试卷 山西省晋中市祁县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案）

山西省晋中市祁县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列几何体中，三种视图完全相同的是（    ）

A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．五棱柱

2．下列一元二次方程没有实数根的是（    ）

A． B． C． D．

3．在中，，则的值是（    ）

A． B．2 C． D．

4．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（    ）

A． B． C． D．

5．反比例函数图象上有三个点，其中，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

6．同一坐标系中，反比例函数与二次函数的图象可能为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦．

A．2 B．3 C．4 D．5

8．如图，已知，那么下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

10．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）其中正确结论的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．把二次函数的图象向左平移1个单位后经过点，则平移后所得到的抛物线表达式是________．

12．顶点的坐标分别为，以坐标原点O为位似中心，画出放大的，使得它与的位似比等于2∶1，则点C的对应点坐标为________．

13．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝32°，则∠AEO的度数____．

14．如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝6m，已知木箱高BE＝，斜坡角为30°，则木箱端点E距地面AC的高度EF为_____m．

15．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的对角线交于点D，双曲线y=(x＞0)经过C、D两点，双曲线y= (x＞0)经过点B，则平行四边形OABC的面积为________．

三、解答题

16．（1）计算：

（2）解方程：

17．如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．

（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于多少；

（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．

18．为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：

（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？

（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）

19．如图，以的一边为直径的半圆与其它两边，分别交于点D，E，．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

20．为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克．

（1）预计明年这种水果产量要达到亩产1440千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？

（2）某水果店从果农处直接以每千克30元批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出50千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？

21．阅读以下材料，并完成相应任务：

任务：

（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

依据1：____________________________________________．

依据2：____________________________________________．

（2）如图3，四边形内接于，为的直径，，，点D为的中点，求的长．

22．综合与实践﹣四边形旋转中的数学

“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．

任务一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．

（1）请直接写出CG的长是______．

（2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．

（3）当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．

任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG．“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系．

（4）如图5，当▱AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系．

23．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；

（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．A

【分析】

球无论从哪个方向看，得到的视图都是相同的，而其它几个几何体，可通过分别画出它们的三视图即可作出判断．

【详解】

解：球的三种视图都是圆形，

圆柱的三种视图分别是长方形、长方形、圆，

圆锥的三种视图分别是三角形、三角形、含圆心的圆，

五棱柱的三种视图分别是长方形（内含棱线）、长方形（内含棱线）、五边形，

因此三种视图完全相同的只有球，

故选：Ａ．

【点睛】

本题考查了三视图的概念以及对一些常见几何体的认识，要求学生能正确理解相关概念和了解相关几何体的特征，同时考查了学生对图形的感知能力和想象能力．

2．A

【分析】

先看方程是否是一般式，再利用判别式计算值，是否大于0即可．

【详解】

A、，△=1-4=-3<0，无实根，故选A

B、，△=1+4=5>0,有实根

C、，△=4+4=8>0，有实根

D、，△=4-4=0，有等根．

故选择：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程在一般式的情况下，会利用判别式识别方程是否有根是关键．

3．A

【分析】

根据勾股定理求出BC，根据正切的定义解答即可．

【详解】

解：由勾股定理得，，

则，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角B的对边b与邻边a的比叫做∠B的正切．

4．B

【分析】

本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．

【详解】

假设不规则图案面积为x，

由已知得：长方形面积为20，

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，

当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，

综上有：，解得．

故选：B．

【点睛】

本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．

5．D

【分析】

根据k>0判断出反比例函数的增减性，再根据其坐标特点解答即可．

【详解】

解：∵k>0，

∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，

又∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线上的两点，且，

∴0＜y3＜y2，

∵A（x1，y1）在第四象限，

∵y1＜0，

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．

6．D

【分析】

分k＞0和k＜0，结合两个函数的图象特征分类讨论即可．

【详解】

解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、 三象限，二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在原点的下方，四个选项都不符合；

当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、 四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在原点的上方，只有D选项符合，

