人教版新课标A选修4-51.绝对值三角不等式教案设计

课    题：　第10课时    不等式的证明方法之三：反证法

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步  分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步  作出与所证不等式相反的假定；

第三步  从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步  断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、典型例题：

例1、已知，求证：（且）

例1、设，求证

证明：假设，则有，从而

    因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不

等式成立。

例2、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.

证明：假设都小于，则

                                （1）

      另一方面，由绝对值不等式的性质，有

             （2）

    （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大于

四、练习：

1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且，则          

2、设0 < a, b, c < 2，求证：(2  a)c, (2  b)a, (2  c)b,不可能同时大于1

3、若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2。

提示：反设≥2，≥2   ∵x, y > 0，可得x + y ≤2  与x + y >2矛盾。

五、作业：