人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系复习练习题

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(建议用时：45分钟)

[达标必做]

一、选择题

1．下列说法：

①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；

③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．

其中正确的个数是(　　)

A．0　 B．1

C．2 D．3

【解析】　根据二面角的定义知①②③都不正确．

【答案】　A

2．如图2­3­26，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(　　)

图2­3­26

A．平面ABCD

B．平面PBC

C．平面PAD

D．平面PBC

【解析】　由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.

【答案】　C

3．在四面体A­BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A­BD­C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为(　　)

A．45°   B．30°    C．60°   D．90°

【解析】　如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，

取BD的中点为F，连接AF，CF，

则由题意可得AF＝CF＝a.

在Rt△AFC中，易得AC＝a，

∴△ACD为正三角形．

又∵E是CD的中点，

∴AE⊥CD，即∠AED＝90°.

【答案】　D

4．如图2­3­27，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为(　　)

 【导学号：09960079】

图2­3­27

A．60° B．30°

C．45° D．15°

【解析】　由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，

∴C对．

【答案】　C

5．如图2­3­28，在三棱锥P­ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是(　　)

图2­3­28

A．平面EFG∥平面PBC

B．平面EFG⊥平面ABC

C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角

D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角

【解析】　A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；

B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，

∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，

∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；

C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；

D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．

【答案】　D

二、填空题

6．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝，则二面角A­BD­P的度数为________．

【解析】　过点A作AE⊥BD，连接PE，则∠AEP为所求角．

∵由AB＝3，AD＝4知BD＝5，

又AB·AD＝BD·AE，

∴AE＝.

∴tan ∠AEP＝＝.∴∠AEP＝30°.

【答案】　30°

7．在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．

你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”)

【解析】　如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A­C1D1­C为45°，二面角A­BC­C1为90°.

则这两个二面角既不相等又不互补．

【答案】　错误

三、解答题

8．如图2­3­29，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.

图2­3­29

【证明】　∵PA⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥PA.又tan ∠ABD＝＝，

tan ∠BAC＝＝，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.

又PA∩AC＝A，

∴BD⊥平面PAC.

又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.

9．(2016·临沂高一检测)如图2­3­30，在三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点.

 【导学号：09960080】

图2­3­30

(1)求证：DE∥平面PAC；

(2)求证：AB⊥PB；

(3)若PC＝BC，求二面角P­AB­C的大小．

【解】　(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，

所以DE∥PA.

又因为PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC，

所以DE∥平面PAC.

(2)证明：因为PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，

所以PC⊥AB.

又因为AB⊥BC，PC∩BC＝C，

所以AB⊥平面PBC，

又因为PB⊂平面PBC，

所以AB⊥PB.

(3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，

所以∠PBC即为二面角P­AB­C的平面角，

因为PC＝BC，∠PCB＝90°，

所以∠PBC＝45°，

所以二面角P­AB­C的大小为45°.

[自我挑战]

10．如图2­3­31所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD.则在三棱锥A­BCD中，下列命题正确的是(　　)

图2­3­31

A．AD⊥平面BCD

B．AB⊥平面BCD

C．平面BCD⊥平面ABC

D．平面ADC⊥平面ABC

【解析】　在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，

又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，

所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，

又AD⊥AB，AD∩CD＝D，

故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.

【答案】　D

11．如图2­3­32所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.

图2­3­32

(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(2)求二面角A­BE­P的大小．

 【导学号：09960081】

【解】　(1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°，知△BCD是等边三角形．

因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.

又AB∥CD，所以BE⊥AB.

又因为PA⊥平面ABCD，

BE⊂平面ABCD，

所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，

因此BE⊥平面PAB.

又BE⊂平面PBE，

所以平面PBE⊥平面PAB.

(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，

所以PB⊥BE.又AB⊥BE，

所以∠PBA是二面角A­BE­P的平面角．

在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，

则∠PBA＝60°.

故二面角A­BE­P的大小是60°.