】根据题意得到MN是线段AB的垂直平分线,进而得到点D是AB的中点,根据三角形的面积公式计算,得到答案.
【解答】解:由尺规作图可知,MN是线段AB的垂直平分线,
∴点D是AB的中点,
∴S△ADC=S△BDC,
∵S△BDC﹣S△CDE=5,
∴S△ADC﹣S△CDE=5,即△ADE的面积为5,
故选:A.
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
7.(3分)(2020秋•肇州县期末)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DA=DE,DB=BE=EC.若∠ABC=130°,则∠C的度数为( )
A.20°B.22.5°C.25°D.30°
【分析】可设∠C=x,根据等腰三角形的性质可得∠EBC=x,则∠DBE=130°﹣x,根据等腰三角形的性质可得∠EDB=25°+12x,再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠A=12.5°+14x,再根据三角形内角和为180°,列出方程即可求解.
【解答】解:设∠C=x,根据等腰三角形的性质得∠EBC=x,则∠DBE=130°﹣x,根据等腰三角形的性质得∠EDB=25°+12x,根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A=12.5°+14x,
依题意有12.5°+14x+x+130°=180°,
解得x=30°.
故选:D.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形外角的性质,三角形内角和定理,得到方程是解本题的关键.
8.(3分)如图,△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】过点P作PF⊥AC于F,PG⊥BC于G,PH⊥AB于H,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF=PG=PH,从而得解.
【解答】解:如图,过点P作PF⊥AC于F,PG⊥BC于G,PH⊥AB于H,
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P,
∴PF=PG=3,PG=PH,
∴PF=PG=PH=3.
故选:C.
【点睛】本题考查了角平分线的性质,掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键.
9.(3分)(2020春•兰州期末)如图,在△ABC中,AB=AC=10,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的角平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长是( )
A.2B.4C.5D.52
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,求出∠DAE=∠EAB=30°,根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°,从而得到∠DAE=∠F,根据等角对等边求出AD=DF,求出∠B=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答.
【解答】解:∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°=60°,
∵AE是∠BAD的角平分线,
∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=12×60°=30°,
∵DF∥AB,
∴∠F=∠BAE=30°,
∴∠DAE=∠F=30°,
∴AD=DF,
∵∠B=90°﹣60°=30°,
∴AD=12AB=12×10=5,
∴DF=5,
故选:C.
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键.
10.(3分)(2020春•牡丹区期末)如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1B2,△A2B2B3,△A3B3B4,…均为等边三角形.若OB1=1,则△A8B8B9的边长为( )
A.64B.128C.132D.256
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出B1A1∥A2B2∥A3B3,以及a2=2a1,得出a3=4a1=4,a4=8a1=8,a5=16a1…进而得出答案.
【解答】解:∵△A1B1B2是等边三角形,
∴∠A1B1B2=∠A1B2O=60°,A1B1=A1B2,
∵∠O=30°,
∴∠A2A1B2=∠O+∠A1B2O=90°,
∵∠A1B1B2=∠O+∠OA1B1,
∴∠O=∠OA1B1=30°,
∴OB1=A1B1=A1B2=1,
在Rt△A2A1B2中,∵∠A1A2B2=30°
∴A2B2=2A1B2=2,
同法可得A3B3=22,A4B4=23,…,AnBn=2n﹣1,
∴△A8B8B9的边长=27=128,
故选:B.
【点睛】本题考查等边三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.(3分)(2020秋•顺义区期末)命题“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”,它的逆命题是 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 .
【分析】将命题的条件和结论相互转换,可得到互逆命题.
【解答】解:逆命题是:线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等,
故答案为线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.
【点睛】本题考查命题与证明,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题.
12.(3分)(2019春•罗湖区期中)下列语句:①有一边对应相等的两个直角三角形全等;②一般三角形具有的性质,直角三角形都具有;③有两边相等的两直角三角形全等;④两直角三角形的斜边为5cm,一条直角边都为3cm,则这两个直角三角形必全等.其中正确的有 2 个.
【分析】根据直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理HL、SSS、SAS、ASA、AAS等作出判定即可.
