2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷

这是一份2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光下窗户的影子
B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子
D．路灯下行人的影子
3．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x﹣1）2+4C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+2
4．（3分）如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是（ ）
A．1B．C．D．2
5．（3分）反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，﹣2），则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ）
A．y＞1B．0＜y＜1C．y＞2D．0＜y＜2
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
7．（3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）
A．80πcm2B．40πcm2C．24πcm2D．2πcm2
8．（3分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米B．6米C．8米D．（3+）米
9．（3分）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．π
10．（3分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2）B．（，0）
C．（0，2）或（，0）D．以上都不正确
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sinA＝ ．
12．（3分）已知扇形的弧长为10πcm，面积为30πcm2，则扇形的圆心角为 ．
13．（3分）一元二次方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是 ．
14．（3分）已知抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴交于A、B两点，若A的坐标是（﹣1，0），则B的坐标是 ．
15．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，则的长为 ．
16．（3分）如图，点A、B、C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°，则图中阴影部分的面积等于 ．（结果中保留π）．
17．（3分）如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4．若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为 ．
18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②b2＝4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论是 ．（写出正确命题的序号）
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字﹣2，﹣1，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为b．
（1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果；
（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数y＝x2的图象上的概率；
（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数a，b满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率．
20．（12分）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2．﹣2）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系；
（2）E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标．
四、解答题（每题12分，共24分）
21．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．
（1）求cs∠ADE的值；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
五、解答题（12分）
23．（12分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）
六、解答题（12分）
24．（12分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
七、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA＝12cm，点B在y轴的正半轴上，OB＝12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度数．
（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
（3）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
八、解答题（本题14分）
26．（14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求b，c的值；
（2）直线l与x轴相交于点P．
①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；
②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求点P的坐标．
2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷（六）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先利用勾股定理计算出AB，再根据正弦定义进行计算．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴sinB＝＝，
故选：C．
2．（3分）下列投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光下窗户的影子
B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子
D．路灯下行人的影子
【分析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案即可．
【解答】解：A、太阳光下窗户的影子，是平行投影，故本选项正确；
B、台灯下书本的影子是中心投影，故本选项错误；
C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影，故本选项错误；
D、路灯下行人的影子是中心投影，故本选项错误；
故选：A．
3．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x﹣1）2+4C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2．
故选：D．
4．（3分）如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】先根据圆周角定理证得△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形的性质求出AC的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°；
Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4；
∴AC＝AB＝2．
故选：D．
5．（3分）反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，﹣2），则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ）
A．y＞1B．0＜y＜1C．y＞2D．0＜y＜2
【分析】把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数y＝可得k＝2，而当x＝1，y＝2，根据反比例图象分布在第一、第三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，得到当x＞1时，函数值的范围为0＜y＜2．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，﹣2），
∴﹣2＝，
∴k＝2，
∴y＝，
当x＝1，y＝2，
当x＞1时，函数值的范围为0＜y＜2．
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【分析】先根据ACB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，BC＝2
∴的长为＝，
故选：C．
7．（3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）
A．80πcm2B．40πcm2C．24πcm2D．2πcm2
【分析】首先证明△OCD是等边三角形，求出OC＝OD＝CD＝4cm，再根据S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD，求解即可．
【解答】解：如图，连接CD．