故选：D．

【点睛】

本题考查反比例函数和二次函数的图象，熟练掌握两个函数的图象特征是解题的关键．

7．B

【分析】

根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．

【详解】

解：图中的弦有AE、AD、CD这3条

故选B

【点睛】

本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

8．B

【分析】

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．

【详解】

∵AD∥BE∥CF，

∴，，

故A、D、C错误，B正确，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．

9．C

【分析】

根据矩形的性质和三角形面积关系可证明S△DEM=S△BFM，即可求解．

【详解】

解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：

则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，

∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，

∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC，

∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF，

∵DE=CF=2，

∴S△DEM=S△MFB=×2×4=4，

∴S阴=4+4=8，

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形DEMQ=S四边形MPBF．

10．C

【分析】

由抛物线的对称轴为： 可得①不符合题；由抛物线的顶点为： 可得 把代入可得②符合题意；由抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，可得抛物线与x轴的另一个交点在点与之间，结合图像可得：当时，＜ 可得③符合题意；由抛物线的顶点坐标为，图像开口向下，当时，函数值最大，此时 当时， 可得④符合题意；从而可得答案．

【详解】

解：由抛物线的对称轴为：

故①不符合题；

由抛物线的顶点为：

故②符合题意；

抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，

抛物线与x轴的另一个交点在点与之间，

结合图像可得：当时，＜ 故③符合题意；

抛物线的顶点坐标为，图像开口向下，

当时，函数值最大，此时

当时，

故④符合题意；

故选：

【点睛】

本题考查的是抛物线的各项系数与代数式的值的关系，二次函数的图像与性质，掌握利用二次函数的图像与性质是解题的关键．

11．（或）

【分析】

根据平移规律得到新抛物线解析式为y=a（x+1）2，然后将点（0，2）代入列出方程求得a的值即可．

【详解】

解：把二次函数y=ax2的图象向左平移1个单位后得到新抛物线解析式为y=a（x+1）2，

将点（0，2）代入，得a（0+1）2=2，

解得：a=2．

所以该抛物线解析式是y=2（x+1）2，

故答案为：y=2（x+1）2（或）．

【点睛】

主要考查了函数图象的平移，二次函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．

12．或

【分析】

根据位似变换的性质计算即可.

【详解】

解：如图所示：

以坐标原点O为位似中心，放大的△A1B1C1，它与△ABC的位似比等于2: 1，

点C的坐标为(3，-4)

∴点C的对应点C1坐标为(3×2，-4×2) 或(-3×2，4×2)

即(6，-8)或(-6，8)，

故答案为: (6，-8)或(-6，8)．

【点睛】

本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．

13．48°；

【分析】

可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=32°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．

【详解】

∵，∠COD=32°，

∴∠BOC=∠EOD=∠COD=32°，

∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=84°．

又∵OA=OE，

∴∠AEO=∠OAE，

∴∠AEO=×（180°-84°）=48°．

故答案为48°．

【点睛】

此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

14．

【分析】

设AB、EF交于点D，在Rt△BDE中，利用三角函数即可求得DE的长，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质求得DF的长，继而即可求解．

【详解】

解：设AB、EF交于点D，

∵∠DAF＝30°，

∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，

∴∠BDE＝60°，

 在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，

∴，

解得，DE＝2（m），

∴BD＝1m，

∴AD＝AB﹣BD＝5（m），

在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，

∴DF＝AD＝（m），

∴EF＝DE+DF＝（m），

故答案为：．

【点睛】

本题考查了坡度、坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数求线段的长度．

15．6

【分析】

根据平行四边形的性质得到，设的坐标是，得到的坐标是，的纵坐标是求得，把代入得到的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．

【详解】

解：平行四边形的对角线交于点，

，

设的坐标是，

的坐标是，的纵坐标是

，

把代入得：，即的横坐标是：，

，

平行四边形的面积点的纵坐标，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了平形四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，根据点的坐标表示出的长度是解题的关键．

16．（1）0；（2）

【分析】

（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可；

（2）先整理原方程，再根据方程特点，可选用公式法或因式分解法解此一元二次方程．

【详解】

（1）解：原式；

（2）解：原方程可化为：，

方法一：这里，

∴．

∴，

∴．

方法二：，

∴或，

∴．

本题考查特殊角的三角函数值、解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次方程的解法步骤并灵活运用是解答的关键．

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据概率公式直接填即可；
（2）依据题意分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．

【详解】

解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，

所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；

（2）画树状图如右图：

结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，

其中能使小灯泡发光的情况有6种，

小灯泡发光的概率是．

【点睛】

本题考查的知识点是概率的求法，解题关键是熟记概率=所求情况数与总情况数之比．

18．（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）河宽为56.4m

【分析】

（1）第二个小组的数据无法计算出河宽；

（2）第一个小组：证明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．

第三个小组：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，根据CA+AB＝CB，构建方程求解即可．

【详解】

解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽；

（2）第一个小组的解法：

∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，

∴∠BHC＝∠BCH＝35°，

∴BC＝BH＝60m，

∴AH＝BH•sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．

第三个小组的解法：

设AH＝xm，则CA＝，AB＝，

∵CA+AB＝CB，

∴＝101，

解得x≈56.4．

答：河宽为56.4m．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的判定和性质等知识，弄清题意、列出方程是解答本题的关键．