【解答】解:①直角三角形两直角对应相等,有一边对应相等的两个直角三角形只具备一边与一角对应相等,所以有一边对应相等的两个直角三角形不一定全等;
②直角三角形是特殊的三角形,所以一般三角形具有的性质,直角三角形都具有;
③如果一个直角三角形的两直角边与另一个直角三角形的一条直角边与斜边分别相等,那么这两个直角三角形不全等,所以有两边相等的两直角三角形不一定全等;
④两直角三角形的斜边为5cm,一条直角边都为3cm,根据HL可得这两个直角三角形必全等.
所以正确的结论是②④.
故答案为2.
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定.直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判定方法都适合它,同时,直角三角形又是特殊的三角形,有它的特殊性,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.
13.(3分)(2020秋•南关区校级期末)如图,△PBC的面积为4cm2,AP垂直∠B的平分线BP于点P,则△ABC的面积为 8 cm2.
【分析】延长AP交BC于点Q,则由条件可知S△ABP=S△BQP,S△APC=S△PQC,则阴影部分面积为△ABC的一半,可得出答案.
【解答】解:如图,延长AP交BC于点Q,
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P,
∴AP=QP,
∴S△ABP=S△BQP,S△APC=S△PQC,
∴S△ABC=2S阴影=8(cm2),
故答案为:8.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质,垂直平分线的定义及三角形的面积,由条件得出阴影部分面积为△ABC的一半是解题的关键.
14.(3分)(2020春•浦东新区期末)如图,在△ABC中,AB=6,AC=9,BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线,MN经过点O,且MN∥BC,MN分别交AB、AC于点M、N,则△AMN的周长是 15 .
【分析】由在△ABC中,∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O,过点O作MN∥BC,易证得△BOM与△CON是等腰三角形,继而可得△AMN的周长等于AB+AC.
【解答】解:∵在△ABC中,∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠BCO,
∵MN∥BC,
∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB,
∴∠ABO=∠MOB,∠ACO=∠NOC,
∴BM=OM,CN=ON,
∴△AMN的周长是:AM+NM+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=9+6=15.
故答案为:15.
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质,角平分线的性质,平行线的判定,三角形周长的求法,等量代换等知识点.
15.(3分)(2020秋•沙河口区期末)如图,△ABC中,∠ABC=45°,高AD和BE相交于点H,∠CAD=30°,若AC=4,则点H到BC的距离是 2 .
【分析】根据含0°角的直角三角形的性质可求解CD的长,再利用AAS证明△BDH≌△ADC,可得HD=CD,进而求解.
【解答】解:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠HBD+∠BHD=90°,
∵∠CAD=30°,AC=4,
∴CD=12AC=2,
∵BE⊥AC,
∴∠HBD+∠C=90°,
∴∠BHD=∠C,
∵∠ABD=45°,
∴∠BAD=45°,
∴BD=AD,
在△BDH和△ADC中,
∠BHD=∠C∠BDH=∠ADCBD=AD,
∴△BDH≌△ADC(AAS),
∴HD=CD=2,
故点H到BC的距离是2.
故答案为2.
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定,含30°角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质,证明△BDH≌△ADC是解题的关键.
16.(3分)(2019春•平阴县期末)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOE=120°,其中正确结论有 ①②③⑤ (填序号).
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,从而证出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE;
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,由∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△CQB≌△CPA(ASA),再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由∠PQC=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知②正确;
③根据②△CQB≌△CPA(ASA),可知③正确;
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,可知∠DQE≠∠CDE,可知④错误;
⑤由BC∥DE,得到∠CBE=∠BED,由∠CBE=∠DAE,得到∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°,同理可得出∠AOE=120°,进而得出∠DOE=60°,故⑤正确.
【解答】解:∵等边△ABC和等边△CDE,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,
在△ACD与△BCE中,AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,①正确,
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠DAC,
又∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,
∴∠ACP=∠BCQ,
在△CQB和△CPA中,∠CBE=∠DACAC=BC∠BCQ=∠ACP,
∴△CQB≌△CPA(ASA),
∴CP=CQ,
又∵∠PCQ=60°,
∴△PCQ为等边三角形,
∴∠PQC=∠DCE=60°,
∴PQ∥AE,②正确,
∵△CQB≌△CPA,
∴AP=BQ③正确,
∵AD=BE,AP=BQ,
∴AD﹣AP=BE﹣BQ,
即DP=QE,
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,
∴∠DQE≠∠CDE,故④错误;
∵BC∥DE,
∴∠CBE=∠BED,
∵∠CBE=∠DAE,
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°,
同理可得出∠AOE=120°,
∴∠DOE=60°,故⑤正确;
∴正确结论有:①②③⑤;
故答案为:①②③⑤.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.
