2021年湖北省黄冈市三校联考中考数学第一次摸底试卷

这是一份2021年湖北省黄冈市三校联考中考数学第一次摸底试卷，共26页。

A．0B．1C．﹣1D．不存在
2．（3分）下列把2034000记成科学记数法正确的是（ ）
A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4a2﹣2a2＝2B．3a+a＝3a2
C．4a6÷2a3＝2a2D．﹣2a•a＝﹣2a2
4．（3分）如图，下列图形从正面看是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
6．（3分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
7．（3分）菏泽市某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，初三一班一名同学连续一周的体温情况如下表所示：
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3，36.2B．36.2，36.3C．36.2，36.2D．36.2，36.1
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（满分24分，每小题3分）
9．（3分）在数轴上到原点的距离是5的点表示有理数是 ．
10．（3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（3分）把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是 ．
12．（3分）一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为 ．
13．（3分）已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2﹣10x+9＝0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是 ．
14．（3分）经过已知点M和N的圆的圆心的轨迹是 ．
15．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为 ．
16．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为 ．
三．解答题
17．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中m＝9．
18．（6分）解方程：．
19．（6分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且DE＝BF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
20．（7分）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
21．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．
（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
22．（7分）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8m，一楼到地平线的距离BC＝1m．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？（结果精确到0.1m）
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32）
23．（8分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD2＝CA•CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E，若BC＝12，CA＝4，求BE的长．
24．（11分）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
25．（13分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），点B为抛物线顶点，连接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD．
（1）①求这条抛物线的函数表达式；
②直接写出顶点B的坐标 ；
（2）直接写出△ABC的形状为 ；
（3）点P为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC的面积为S，点P的横坐标为m，当S有最大值时，求m的值；
（4）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当tanα＝2时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
2021年湖北省黄冈市三校联考中考数学第一次摸底试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，满分24分）
1．（3分）最大的负整数是（ ）
A．0B．1C．﹣1D．不存在
【分析】根据负整数的概念和有理数的大小进行判断．
【解答】解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．
故选：C．
2．（3分）下列把2034000记成科学记数法正确的是（ ）
A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4a2﹣2a2＝2B．3a+a＝3a2
C．4a6÷2a3＝2a2D．﹣2a•a＝﹣2a2
【分析】根据整式的除法，合并同类项的方法，以及单项式乘单项式的方法逐一判断即可．
【解答】解：∵4a2﹣2a2＝2a2，
∴选项A不正确；
∵3a+a＝4a，
∴选项B不正确；
∵4a6÷2a3＝2a3，
∴选项C不正确；
∵﹣2a•a＝﹣2a2，
∴选项D正确．
故选：D．
4．（3分）如图，下列图形从正面看是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别写出各选项中几何体的从正面看到的图形，进一步选择答案即可．
【解答】解：A、三棱柱从正面看到的是长方形，不合题意；
B、圆台从正面看到的是梯形，不合题意；
C、圆锥从正面看到的是三角形，符合题意；
D、长方体从正面看到的是长方形，不合题意．
故选：C．
5．（3分）如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而求出△ABC的面积．
【解答】解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），
∴位似比为：2：1，
∵△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为：4×4＝16．
故选：D．
6．（3分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB＝2∠C，得到答案．
【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
∴＝，
∴∠DOB＝2∠C＝50°．
故选：D．
7．（3分）菏泽市某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，初三一班一名同学连续一周的体温情况如下表所示：
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3，36.2B．36.2，36.3C．36.2，36.2D．36.2，36.1
【分析】根据中位数、众数的意义进行判断即可．
【解答】解：这周气温出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃，
将这一周的气温从小到大排列后，处在中间位置的是36.3℃，因此中位数是36.3℃，
故选：B．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即可判断出y＝（3＜x≤5），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．
【解答】解：（1）当点P在AB上移动时，
点D到直线PA的距离为：
y＝DA＝BC＝4（0≤x≤3）．
（2）如图1，当点P在BC上移动时，，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝，
∵∠PAB+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠PAB＝∠ADE，
在△PAB和△ADE中，
∴△PAB∽△ADE，
∴，
∴，
∴y＝（3＜x≤5）．
综上，可得
y关于x的函数大致图象是：
．
故选：D．
二．填空题（满分24分，每小题3分）
9．（3分）在数轴上到原点的距离是5的点表示有理数是 +5，﹣5 ．
【分析】先设出这个数为x，再根据数轴上各点到原点的距离进行解答即可．
【解答】解：设这个数是x，则|x|＝5，
