2021年福建省福州市鼓楼区三牧中学中考数学适应性试卷（解析版）

这是一份2021年福建省福州市鼓楼区三牧中学中考数学适应性试卷（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）计算：（﹣3）0＝（ ）
A．1B．0C．3D．﹣
2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为（ ）
A．40×108B．4×109C．4×1010D．0.4×1010
3．（4分）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．＝±2B．（）﹣1＝﹣2
C．（﹣3a）3＝﹣9a3D．a6÷a3＝a3 （a≠0）
5．（4分）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，若∠AOB＝90°，∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．65°B．55°C．45°D．35°
6．（4分）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
7．（4分）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个B．5个
C．不足4个D．6个或6个以上
8．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．B．1C．D．
10．（4分）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．36B．48C．49D．64
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）.
11．（4分）要使有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）一组数据1，2，5，x，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为 ．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
14．（4分）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝ 度．
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为 ．
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算：﹣|1﹣|﹣（）﹣2﹣tan60°．
18．（8分）先化简，再求值：÷，其中x＝．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．
（1）求证：△DBC≌△ECB；
（2）求证：OB＝OC．
20．（8分）某校政治实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）政治实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；
（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）政治实践小组进行专题讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．
21．（10分）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
22．（10分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，且OA＝，将直线向上平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求k的值；
（2）连接OB、AB，求△OAB的面积．
23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是 ；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
24．（11分）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB＝BE；
（2）若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．
25．（13分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
2021年福建省福州市鼓楼区三牧中学中考数学适应性试卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）计算：（﹣3）0＝（ ）
A．1B．0C．3D．﹣
【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
【解答】解：（﹣3）0＝1．
故选：A．
2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为（ ）
A．40×108B．4×109C．4×1010D．0.4×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：40亿用科学记数法表示为：4×109，
故选：B．
3．（4分）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角．
故选：C．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．＝±2B．（）﹣1＝﹣2
C．（﹣3a）3＝﹣9a3D．a6÷a3＝a3 （a≠0）
【分析】根据二次根式的性质，负整数指数幂法则，幂的性质进行解答便可．
【解答】解：A.，选项错误；
B．原式＝2，选项错误；
C．原式＝﹣27a3，选项错误；
D．原式＝a6﹣3＝a3，选项正确．
故选：D．
5．（4分）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，若∠AOB＝90°，∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．65°B．55°C．45°D．35°
【分析】先根据∠1＝35°，l1∥l2求出∠OAB的度数，再由OB⊥OA即可得出答案．
【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝35°，
∴∠OAB＝∠1＝35°．
∵OA⊥OB，
∴∠2＝∠OBA＝90°﹣∠OAB＝55°．
故选：B．
6．（4分）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．
【解答】解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，
∵∠AOP＝55°，
∴∠POB＝45°，
故选：B．
7．（4分）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个B．5个
C．不足4个D．6个或6个以上
【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．
【解答】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，
∴红球的个数比白球个数多，
∴红球个数满足6个或6个以上，
故选：D．
8．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出△DEO与△BCD的面积的比．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O为线段BD的中点．
又∵点E是CD的中点，
∴线段OE为△DBC的中位线，
∴OE∥BC，OE＝BC，
∴△DOE∽△DBC，
∴＝（）2＝．
故选：B．
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．B．1C．D．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
10．（4分）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．36B．48C．49D．64
【分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝中求出k的值．
【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，
∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，PD＝PC，
∴PE＝PC＝PD，
设P（t，t），则PC＝t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，
∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，
解得t＝6，
∴P（6，6），
把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．
故选：A．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）.
11．（4分）要使有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2．
故答案为x≥2．
12．（4分）一组数据1，2，5，x，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为 4 ．
【分析】先根据众数的概念得出x的值，再将数据重新排列，从而根据中位数的概念可得答案．
【解答】解：∵数据1，2，5，x，3，6的众数为5，
∴x＝5，
则数据为1，2，3，5，5，6，
∴这组数据的中位数为＝4，
故答案为：4．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 1 ．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，求出c的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4c＝0，
解得c＝1．
故答案为1．
14．（4分）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝ 90 度．
【分析】作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，可得点E是旋转中心，即∠AEA1＝α＝90°．
【解答】解：如图，
连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E
∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，
∴点E是旋转中心，
∵∠AEA1＝90°
∴旋转角α＝90°
故答案为：90
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为 20 ．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE＝BE＝AB＝5，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE的周长为5×4＝20．
【解答】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，
∴DE＝BE＝AB＝5，
由折叠可得，CB＝BE，CD＝ED，
∴四边形BCDE的周长为5×4＝20，
故答案为：20．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为 2 ．