三.解答题(共6小题,满分52分)
17.(8分)(2020秋•集贤县期中)如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE.
求证:BC=BE.
【分析】根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE,∴CD=EF,再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF,∴BD=BF,∴BD﹣CD=BF﹣EF,即BC=BE.
【解答】证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD=AF,AC=AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴CD=EF.
∵AD=AF,AB=AB,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.
∴BD﹣CD=BF﹣EF.
即BC=BE.
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.利用三角形全等提供的条件证明三角形全等是常见的方法,注意掌握.
18.(8分)(2020秋•朝阳区校级期中)我们曾学过定理“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”,其逆命题也是正确的,即在直角三角形中,如果一直角边等于斜边的一半,那么该直角边所对的角为30°.”
(1)请你证明上述命题,写出过程;
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=12AB,求证:∠B=30°.
证明:
(2)解决下面的问题:如图1,A、B为格点,以A为圆心,AB长为半径画弧交直线l于点C,则∠CAB= 30 °;
(3)如图2,D、F为格点,按要求在网格中作图(保留作图痕迹).作Rt△DEF,使点E在直线上,并且∠DEF=90°,∠EDF=15°.
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的判定与性质即可得出结论;
(2)作CF⊥AB于F.由作图可知:AC=AB=2CF,即可推出∠CAB=30°.
(3)以D为圆心,DF长为半径画弧交直线a于点G,连接FG交直线l于E,连接DE,△DEF即为所求.
【解答】(1)证明:作Rt△ABC的斜边上的中线CD,如图所示:
则CD=12AB=AD,
∵AC=12AB,
∴AC=CD=AD,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠A=60°
∴∠B=90°﹣∠A=30°;
(2)解:作CF⊥AB于F,如图1所示:
由作图可知:AC=AB=2CF,
∴∠CAB=30°,
故答案为:30;
(3)解:如图2所示,
△DEF即为所求.
【点睛】本题考查了命题与定理、含30°角的直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及作图等知识;熟练掌握含30°角的直角三角形的判定与性质是解题的关键.
19.(8分)(2019秋•百色期末)如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.
【分析】(1)连接BD,CD,由AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,根据角平分线的性质,即可得DE=DF,又由DG⊥BC且平分BC,根据线段垂直平分线的性质,可得BD=CD,继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD,则可得BE=CF;
(2)首先证得△AED≌△AFD,即可得AE=AF,然后设BE=x,由AB﹣BE=AC+CF,即可得方程5﹣x=3+x,解方程即可求得答案.
【解答】(1)证明:连接BD,CD,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,
∵DG⊥BC且平分BC,
∴BD=CD,
在Rt△BED与Rt△CFD中,
BD=CDDE=DF,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴BE=CF;
(2)解:在△AED和△AFD中,
∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FADAD=AD,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,
设BE=x,则CF=x,
∵AB=5,AC=3,AE=AB﹣BE,AF=AC+CF,
∴5﹣x=3+x,
解得:x=1,
∴BE=1,AE=AB﹣BE=5﹣1=4.
【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,利用方程思想与数形结合思想求解.
20.(8分)(2020春•叙州区期末)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,E为BC边上一点,以E为顶点作∠AEF,∠AEF的一边交AC于点F,使∠AEF=∠B.
(1)如果∠ABC=40°,则∠BAC= 100° ;
(2)判断∠BAE与∠CEF的大小关系,并说明理由;
(3)当△AEF为直角三角形时,求∠AEF与∠BAE的数量关系.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质解答即可;
(2)根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE=∠AEC=∠AEF+∠FEC,再由条件∠AEF=∠B可得∠BAE=∠FEC;
(3)分别根据当∠AFE=90°时,以及当∠EAF=90°时利用外角的性质得出即可.
【解答】解:(1)∵在△ABC中,∠ABC=∠ACB,∠ABC=40°,
∴∠ACB=40°,
∴∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°,
故答案为:100°.
