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高中数学人教版新课标A选修4-4第二章 参数方程综合与测试复习课件ppt
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这是一份高中数学人教版新课标A选修4-4第二章 参数方程综合与测试复习课件ppt，共59页。PPT课件主要包含了网络体系，参数方程等内容，欢迎下载使用。
【核心速填】1.参数方程的定义在给定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 ①并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,
那么方程组①就叫做这条曲线的_________,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数.
2.常见曲线的参数方程(1)直线.直线的标准参数方程即过定点M0(x0,y0),倾斜角为α(α≠ )的直线l的参数方程的标准形式为____________(t为参数)
(2)圆.①圆x2+y2=r2的参数方程为____________(θ为参数)②圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为____________(θ为参数)
(3)椭圆.中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆b2x2+a2y2=a2b2的参数方程为_________ (φ为参数)
(4)双曲线.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线b2x2-a2y2=a2b2的参数方程为___________ (φ为参数)
(5)抛物线.抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为__________ (α为参数)或__________ (t为参数)
【易错警示】(1)直线的标准参数方程为 (t为参数)①参数t的几何意义:即t为有向线段 的数量,并注意t的正负值.
②参数t的几何意义中有如下常用结论:(i)若M1,M2为直线上任意两点:M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1-t2|.(ii)若M0为M1M2的中点,则有t1+t2=0.(iii)弦M1M2的中点为M,则M0M=tM=
(2)直线的参数方程的一般式 (t为参数)只有当a2+b2=1且b>0时,具有上述几何意义(若b<0,方程 也具有上述几何意义);当a2+b2≠0,且b>0时,参数方程 同样具有上述几何意义.
(3)应用上述公式解题时,一定要区分直线的参数方程是否为标准形式,以免出现错误.
类型一 参数方程化为普通方程【典例1】把下列参数方程化成普通方程:(1) (θ为参数)(2) (t为参数,a,b>0)
【解析】(1)由所以5x2+4xy+17y2-81=0.
(2)由题意,得所以①2-②2得 所以 =1,其中x>0.
【方法技巧】参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致,由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围,注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定.
(2)消除参数的常用方法有:①代入消参法;②三角消参法;③根据参数方程的特征,采用特殊的消参手段.
【变式训练】1.抛物线 (t为参数)的准线方程是 ( )A.x=1 B.x=-1C.y=1D.y=-1【解析】选D.化参数方程为直角坐标方程,得x2=4y,其准线方程为y=-1.
2.判断方程 (θ是参数且θ∈(0,π))表示的曲线的形状.
【解析】两式平方相减得x2-y2=4,因为θ∈(0,π),所以x=sinθ+ ≥2,y=sinθ- = ≤0,所以方程表示的曲线是等轴双曲线 =1的右支在x轴及其下方的部分.
类型二 直线与圆的参数方程的应用【典例2】(2016·沈阳高二检测)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (α为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为
(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程.(2)动点A在曲线C上,动点B在直线l上,定点P(-1,1),求|PB|+|AB|的最小值.
【解题指南】(1)利用sin2α+cs2α=1消去参数,可得曲线C的普通方程,根据 即可得直线l在该直角坐标系下的普通方程.(2)作点P关于直线的对称点Q,利用|PB|+|AB|=|QB|+ |AB|≥|QC|-1,仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间时等号成立,可求得最小值.
【解析】(1)由曲线C的参数方程 可得(x-2)2+y2=1,由直线l的极坐标方程为 可得ρ(sinθ+csθ)=4,即x+y=4.
(2)方法一:设P关于直线l的对称点为Q(a,b),故 所以Q(3,5),由(1)知曲线C为圆,圆心C(2,0),半径r=1,|PB|+|AB|=|QB|+|AB|≥|QC|-1.
仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间时等号成立,故(|PB|+|AB|)min= -1.
方法二:如图,圆心C关于直线l的对称点为D(4,2),连接PD,交直线l于点B,|PB|+|AB|=|PB|+|BC|-1=|PB|+|BD| -1≥|PD|-1= -1.
【延伸探究】若本例的条件不变,圆心为C,如何在直线l上求一点B,使|PB|+|BC|取得最小值?求出最小值.