【分析】以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'延长PN′交BC于M，依据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再求得＝＝，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．
【解答】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，延长PN′交BC于M，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，
∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“＝”，
∵正方形边长为8，
∴AC＝AB＝，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC＝，
∵N为OA中点，
∴ON＝，
∴ON'＝CN'＝，
∴AN'＝，
∵BM＝6，
∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，
∴＝＝，
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，
∵∠N'CM＝45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM＝MN'＝2，
即PM﹣PN的最大值为2，
故答案为：2．
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算：﹣|1﹣|﹣（）﹣2﹣tan60°．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣（﹣1）﹣4﹣
＝2﹣+1﹣4﹣
＝﹣3．
18．（8分）先化简，再求值：÷，其中x＝．
【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝时，原式＝2．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．
（1）求证：△DBC≌△ECB；
（2）求证：OB＝OC．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ECB＝∠DBC根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DCB＝∠EBC根据等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ECB＝∠DBC，
在△DBC与△ECB中，
∴△DBC≌△ECB（SAS）；
（2）证明：由（1）知△DBC≌△ECB，
∴∠DCB＝∠EBC，
∴OB＝OC．
20．（8分）某校政治实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）政治实践小组在这次活动中，调查的学生共有 200 人；
（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）政治实践小组进行专题讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．
【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的学生共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）选择C的学生有：200×15%＝30（人），
选择A的学生有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）画树状图如下：
共有6个等可能的结果，甲、乙两个小组选择A、B话题发言的结果有2个，
∴两个小组选择A、B话题发言的概率为＝．
21．（10分）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
【分析】（1）设大货车、小货车各有m与n辆，根据题意列出方程组即可求出答案．
（2）根据题中给出的等量关系即可列出y与x的函数关系．
（3）先求出x的范围，然后根据y与x的函数关系式即可求出y的最小值．
【解答】解：（1）设大货车、小货车各有m与n辆，
由题意可知：，
解得：
答：大货车、小货车各有12与8辆
（2）设到A地的大货车有x辆，
则到A地的小货车有（10﹣x）辆，
到B地的大货车有（12﹣x）辆，
到B地的小货车有（x﹣2）辆，
∴y＝900x+500（10﹣x）+1000（12﹣x）+700（x﹣2）
＝100x+15600，
其中2≤x≤10．
（3）运往A地的物资共有[15x+10（10﹣x）]吨，
15x+10（10﹣x）≥140，
解得：x≥8，
∴8≤x≤10，
当x＝8时，
y有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400元，
答：总运费最小值为16400元．
22．（10分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，且OA＝，将直线向上平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求k的值；
（2）连接OB、AB，求△OAB的面积．
【分析】（1）由直线y＝x和OA＝即可求得A的坐标，然后代入双曲线y＝（x＞0）求得k的值；
（2）根据平移的性质即可求得直线BC的解析式，联立方程求得B点的坐标，然后根据S△AOB＝S梯形ABEF+S△AOF﹣S△BOE＝S梯形ABEF，求得即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，
∴A点的横坐标和纵坐标相等，
∵OA＝，
∴A（1，1），
∴k＝1×1＝1；
（2）根据平移的性质，将直线向上平移一个单位后得到y＝x+1，
∴直线BC的解析式为y＝x+1，
解得或，
∴B（，），
∵S△AOB＝S梯形ABEF+S△AOF﹣S△BOE＝S梯形ABEF，
∴S△AOB＝S梯形ABEF＝（1+）（﹣1）＝．
23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是 CD＝CE ；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
【分析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案；
（2）证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝＝13，知sin∠DAF＝＝，即＝，解之求得x＝，结合BC＝BF＝5可得答案．
【解答】解：（1）CD＝CE，
由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，
∴∠CEB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
故答案为：CD＝CE；
（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，
∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，
在△BCD和△BFD中，
∵，
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴CD＝DF，
设CD＝DF＝x，
在Rt△ACB中，AB＝＝13，
∴sin∠DAF＝＝，即＝，
解得x＝，
∵BC＝BF＝5，
∴tan∠DBF＝＝×＝．
24．（11分）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB＝BE；
（2）若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．
【分析】（1）根据切线的性质得出∠EAM＝90°，等腰三角形的性质∠MAB＝∠AMB，根据等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，即可证得AB＝BE；
（2）证得△ABC∽△EAM，求得∠C＝∠AME，AM＝，由∠D＝∠C，求得∠D＝∠AMD，即可证得AD＝AM＝．
【解答】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，
∴∠EAM＝90°，
∴∠BAE+∠MAB＝90°，∠AEB+∠AMB＝90°．
又∵AB＝BM，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE
（2）解：连接BC
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°
在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，
∴BC＝8，
∵BE＝AB＝BM，
∴EM＝12，
由（1）知，∠BAE＝∠AEB，
∴△ABC∽△EAM
∴∠C＝∠AME，＝，
即＝，
∴AM＝
又∵∠D＝∠C，
∴∠D＝∠AMD
∴AD＝AM＝．
25．（13分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
【分析】（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②即可求解；
（2）△ADR的面积是▱OABC的面积的，则×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×，即可求解；
（3）分点Q在MD之间、点Q、点D重合两种情况，求解即可．
【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，
联立①②并解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；
（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线的顶点M（1，3）
令y＝0，可得x＝﹣2或4，
∴点D（4，0）；
∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，
∴×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×，解得：yR＝±④，
联立④③并解得或，
故点R的坐标为（1+，﹣）或（1，﹣）或（1，）或（1﹣，）；
（3）（Ⅰ）当点Q在MD之间时，
作△PEQ的外接圆R，
∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PER为等腰直角三角形，
当在直线MD上存在唯一的点Q时，圆R与直线MD相切，
∵点M、D的坐标分别为（1，3）、（4，0），
则ME＝3，ED＝4﹣1＝3，则MD＝3，
过点R作RH⊥ME于点H，
设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），
S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×EM•ED＝×MD•RQ×ED•yR+×ME•RH，
∴×3×3＝×3×m+×3×m×3×m，解得：m＝，
故点P（1，）；
（Ⅱ）当点Q与点D重合时，
由点M、E、D的坐标知，ME＝ED，即∠MDE＝45°；
①当点P在x轴上方时，当点P与点M重合时，此时∠PQE＝45°，此时点P（1，3），
②当点P在x轴下方时，同理可得：点P（1，﹣3），
综上，点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，﹣3）．
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
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