(2)∠BAE=∠FEC;
理由如下:
∵∠B+∠BAE=∠AEC,∠AEF=∠B,
∴∠BAE=∠FEC;
(3)如图1,当∠AFE=90°时,
∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF,
∠B=∠AEF=∠C,
∴∠BAE=∠CEF,
∵∠C+∠CEF=90°,
∴∠BAE+∠AEF=90°,
即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余;
如图2,当∠EAF=90°时,
∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠1,
∠B=∠AEF=∠C,
∴∠BAE=∠1,
∵∠C+∠1+∠AEF=90°,
∴2∠AEF+∠1=90°,
即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余.
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及外角的性质,此题难度适中,注意掌握分类讨论思想的应用.
21.(10分)(2020秋•大武口区期末)如图所示,已知△ABC中,AB=AC=BC=10厘米,M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度是1厘米/秒的速度,点N的速度是2厘米/秒,当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.
(1)M、N同时运动几秒后,M、N两点重合?
(2)M、N同时运动几秒后,可得等边三角形△AMN?
(3)M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰△AMN,如果存在,请求出此时M、N运动的时间?
【分析】(1)首先设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,表示出M,N的运动路程,N的运动路程比M的运动路程多10cm,列出方程求解即可;
(2)根据题意设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,然后表示出AM,AN的长,由于∠A等于60°,所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形;
(3)首先假设△AMN是等腰三角形,可证出△ACM≌△ABN,可得CM=BN,设出运动时间,表示出CM,NB的长,列出方程,可解出未知数的值.
【解答】解:(1)设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,
x×1+10=2x,
解得:x=10;
(2)设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,如图①,
AM=t×1=t,AN=AB﹣BN=10﹣2t,
∵三角形△AMN是等边三角形,
∴t=10﹣2t,
解得t=103,
∴点M、N运动103秒后,可得到等边三角形△AMN.
(3)当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,
由(1)知10秒时M、N两点重合,恰好在C处,
如图②,假设△AMN是等腰三角形,
∴AN=AM,
∴∠AMN=∠ANM,
∴∠AMC=∠ANB,
∵AB=BC=AC,
∴△ACB是等边三角形,
∴∠C=∠B,
在△ACM和△ABN中,
∵∠C=∠B∠AMC=∠ANBAC=AB,
∴△ACM≌△ABN(AAS),
∴CM=BN,
设当点M、N在BC边上运动时,M、N运动的时间y秒时,△AMN是等腰三角形,
∴CM=y﹣10,NB=30﹣2y,CM=NB,
y﹣10=30﹣2y,
解得:y=403.故假设成立.
∴当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰△AMN,此时M、N运动的时间为403秒.
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及判定,关键是根据题意设出未知数,理清线段之间的数量关系.
22.(10分)(2019春•洛龙区期中)如图1,Rt△ABC中,AC⊥CB,AC=15,AB=25,点D为斜边上动点.
(1)如图2,过点D作DE⊥AB交CB于点E,连接AE,当AE平分∠CAB时,求CE;
(2)如图3,在点D的运动过程中,连接CD,若△ACD为等腰三角形,求AD.
【分析】(1)由△ACE≌△ADE(AAS),推出CE=DE,AC=AD=15,设CE=x,则BE=20﹣x,BD=25﹣15=10,在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题;
(2)分两种情形分别求解即可解决问题;
【解答】解:(1)∵AC⊥CB,AC=15,AB=25
∴BC=20,
∵AE平分∠CAB,
∴∠EAC=∠EAD,
∵AC⊥CB,DE⊥AB,
∴∠EDA=∠ECA=90°,
∵AE=AE,
∴△ACE≌△ADE(AAS),
∴CE=DE,AC=AD=15,
设CE=x,则BE=20﹣x,BD=25﹣15=10
在Rt△BED中
∴x2+102=(20﹣x)2,
∴x=7.5,
∴CE=7.5.
(2)①当AD=AC时,△ACD为等腰三角形
∵AC=15,
∴AD=AC=15.
②当CD=AD时,△ACD为等腰三角形
∵CD=AD,
∴∠DCA=∠CAD,
∵∠CAB+∠B=90°,
∠DCA+∠BCD=90°,
∴∠B=∠BCD,
∴BD=CD,
∴CD=BD=DA=12.5,
③当CD=AC时,△ACD为等腰三角形,
如图1中,作CH⊥BA于点H,
则12•AB•CH=12•AC•BC,
∵AC=15,BC=20,AB=25,
∴CH=12,
在Rt△ACH中,AH=AC2-CH2=9,
∵CD=AC,CH⊥BA,
∴DH=HA=9,
∴AD=18.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用,等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.