∵OC＝OD，∠O＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝4cm，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝40π（cm2），
故选：B．
8．（3分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米B．6米C．8米D．（3+）米
【分析】设CD＝x，则AD＝2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：设CD＝x，则AD＝2x，
由勾股定理可得，AC＝＝x，
∵AC＝3米，
∴x＝3，
∴x＝3米，
∴CD＝3米，
∴AD＝2×3＝6米，
在Rt△ABD中，BD＝＝8米，
∴BC＝8﹣3＝5米．
故选：A．
9．（3分）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．π
【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′
﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝﹣，
故选：B．
10．（3分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2）B．（，0）
C．（0，2）或（，0）D．以上都不正确
【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使△PMN的周长最小，MN的长度一定，所以只需（PM+PN）取最小值即可．
然后，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（如图2）．
【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的一点，
∴，
解得．
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5，
∴M（﹣3，5）．
∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）．
设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则，
解得，
故该直线的解析式为y＝x+2．
当x＝0时，y＝2，即P（0，2）．
同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（﹣，0）．
如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长＝；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长＝；
所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．
故选：A．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sinA＝ ．
【分析】直接画出图形进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，
∴sinA＝＝．
故答案为：．
12．（3分）已知扇形的弧长为10πcm，面积为30πcm2，则扇形的圆心角为 300° ．
【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式解答．
【解答】解：设扇形弧长为l，面积为S，圆心角为n，半径为r．
∵lr＝30π，
∴×10π×r＝30π，
∴r＝6，
∵，
∴＝30π，
∴n＝300°，
故答案为300°．
13．（3分）一元二次方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是 无实数根 ．
【分析】求出b2﹣4ac的值即可判断．
【解答】解：∵2x2﹣x+1＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×1＜0，
∴方程2x2+x+1＝0无实数根．
故答案为：无实数根．
14．（3分）已知抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴交于A、B两点，若A的坐标是（﹣1，0），则B的坐标是 （5，0） ．
【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，然后根据点A和点B关于对称轴对称，即可求出点B的坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴抛物线的对称轴方程为x＝2，
∵点A（﹣1，0）和点B关于对称轴x＝2对称，
∴点B的坐标为（5，0），
故答案为（5，0）．
15．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，则的长为 ．
【分析】连接OC，根据等边三角形的判定得出△AOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOC＝60°，求出∠BOC的度数，再根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，∠OAC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝140°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝80°，
∵OC＝OA＝4，
∴的长是＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，点A、B、C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°，则图中阴影部分的面积等于 ．（结果中保留π）．
【分析】首先连接OB，OC，即可求得∠BOC＝90°，然后求得扇形OBC的面积与△OBC的面积，求其差即是图中阴影部分的面积．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵⊙O的直径为2，
∴OB＝OC＝，
∴S扇形OBC＝＝π，S△OBC＝××＝，
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝π﹣．
故答案为：π﹣．
17．（3分）如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4．若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为 ．
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：由题意知，底面圆的直径AC＝8，故底面周长等于8π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，8π＝，
解得n＝180，所以展开图中∠AOB＝90°，
根据勾股定理求得AB＝，
所以蚂蚁爬行的最短距离为．
18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②b2＝4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论是 ①④ ．（写出正确命题的序号）
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x＝﹣1，x＝2对应y值的正负判断即可．
【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，且﹣＝1，即2a+b＝0，
∴a与b异号，即b＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②错误；
∵原点O与对称轴的对应点为（2，0），
∴x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
把b＝﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，
故答案是：①④．
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字﹣2，﹣1，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为b．
（1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果；
（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数y＝x2的图象上的概率；
（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数a，b满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率．
【分析】（1）利用树状图展示所有16种等可能的结果；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到点（﹣2，4），（﹣1，1），（1，1）落在二次函数y＝x2的图象上，然后根据概率公式求解；
（3）根据一次函数图象与系数的关系可得到a＞0，b＞0，则点（1，1），（1，4），（4，1），（4，4）满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，它们为（﹣2，﹣2）、（﹣2，﹣1）、（﹣2，1）、（﹣2，4）、（﹣1，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（﹣1，1）、（﹣1，4）、（1，﹣2）、（1，﹣1）、（1，1）、（1，4）、（4，﹣2）、（4，﹣1）、（4，1）、（4，4）；
（2）落在二次函数y＝x2的图象上的点有（﹣2，4），（﹣1，1），（1，1），
所以落在二次函数y＝x2的图象上的概率＝；
（3）满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的点有（1，1），（1，4），（4，1），（4，4），
所以满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率＝＝．