解得x＝+5或﹣5．
故答案为：+5，﹣5．
10．（3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】解：∵式子有意义，
∴x+1≥0，x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
11．（3分）把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是 a（x﹣2）2 ．
【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
12．（3分）一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为 15° ．
【分析】根据题意和图形，利用平行线的性质，可以得到∠BAE的度数，再根据∠2＝30°，即可得到∠CAE的度数．
【解答】解：由图可知，
∠1＝45°，∠2＝30°，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠1＝45°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠2＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：15°．
13．（3分）已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2﹣10x+9＝0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是 4 ．
【分析】设这两个根分别是m，n，根据韦达定理可得m+n＝5，mn＝，代入到斜边长的平方＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn求解可得．
【解答】解：设这两个根分别是m，n，
根据题意可得m+n＝5，mn＝，
根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝25﹣9＝16，
则这个直角三角形的斜边长是4，
故答案为：4．
14．（3分）经过已知点M和N的圆的圆心的轨迹是 线段MN的垂直平分线 ．
【分析】要求作经过已知点M和点N的圆的圆心，则圆心应满足到点M和点N的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．
【解答】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点M和点N的距离相等，即经过已知点M和点N的圆的圆心的轨迹是线段MN的垂直平分线．
故答案为：线段MN的垂直平分线．
15．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为 12 ．
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以表示出点B的坐标，然后根据三角形的相似即可解答本题．
【解答】解：设点A的坐标为（a，），则点B的坐标为（，），
∵AB∥x轴，AC＝2CD，
∴∠BAC＝∠ODC，
∵∠ACB＝∠DCO，
∴△ACB∽△DCO，
∴，
∴，
∵OD＝a，则AB＝2a，
∴点B的横坐标是3a，
∴3a＝，
解得，k＝12，
故答案为：12．
16．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为 4或5或6或16 ．
【分析】分BP＝PQ、BP＝BQ和BQ＝PQ三种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝20，
∴BQ＝10，
①当BP＝PQ时，过P作PM⊥BQ，交BQ于点M，如图1所示：
则BM＝MQ＝5，且四边形ABMP为矩形，
∴AP＝BM＝5，
②当BQ＝BP时，则BP＝10，在Rt△ABP中，AB＝8，由勾股定理可求得AP＝6，
③当PQ＝BQ时，以点Q为圆心，BQ为半径作圆，于AD交于R、S两点，如图2所示：
过Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN＝SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN＝SN＝6，
则AR＝4，AS＝16，
即R、S为满足条件的P点的位置，
∴AP＝4或16，
综上可知AP为4或5或6或16，
故答案为：4或5或6或16．
三．解答题
17．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中m＝9．
【分析】根据分式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可．
【解答】解：原式＝×
＝，
当m＝9时，
原式＝＝．
18．（6分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边都乘以5x（x+2），得3（x+2）＝5x，
即3x+6＝5x，
解得x＝3，
检验：把x＝3代入5x（x+2）≠0，
所以，x＝3是原分式方程的解．
19．（6分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且DE＝BF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【分析】根据矩形的性质得出∠A＝∠C＝90°AD＝BC，求出Rt△ADE≌Rt△CBF，根据全等得出AE＝CF，根据矩形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，求出BE＝DF，BE∥DF，根据平行四边形的判定推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°AD＝BC，
在Rt△ADE和Rt△CBF中
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
∴AE＝CF，
∵矩形ABCD中AB＝CD，AB∥CD，
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
20．（7分）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，根据“购进A型风扇不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，
依题意，得：，
解得：71≤m≤75，
又∵m为正整数，
∴m可以取72、73、74、75，
∴小丹共有4种进货方案，方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台；方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台；方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台；方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台．
∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价，
∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，
最低费用为75×10+25×16＝1150元．
21．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．
（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
【分析】（1）先利用良好等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出合格等级的人数，然后分别计算出合格等级人数所占的百分比和优秀等级人数所占的百分比后补全两个统计图；
（2）用600乘以良好与优秀两个等级的百分比的和可估计成绩达到良好及以上等级的人数；
（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）调查的总人数为16÷40%＝40（人），
所以合格等级的人数为40﹣12﹣16﹣2＝10（人），
合格等级人数所占的百分比＝×100%＝25%；优秀等级人数所占的百分比＝×100%＝30%；
统计图为：
（2）600×（30%+40%）＝420，
所以估计成绩达到良好及以上等级的有420名；
（3）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为3，
＝所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率＝＝．
22．（7分）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8m，一楼到地平线的距离BC＝1m．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？（结果精确到0.1m）
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【分析】（1）根据题意可得∠BAD＝18°，再根据锐角三角函数即可求出结果；