【解析】如典例中的解析图可知,圆心C关于直线的对称点为D(4,2),连接PD,交直线l于点B,|PB|+|BC|= |PB|+|BD|≥|PD|= 求得B的坐标为
【方法技巧】几何性质在求最大值或最小值中的应用(1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值求法,常常利用对称性以及两点之间线段最短解决.(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题,常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等.
【变式训练】1.(2016·成都高二检测)已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合.曲线C的参数方程为 (φ为参数),直线l的极坐标方程是ρ(csθ+2sinθ)=15.若点P,Q分别是曲线C和直线l上的动点,则P,Q两点之间距离的最小值是( )
【解析】选C.曲线C的参数方程为 (φ为参数)的普通方程为 =1,直线l:ρ(csθ+2sinθ)=15的直角坐标方程是x+2y-15=0.因为点P,Q分别是曲线C和直线l上的动点,设P(3csθ,2sinθ),P到直线的距离为d=
2.(2016·黄石高二检测)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,直线l的参数方程是 (t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求|MN|的最大值.
【解题指南】(1)利用公式 将极坐标方程化为直角坐标方程.(2)将直线的参数方程化为普通方程,利用几何性质计算最大值.
【解析】(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ,又x2+y2=ρ2,x=ρcsθ,y=ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得y=- (x -2),令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0).又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为(0,1),半径r=1,则|MC|= .所以|MN|≤|MC|+r= +1.所以|MN|的最大值为 +1.
类型三 直线与圆锥曲线的综合题【典例3】求椭圆 =1上的点到直线l:x+2y-10=0的最小距离及相应的点P的坐标.
【解析】设椭圆 =1上的点P(2csθ, sinθ), P到直线l:x+2y-10=0的距离为d= 当且仅当sin(θ+ ) =1
即θ= 时取等号,最小距离为 此时点P(2cs , sin )，即P 为所求.
【方法技巧】椭圆的参数方程以及应用长半轴为a,短半轴为b,中心在原点的椭圆 =1 (a>b>0)的参数方程为 (θ为参数)椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用,通常将上述问题转化为三角函数的性质加以解决.
【变式训练】1.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.
(2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|= ,求l的斜率.
【解析】(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,由 可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcsθ+11=0.
(2)由题意可得直线过原点且斜率存在,记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0,由垂径定理及点到直线距离公式知: 即 整理得k2= ,则k=± .
2.(2016·临汾高二检测)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为3ρcsθ+2ρsinθ=12.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,M为曲线C与y轴负半轴的交点,求四边形OMAB的面积.
【解析】(1)由 所以 =(cst)2+(sint)2=1.所以曲线C的普通方程为 在3ρcsθ+2ρsinθ=12中,由ρcsθ=x,ρsinθ=y得3x+2y-12=0.所以直线l的直角坐标方程为3x+2y-12=0.
(2)由(1)可得M(0,-2 ),联立方程易得A(4,0),B(2,3),所以四边形OMAB的面积为 ×4×(3+2 )=6+4 .
类型四 用参数法求轨迹方程【典例4】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
【解析】设M(x,y),设直线l1的方程为y-4=k(x-2),(k≠0)由l1⊥l2,则直线l2的方程为y-4=- (x-2),所以l1与x轴交点A的坐标为 l2与y轴交点B的坐标为
因为M为AB的中点,所以 (k为参数)消去参数k,得x+2y-5=0.另外,当k=0时,l1与x轴无交点;当k不存在时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程.综上所述,M的轨迹方程为x+2y-5=0.
【方法技巧】建立参数求动点轨迹方程的方法步骤(1)首先根据运动系统的运动规律设参数,然后运用这些参数列式,再从这些式子中消参,最后讨论轨迹的纯粹性和完备性.(2)参数法求轨迹方程的关键是设参数,参数不同,整个思维和运算过程不同,若设参数不当,则会增大运算量.
(3)用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横、纵坐标等.也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意参数的取值范围.
【变式训练】1.动圆x2+y2-2axcsθ-2bysinθ=0(a,b是正常数,a≠b,θ是参数)的圆心的轨迹是 ( )A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
【解析】选C.动圆x2+y2-2axcsθ-2bysinθ=0(a,b是正常数,a≠b,θ是参数)的圆心坐标的参数方程为 普通方程为 =1(a>0,b>0,a≠b),这是椭圆的普通方程.
2.过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,求弦AB的中点M的轨迹方程.