20．（12分）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2．﹣2）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系；
（2）E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标．
【分析】（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可；
（2）连接PD，用待定系数法求出直线DE的关系式进而得出E点坐标．
【解答】解：（1）如图所示：
△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；
（2）连接PD，
∵直线DE与⊙P相切，
∴PD⊥PE，
利用网格过点D做直线的DF⊥PD，则F（﹣6，0），
设过点D，E的直线解析式为：y＝kx+b，
∵D（﹣2，﹣2），F（﹣6，0），
∴，
解得：，
∴直线DE解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴E（0，﹣3）．
四、解答题（每题12分，共24分）
21．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．
（1）求cs∠ADE的值；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠B，根据勾股定理得到AB＝13，由三角函数的定义即可得到结论；
（2）由（1）得，设AD为x，则，由于AC＝AD+CD＝12，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝13，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
设AD为x，则，
∵AC＝AD+CD＝12，
∴，
解得，
∴．
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
【分析】（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；
（2）连接OE，由AE＝OD＝3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；
（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．
【解答】解：（1）∵AB与圆O相切，
∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝＝，
∴OD＝3；
（2）连接OE，
∵AE＝OD＝3，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE为圆的半径，
∴AE为圆O的切线；
（3）∵OD∥AC，
∴＝，即＝，
∴AC＝7.5，
∴EC＝AC﹣AE＝7.5﹣3＝4.5，
∴S阴影＝S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG
＝×2×3+×3×4.5﹣
＝3+﹣
＝．
五、解答题（12分）
23．（12分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，则四边形DHCE是矩形，DH＝EC，DE＝HC，设建筑物BC的高度为xm，则BH＝（x﹣5）m，由三角函数得出DH＝（x﹣5），AC＝EC﹣EA＝（x﹣5）﹣30，得出x＝tan60°•[（x﹣5）﹣10]，解方程即可．
【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：
则四边形DHCE是矩形，DH＝EC，DE＝HC＝5，
设建筑物BC的高度为xm，则BH＝（x﹣5）m，
在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，
∴DH＝（x﹣5），AC＝EC﹣EA＝（x﹣5）﹣30，
在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，tan∠BAC＝，
∴＝
解得：x＝，
答：建筑物BC的高为m．
六、解答题（12分）
24．（12分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
【分析】（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；
（2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可．
【解答】解：（1）y＝，
（2）在0≤x≤10时，y＝100x，当x＝10时，y有最大值1000；
在10＜x≤时，y＝﹣3x2+130x，
当x＝21时，y取得最大值，
∵x为整数，根据抛物线的对称性得x＝22时，y有最大值1408．
∵1408＞1000，
∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．
七、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA＝12cm，点B在y轴的正半轴上，OB＝12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度数．
（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
（3）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在Rt△OAB中，已知OA、OB的长，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度数；
（2）连接O′M，当PM与⊙O′相切时，PM、PO同为⊙O′的切线，由“HL”可证得Rt△OO′P≌Rt△MO′P，则∠OO′P＝∠MO′P；在（1）中易得∠OBA＝60°，即△O′BM是等边三角形，由此可得到∠BO′M＝∠PO′M＝∠PO′O＝60°；在Rt△OPO′中，根据∠PO′O的度数及OO′的长即可求得OP的长，已知P点的运动速度，即可根据时间＝路程÷速度求得t的值．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB＝＝＝，
∴∠OAB＝30°；
（2）如图，连接O′P，O′M，
当PM与⊙O′相切时，
∴∠PMO′＝∠POO′＝90°，
∵OM＝OO'，OP＝OP，
∴Rt△PMO′≌Rt△POO′（HL），
由（1）知∠OBA＝60°，
∵O′M＝O′B，
∴△O′BM是等边三角形，
∴∠BO′M＝60°，
可得∠OO′P＝∠MO′P＝60°，
∴OP＝OO′•tan∠OO′P，
＝6×tan60°＝6，
又∵OP＝2t，
∴2t＝6，
∴t＝3，
即：t＝3时，PM与⊙O′相切；
（3）分三种情况：如图，
①当AP＝AQ1＝4t时，
∵OP+AP＝12，
∴2t+4t＝12．
∴t＝12﹣18；
②当PQ2＝AQ2＝4t时，
过Q2点作Q2E⊥x轴于点E．
∴PA＝2AE＝2AQ2•csA＝4t，
即2t+4t＝12，
∴t＝2；
③当PA＝PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H．
AH＝PA•cs30°＝（12﹣2t）•＝18﹣3t，
AQ3＝2AH＝36﹣6t，
得36﹣6t＝4t，
∴t＝3.6．
综上所述，当t＝2或t＝3.6或t＝12﹣18时，△APQ是等腰三角形．
八、解答题（本题14分）
26．（14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求b，c的值；
（2）直线l与x轴相交于点P．
①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；
②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；
（2）①由题意先求出D点坐标为（2，3），求出直线AC的解析式，设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），则EF＝﹣a2+3a，四边形CEDF的面积可表示为EF•CD，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；
②当△PCQ∽△CAP时，可得∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ＝∠OCA＝45°，则PQ∥AC，∠BCO＝∠PCA，过点P作PM⊥AC交AC于点M，可求出PM、PA、OP的长，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，解得；
故b＝2，c＝3；
（2）①如图1，∵点C关于直线x＝1的对称点为点D，
∴CD∥OA，
∴3＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴D（2，3），
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（﹣1，0），A（3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），
∴EF＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，
四边形CEDF的面积＝S△EFC+S△EFD＝EF•CD＝×（﹣a2+3a）×2＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，四边形CEDF的面积有最大值，最大值为；
②当△PCQ∽△CAP时，
∴∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ，
∴PQ∥AC，
∵C（0，3），A（3，0），
∴OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝∠PCB＝45°，
∴∠BCO＝∠PCA，
如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，
∴tan∠PCA＝tan∠BCO＝＝，
设PM＝b，则CM＝3b，AM＝b，
∵AC＝＝3，
∴b+3b＝3，解得b＝，
则PA＝×＝，
∴OP＝OA﹣PA＝3﹣＝，
∴点P的坐标为（，0）．