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高中数学人教版新课标A选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式二 绝对值不等式1.绝对值三角不等式课堂教学ppt课件
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这是一份高中数学人教版新课标A选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式二 绝对值不等式1.绝对值三角不等式课堂教学ppt课件，共44页。PPT课件主要包含了a+b，ab≥0，由1的结论有，失误案例等内容，欢迎下载使用。
【自主预习】1.绝对值的几何意义
2.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b∈R,则|a+b|≤________,当且仅当______时,等号成立.(2)定理1的推广:如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
(3)定理2:如果a,b,c∈R,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当______________时,等号成立.
(a-b)(b-c)≥0
【即时小测】1.已知a,b∈R,则使不等式|a+b|<|a|+|b|一定成立的条件是 ( )A.a+b>0B.a+b<0C.ab>0D.ab<0【解析】选D.根据绝对值的意义,可知只有当ab<0时,不等式|a+b|<|a|+|b|成立.
2.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为 ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|≥|x-1-x|+|1-y+y+1|=3,当且仅当x∈[0,1],y∈[-1,1]时,等号成立.
3.不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值范围为_________.【解析】因为|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2,当且仅当-1≤x≤1时等号成立,所以,使不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立的实数a的取值范围为a≤2.答案:a≤2
【知识探究】 探究点 绝对值三角不等式1.用向量a,b分别替换a,b,当a与b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义是什么?提示:其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边.
2.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是什么?提示:右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|.
【归纳总结】1.对定理1的两点说明(1)由于定理1与三角形边之间的联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.(2)定理1可推广到n个实数情况即:|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.
2.定理2的几何解释在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.当点B不在点A,C之间时,(1)点B在A或C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.(2)点B不在A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.
类型一 利用绝对值三角不等式证明不等式【典例】设函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|<1.求证:|f(x)-f(a)|<2|a|+3.【解题探究】典例中对于|f(x)-f(a)|如何构造,使其满足绝对值不等式的形式?提示:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|.
【证明】因为函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|<1,所以|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|<|x+a-2|=|(x-a)+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|<1+|2a|+2=2|a|+3,所以|f(x)-f(a)|<2|a|+3.
【方法技巧】两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明.
另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.
【变式训练】1.设m是|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证: <2.【解题指南】利用m≥|a|,m≥|b|,m≥1求解.
【证明】因为|x|>m≥|b|且|x|>m≥1,所以|x2|>|b|.又因为|x|>m≥|a|,所以 故原不等式成立.
2.若f(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).【解题指南】将|f(x)-f(a)|分解成含|x-a|的形式,再利用|x-a|<1证明.
【证明】|f(x)-f(a)|=|x2-x+c-(a2-a+c)|=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1).
类型二 利用绝对值三角不等式求最值或取值范围【典例】求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.【解题探究】典例中求|x-3|-|x+1|的最值可利用哪个绝对值不等式?提示:根据||a|-|b||≤|a-b|求最值.
【解析】因为||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,所以-4≤|x-3|-|x+1|≤4.所以ymax=4,ymin=-4.
【延伸探究】1.典例中函数y取到最大值时,需满足什么条件?【解析】函数y取到最大值,需要满足 解得x≤-1.
2.若将典例条件改为|x-3|+|x+1|>a的解集不是R,求a的取值范围.【解析】只要a不小于|x-3|+|x+1|的最小值,则|x-3|+|x+1|>a的解集不是R,而|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|≥|3-x+x+1|=4,
当且仅当(3-x)(x+1)≥0,即-1≤x≤3时取最小值4,所以a的取值范围是[4,+∞).
【方法技巧】求f(x)=|x+a|+|x+b|和f(x)=|x+a|-|x+b|的最值的三种方法(1)转化法:转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.
(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解,但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.
【变式训练】已知x∈R,求函数f(x)=|x+1|-|x-2|的最大值.【解析】根据绝对值的三角不等式,有|x+1|-|x-2| ≤|(x+1)-(x-2)|=3.当且仅当x≥2时等号成立.故函数f(x)=|x+1|-|x-2|≤3,所以最大值为3.
类型三 绝对值三角不等式的综合应用【典例】(2014·全国卷Ⅱ)设函数f(x)= +|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2.(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
【解题探究】1.典例(1)中可利用什么来证明f(x)≥2?提示:利用绝对值不等式去掉x,再利用平均不等式证明.2.典例(2)中含绝对值的不等式如何转化为不含绝对值?提示:可通过对a讨论,去掉绝对值,解不等式.
【解析】(1)由a>0,有f(x)= 所以f(x)≥2.(2)f(3)= +|3-a|.当a>3时,f(3)=a+ ,由f(3)<5,得3
【变式训练】1.设f(x)=ax2+bx+c,当|x|≤1时,恒有|f(x)|≤1,求证:|f(2)|≤7.【证明】因为|x|≤1时,有|f(x)|≤1,所以|f(0)|=|c|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,又f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c
所以|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7.所以|f(2)|≤7.
2.已知函数f(x)=lg (1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并给出证明.(2)若t∈R,求证:
【解析】(1)f(x)在[-1,1]上是减函数.证明:令 取-1≤x10,即u1>u2.又在[-1,1]上u>0,故lgu1>lgu2,得f(x1)>f(x2),所以f(x)在[-1,1]上是减函数.