【解析】设M(x,y),直线OA的斜率为k(k≠0),则直线OB的斜率为- .直线OA的方程为y=kx,
【核心速填】1.参数方程的定义在给定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 ①并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,
那么方程组①就叫做这条曲线的_________,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数.
2.常见曲线的参数方程(1)直线.直线的标准参数方程即过定点M0(x0,y0),倾斜角为α(α≠ )的直线l的参数方程的标准形式为____________(t为参数)
(2)圆.①圆x2+y2=r2的参数方程为____________(θ为参数)②圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为____________(θ为参数)
(3)椭圆.中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆b2x2+a2y2=a2b2的参数方程为_________ (φ为参数)
(4)双曲线.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线b2x2-a2y2=a2b2的参数方程为___________ (φ为参数)
(5)抛物线.抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为__________ (α为参数)或__________ (t为参数)
【易错警示】(1)直线的标准参数方程为 (t为参数)①参数t的几何意义:即t为有向线段 的数量,并注意t的正负值.
②参数t的几何意义中有如下常用结论:(i)若M1,M2为直线上任意两点:M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1-t2|.(ii)若M0为M1M2的中点,则有t1+t2=0.(iii)弦M1M2的中点为M,则M0M=tM=
(2)直线的参数方程的一般式 (t为参数)只有当a2+b2=1且b>0时,具有上述几何意义(若b<0,方程 也具有上述几何意义);当a2+b2≠0,且b>0时,参数方程 同样具有上述几何意义.
(3)应用上述公式解题时,一定要区分直线的参数方程是否为标准形式,以免出现错误.
类型一 参数方程化为普通方程【典例1】把下列参数方程化成普通方程:(1) (θ为参数)(2) (t为参数,a,b>0)
【解析】(1)由所以5x2+4xy+17y2-81=0.
(2)由题意,得所以①2-②2得 所以 =1,其中x>0.
【方法技巧】参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致,由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围,注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定.
(2)消除参数的常用方法有:①代入消参法;②三角消参法;③根据参数方程的特征,采用特殊的消参手段.
【变式训练】1.抛物线 (t为参数)的准线方程是 ( )A.x=1 B.x=-1C.y=1D.y=-1【解析】选D.化参数方程为直角坐标方程,得x2=4y,其准线方程为y=-1.
2.判断方程 (θ是参数且θ∈(0,π))表示的曲线的形状.
【解析】两式平方相减得x2-y2=4,因为θ∈(0,π),所以x=sinθ+ ≥2,y=sinθ- = ≤0,所以方程表示的曲线是等轴双曲线 =1的右支在x轴及其下方的部分.
类型二 直线与圆的参数方程的应用【典例2】(2016·沈阳高二检测)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (α为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为
(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程.(2)动点A在曲线C上,动点B在直线l上,定点P(-1,1),求|PB|+|AB|的最小值.
【解题指南】(1)利用sin2α+cs2α=1消去参数,可得曲线C的普通方程,根据 即可得直线l在该直角坐标系下的普通方程.(2)作点P关于直线的对称点Q,利用|PB|+|AB|=|QB|+ |AB|≥|QC|-1,仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间时等号成立,可求得最小值.
【解析】(1)由曲线C的参数方程 可得(x-2)2+y2=1,由直线l的极坐标方程为 可得ρ(sinθ+csθ)=4,即x+y=4.
(2)方法一:设P关于直线l的对称点为Q(a,b),故 所以Q(3,5),由(1)知曲线C为圆,圆心C(2,0),半径r=1,|PB|+|AB|=|QB|+|AB|≥|QC|-1.
仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间时等号成立,故(|PB|+|AB|)min= -1.
方法二:如图,圆心C关于直线l的对称点为D(4,2),连接PD,交直线l于点B,|PB|+|AB|=|PB|+|BC|-1=|PB|+|BD| -1≥|PD|-1= -1.
【延伸探究】若本例的条件不变,圆心为C,如何在直线l上求一点B,使|PB|+|BC|取得最小值?求出最小值.
【解析】如典例中的解析图可知,圆心C关于直线的对称点为D(4,2),连接PD,交直线l于点B,|PB|+|BC|= |PB|+|BD|≥|PD|= 求得B的坐标为
【方法技巧】几何性质在求最大值或最小值中的应用(1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值求法,常常利用对称性以及两点之间线段最短解决.(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题,常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等.