19．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）利用圆周角定理得到∠CAE=∠BAE，∠AEB=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABC=∠C，然后根据等腰三角形的判定得到结论；

（2）证明△CAE∽△CBD，然后利用相似比可求出CD的长．

【详解】

（1）证明：连接

∵，

∴，

∵为直径，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）∵，

∴

∵

∴

∵，

∴，

∴，

∵

∴

∴

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质．

20．（1）20%；（2）销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元

【分析】

（1）设今年这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为，由题意得到关于x的一元二次方程，解得x的值，并根据问题的实际意义作出取舍即可；

（2）设每千克的平均销售价为元，由题意得关于m的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函数的性质解题．

【详解】

（1）设今年这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为，

由题意，得，

解得：，（舍去）．

答：平均每年的增长率为．

（2）设每千克的平均销售价为元，由题意得：

∴当时，．

答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．

【点睛】

本题考查一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，其中涉及配方法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

21．（1）同弧所对的圆周角相等，两角对应相等的两个三角形相似；（2）

【分析】

（1）根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题．

（2）首先证明，由托勒密定理，构建方程求出即可．

【详解】

解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．

“依据2”是两角对应相等的两个三角形相似．

故答案为：同弧所对的圆周角相等；两角对应相等的两个三角形相似．

（2）∵为的直径，

∴，

∵点D为的中点，

∴，

∴，

∴在中，

∵

∴在中，

∵

∴，

∴

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数，托勒密定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．

22．5

【分析】

（1）如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．在Rt△CGH中，利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图2中，作FP⊥AD于P．利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出CG、DF即可解决问题；

（3）成立．连接AG、AC．只要证明△ADF∽△ACG，可得 即可解决问题；

（4）在图4中，通过计算即可解决问题；

【详解】

（1）如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．

在Rt△CGH中，GH=DF=4，CH=DH=AE=3，

∴CG= =5．

故答案为：5．

（2）如图2中，作FP⊥AD于P．

在矩形AEGF中，∵AE=3，EG=4，

∴AG=5，BG=AB-AG=1，

在Rt△CBG中，CG= ，

由△APF∽△AEG，可得 ，

∴ ，

∴AP= ，PF= ，DP=AD﹣AP=8﹣，

在Rt△PDF中，DF= ，

∴DF=CG．

（3）成立．理由如下：连接AG、AC．

由旋转可知：∠DAF=∠CAG，

由勾股定理可知：AC=，AG=5，

∵ ，，

∴，

∴△ADF∽△ACG，

∴，

∴DF=CG．

（4）如图4中，延长EG交CD于H，作CK⊥GH于K．

由题意可知四边形FGHD是平行四边形，四边形AEGF是平行四边形，

∴DF=GH=4，DH=FG=AE=3，CH=3，∠CHG=∠D=60°，

在Rt△CHK中，HK=，CK=，GK=GH﹣KH=，

在Rt△CGK中，CG= ，

∴CG=DF．

在图5中，连接AG、AC．

同法可证：△ACG∽△ADF，可得：=，可得CG=DF．

【点睛】

本题考查了四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形是解题关键

23．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点E的坐标为（，），S△ABF＝；（3）存在，P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）

【分析】

（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），

∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；

（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．

【详解】

解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），

∴AC＝5，OC＝4，

∵AC＝BC＝5，

∴B（4，5），

把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：

，解得：，

∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直线AB的解析式为：y＝x+1，

∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，

∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），

∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，．．．8分

∴当t＝时，EF的最大值为，

∴点E的坐标为（，），

∴S△ABF＝＝＝；

（3）存在，

∵y＝x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴对称轴为直线x=1，

设P（1，m），分三种情况：

①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，

∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52=（1+1）2+m2，

解得：m=8，

∴P（1，8）；

②点A为直角顶点时，由勾股定理得：

∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52=（4﹣1）2+（m﹣52，

解得：m=﹣2，

∴P（1，﹣2）；

③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，

∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（1+1）2+m2=（4+1）2+52，

解得：m=6或m=﹣1，

∴P（1，6）或P（1，﹣1）

综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．