(2)因为 所以
自我纠错 绝对值不等式在证明中的应用【典例】求证:
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是用错了绝对值不等式,不能保证1+|a+b|≥1+|a|,1+|a+b|≥1+|b|成立.正确解答过程如下:
【解析】当|a+b|=0时,显然成立.当|a+b|≠0时,所以不等式成立.
【自主预习】1.绝对值的几何意义
2.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b∈R,则|a+b|≤________,当且仅当______时,等号成立.(2)定理1的推广:如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
(3)定理2:如果a,b,c∈R,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当______________时,等号成立.
(a-b)(b-c)≥0
【即时小测】1.已知a,b∈R,则使不等式|a+b|<|a|+|b|一定成立的条件是 ( )A.a+b>0B.a+b<0C.ab>0D.ab<0【解析】选D.根据绝对值的意义,可知只有当ab<0时,不等式|a+b|<|a|+|b|成立.
2.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为 ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|≥|x-1-x|+|1-y+y+1|=3,当且仅当x∈[0,1],y∈[-1,1]时,等号成立.
3.不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值范围为_________.【解析】因为|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2,当且仅当-1≤x≤1时等号成立,所以,使不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立的实数a的取值范围为a≤2.答案:a≤2
【知识探究】 探究点 绝对值三角不等式1.用向量a,b分别替换a,b,当a与b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义是什么?提示:其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边.
2.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是什么?提示:右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|.
【归纳总结】1.对定理1的两点说明(1)由于定理1与三角形边之间的联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.(2)定理1可推广到n个实数情况即:|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.
2.定理2的几何解释在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.当点B不在点A,C之间时,(1)点B在A或C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.(2)点B不在A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.
类型一 利用绝对值三角不等式证明不等式【典例】设函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|<1.求证:|f(x)-f(a)|<2|a|+3.【解题探究】典例中对于|f(x)-f(a)|如何构造,使其满足绝对值不等式的形式?提示:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|.
【证明】因为函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|<1,所以|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|<|x+a-2|=|(x-a)+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|<1+|2a|+2=2|a|+3,所以|f(x)-f(a)|<2|a|+3.
【方法技巧】两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明.
另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.
【变式训练】1.设m是|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证: <2.【解题指南】利用m≥|a|,m≥|b|,m≥1求解.
【证明】因为|x|>m≥|b|且|x|>m≥1,所以|x2|>|b|.又因为|x|>m≥|a|,所以 故原不等式成立.
2.若f(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).【解题指南】将|f(x)-f(a)|分解成含|x-a|的形式,再利用|x-a|<1证明.
【证明】|f(x)-f(a)|=|x2-x+c-(a2-a+c)|=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1).
类型二 利用绝对值三角不等式求最值或取值范围【典例】求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.【解题探究】典例中求|x-3|-|x+1|的最值可利用哪个绝对值不等式?提示:根据||a|-|b||≤|a-b|求最值.
【解析】因为||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,所以-4≤|x-3|-|x+1|≤4.所以ymax=4,ymin=-4.
【延伸探究】1.典例中函数y取到最大值时,需满足什么条件?【解析】函数y取到最大值,需要满足 解得x≤-1.
2.若将典例条件改为|x-3|+|x+1|>a的解集不是R,求a的取值范围.【解析】只要a不小于|x-3|+|x+1|的最小值,则|x-3|+|x+1|>a的解集不是R,而|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|≥|3-x+x+1|=4,
当且仅当(3-x)(x+1)≥0,即-1≤x≤3时取最小值4,所以a的取值范围是[4,+∞).
【方法技巧】求f(x)=|x+a|+|x+b|和f(x)=|x+a|-|x+b|的最值的三种方法(1)转化法:转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.
(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解,但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.
【变式训练】已知x∈R,求函数f(x)=|x+1|-|x-2|的最大值.【解析】根据绝对值的三角不等式,有|x+1|-|x-2| ≤|(x+1)-(x-2)|=3.当且仅当x≥2时等号成立.故函数f(x)=|x+1|-|x-2|≤3,所以最大值为3.
类型三 绝对值三角不等式的综合应用【典例】(2014·全国卷Ⅱ)设函数f(x)= +|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2.(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
【解题探究】1.典例(1)中可利用什么来证明f(x)≥2?提示:利用绝对值不等式去掉x,再利用平均不等式证明.2.典例(2)中含绝对值的不等式如何转化为不含绝对值?提示:可通过对a讨论,去掉绝对值,解不等式.
【解析】(1)由a>0,有f(x)= 所以f(x)≥2.(2)f(3)= +|3-a|.当a>3时,f(3)=a+ ,由f(3)<5,得3
【变式训练】1.设f(x)=ax2+bx+c,当|x|≤1时,恒有|f(x)|≤1,求证:|f(2)|≤7.【证明】因为|x|≤1时,有|f(x)|≤1,所以|f(0)|=|c|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,又f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c
所以|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7.所以|f(2)|≤7.
2.已知函数f(x)=lg (1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并给出证明.(2)若t∈R,求证:
【解析】(1)f(x)在[-1,1]上是减函数.证明:令 取-1≤x1
(2)因为 所以
自我纠错 绝对值不等式在证明中的应用【典例】求证:
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是用错了绝对值不等式,不能保证1+|a+b|≥1+|a|,1+|a+b|≥1+|b|成立.正确解答过程如下:
【解析】当|a+b|=0时,显然成立.当|a+b|≠0时,所以不等式成立.
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