【变式训练】1.(2016·成都高二检测)已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合.曲线C的参数方程为 (φ为参数),直线l的极坐标方程是ρ(csθ+2sinθ)=15.若点P,Q分别是曲线C和直线l上的动点,则P,Q两点之间距离的最小值是( )
【解析】选C.曲线C的参数方程为 (φ为参数)的普通方程为 =1,直线l:ρ(csθ+2sinθ)=15的直角坐标方程是x+2y-15=0.因为点P,Q分别是曲线C和直线l上的动点,设P(3csθ,2sinθ),P到直线的距离为d=
2.(2016·黄石高二检测)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,直线l的参数方程是 (t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求|MN|的最大值.
【解题指南】(1)利用公式 将极坐标方程化为直角坐标方程.(2)将直线的参数方程化为普通方程,利用几何性质计算最大值.
【解析】(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ,又x2+y2=ρ2,x=ρcsθ,y=ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得y=- (x -2),令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0).又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为(0,1),半径r=1,则|MC|= .所以|MN|≤|MC|+r= +1.所以|MN|的最大值为 +1.
类型三 直线与圆锥曲线的综合题【典例3】求椭圆 =1上的点到直线l:x+2y-10=0的最小距离及相应的点P的坐标.
【解析】设椭圆 =1上的点P(2csθ, sinθ), P到直线l:x+2y-10=0的距离为d= 当且仅当sin(θ+ ) =1
即θ= 时取等号,最小距离为 此时点P(2cs , sin )，即P 为所求.
【方法技巧】椭圆的参数方程以及应用长半轴为a,短半轴为b,中心在原点的椭圆 =1 (a>b>0)的参数方程为 (θ为参数)椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用,通常将上述问题转化为三角函数的性质加以解决.
【变式训练】1.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.
(2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|= ,求l的斜率.
【解析】(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,由 可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcsθ+11=0.
(2)由题意可得直线过原点且斜率存在,记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0,由垂径定理及点到直线距离公式知: 即 整理得k2= ,则k=± .
2.(2016·临汾高二检测)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为3ρcsθ+2ρsinθ=12.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,M为曲线C与y轴负半轴的交点,求四边形OMAB的面积.
【解析】(1)由 所以 =(cst)2+(sint)2=1.所以曲线C的普通方程为 在3ρcsθ+2ρsinθ=12中,由ρcsθ=x,ρsinθ=y得3x+2y-12=0.所以直线l的直角坐标方程为3x+2y-12=0.
(2)由(1)可得M(0,-2 ),联立方程易得A(4,0),B(2,3),所以四边形OMAB的面积为 ×4×(3+2 )=6+4 .
类型四 用参数法求轨迹方程【典例4】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
【解析】设M(x,y),设直线l1的方程为y-4=k(x-2),(k≠0)由l1⊥l2,则直线l2的方程为y-4=- (x-2),所以l1与x轴交点A的坐标为 l2与y轴交点B的坐标为
因为M为AB的中点,所以 (k为参数)消去参数k,得x+2y-5=0.另外,当k=0时,l1与x轴无交点;当k不存在时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程.综上所述,M的轨迹方程为x+2y-5=0.
【方法技巧】建立参数求动点轨迹方程的方法步骤(1)首先根据运动系统的运动规律设参数,然后运用这些参数列式,再从这些式子中消参,最后讨论轨迹的纯粹性和完备性.(2)参数法求轨迹方程的关键是设参数,参数不同,整个思维和运算过程不同,若设参数不当,则会增大运算量.
(3)用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横、纵坐标等.也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意参数的取值范围.
【变式训练】1.动圆x2+y2-2axcsθ-2bysinθ=0(a,b是正常数,a≠b,θ是参数)的圆心的轨迹是 ( )A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
【解析】选C.动圆x2+y2-2axcsθ-2bysinθ=0(a,b是正常数,a≠b,θ是参数)的圆心坐标的参数方程为 普通方程为 =1(a>0,b>0,a≠b),这是椭圆的普通方程.
2.过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,求弦AB的中点M的轨迹方程.
【解析】设M(x,y),直线OA的斜率为k(k≠0),则直线OB的斜率为- .直线OA的方程为y=kx,
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