（2）如图，过点C作CE⊥AD于点E，根据锐角三角函数求出CE的长，再进行比较即可得结论．
【解答】解：（1）由题意可知：∠BAD＝18°，
在Rt△ABD中，AB＝18≈≈5.6（m），
答：应在地面上距点B约5.6m远的A处开始斜坡的施工；
（2）能，理由如下：
如图，过点C作CE⊥AD于点E，
则∠ECD＝∠BAD＝18°，
在Rt△CED中，CE＝CD•cs18°≈2.8×0.95＝2.66（m），
∵2.66＞2.5，
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
23．（8分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD2＝CA•CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E，若BC＝12，CA＝4，求BE的长．
【分析】（1）易证△CDA∽△CBD，由相似三角形的对应边成比例来证得结论；
（2）连接OD，则∠ADO＝∠BAD，由圆周角定理得出∠BDA＝90°，∠CBD+∠BAD＝90°，由∠CDA＝∠CBD，得出∠CDA+∠ADO＝90°＝∠CDO，即可得出结论；
（3）证明△CDO∽△CBE，得出，由已知求出AB＝8，OA＝OD＝4，OC＝8，由勾股定理求得CD的长，代入比例式即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵∠CDA＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴，∴CD2＝CA•CB
（2）证明：连接OD，如图所示：
则∠ADO＝∠BAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠CBD+∠BAD＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA+∠ADO＝90°＝∠CDO，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线；
（3）解：∵BE是⊙O的切线，
∴∠CBE＝90°，
由（2）知∠CDO＝90°，
∴∠CDO＝∠CBE，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDO∽△CBE，
∴，
∵BC＝12，CA＝4，
∴AB＝8，
∴OA＝OD＝4，
∴OC＝CA+OA＝8，
在Rt△CDO中，CD＝＝＝4，
∴，
解得：BE＝．
24．（11分）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
【分析】（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论；
（2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；
（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，y＝（900﹣600﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+900x+220000，
解得0≤x≤60，
故x的取值范围为0≤x≤60且x为整数；
（2）x的取值范围为20≤x≤60．
理由如下：y＝﹣10x2+900x+220000＝﹣10（x﹣45）2+240250，
当y＝234000时，﹣10（x﹣45）2+240250＝234000，
（x﹣45）2＝625，x﹣45＝±25，
解得：x＝20或x＝70．
要使y≥234000，
得20≤x≤70；
∵0≤x≤60，
∴20≤x≤60；
（3）设捐款后每天的利润为w元，
则w＝﹣10x2+900x+220000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（900+a）x+220000﹣400a，
对称轴为，
∵0＜a≤100，
∴，
∵抛物线开口向下，
当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，
当x＝40时，w最大，
∴﹣16000+40（900+a）+220000﹣400a＝229200，
解得a＝30．
25．（13分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），点B为抛物线顶点，连接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD．
（1）①求这条抛物线的函数表达式；
②直接写出顶点B的坐标 （1，2） ；
（2）直接写出△ABC的形状为 等腰直角三角形 ；
（3）点P为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC的面积为S，点P的横坐标为m，当S有最大值时，求m的值；
（4）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当tanα＝2时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）①把点A（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+中，列方程组，解出即可求得结论；
②配方后可得顶点B的坐标；
（2）利用两点的距离分别计算AB2，AC2，BC2的值，根据勾股定理的逆定理可得：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，作辅助线，求出直线CD的解析式，用含m的代数式表示出点P和点N的坐标，计算PN的长，根据三角形面积公式可得：S关于m的函数关系式，并根据二次函数的性质写出S的最大值时m的值；
（4）分两种情况讨论：①当点Q在x轴下方时，如图3，先确定CF的解析式，利用抛物线与直线CF的解析式列方程，解出可得Q的横坐标；②当Q1在x轴下方时，如图4，同理可得结论．
【解答】解：（1）①把点A（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+；
②y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点B的坐标为（1，2）；
故答案为：（1，2）
（2）△ABC的形状是等腰直角三角形，理由是：
如图1，
∵A（﹣1，0），C（3，0），B（1，2），
∴AC2＝（3+1）2＝16，
AB2＝（1+1）2+22＝4+4＝8，
BC2＝（3﹣1）2+（2﹣0）2＝4+4＝8，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC的形状是等腰直角三角形；
（3）由题意得：P（m，﹣m2+m+），
∵A（﹣1，0），B（1，2），
设直线AB的解析式为：y＝kx+n（k≠0），
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∴D（0，1），
同理可得直线CD的解析式为：y＝﹣x+1，
如图2，过P作PN∥y轴，交CD于N，
∴N（m，﹣m+1），
∴PN＝﹣m2+m+﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+，
∴S＝，
＝，
＝﹣m2+2m+，
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，S有最大值；
（4）分两种情况：
①当Q在x轴的下方时，如图3，延长BA，CQ交于点F，过F作FG⊥y轴于G，
∵∠BCA+∠QCA＝∠α，且tanα＝2，
∴＝2，
∵BC＝AB＝2，
∴AF＝2，
∵∠FAG＝∠BAC＝45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG＝FG＝2，
∴F（﹣3，﹣2），
∵C（3，0），
同理得直线CF的解析式为：y＝x﹣1，
∵﹣x2+x+＝x﹣1，
3x2﹣4x﹣15＝0，
（x﹣3）（3x+5）＝0，
x1＝3，x2＝﹣，
∴Q的横坐标为﹣；
②当Q1在x轴的上方时，如图4，
∵∠QCA＝∠Q1CA，OD＝OH＝1，
由对称得：CQ1经过点D，
∴CQ1的解析式为：y＝﹣x+1，
∴﹣x2+x+＝﹣x+1，
解得：x1＝3，x2＝﹣，
∴Q1的横坐标为﹣，
综上，Q的横坐标为﹣或﹣．
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
体温（℃）
36.2
36.2
36.5
36.3
36.2
36.4
36.3
进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
A型
600
900
200
B型
800
1200
400
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
体温（℃）
36.2
36.2
36.5
36.3
36.2
36.4
36.3
进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
A型
600
900
200
B型
800
1200
400