高中人教版新课标A第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课后练习题

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(建议用时：45分钟)

[达标必做]

一、选择题

1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)

A．相交 B．异面

C．平行 D．不确定

【解析】　因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，

所以l⊥平面ABC.

同理可证m⊥平面ABC，

所以l∥m，故选C.

【答案】　C

2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

【解析】　A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．

【答案】　D

3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是(　　)

A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β

B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β

C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β

D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β

【解析】　选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.

【答案】　D

4．(2016·蚌埠高二检测)如图2­3­42，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是(　　)

图2­3­42

A．PD⊥BD B．PD⊥CD

C．PB⊥BC D．PA⊥BD

【解析】　若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，

又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；

因为PA⊥矩形ABCD，

所以PA⊥CD，AD⊥CD，

所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，

同理可证PB⊥BC.

因为PA⊥矩形ABCD，

所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.故选A.

【答案】　A

5．如图2­3­43所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　)

图2­3­43

A．一条线段 B．一条直线

C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点

【解析】　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.

又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.

∴∠ACB＝90°.

∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．

【答案】　D

二、填空题

6．如图2­3­44，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________.

图2­3­44

【解析】　在三棱锥P­ABC中，

因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.

因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB，

因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，

所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，

因为F是AC的中点，E是PC上的点，

所以E是PC的中点，所以＝1.

【答案】　1

7．在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．

 【导学号：09960085】

【解析】　连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.

【答案】　2

三、解答题

8．(2016·成都高一检测)如图2­3­45，三棱锥P­ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.

 【导学号：09960086】

图2­3­45

【证明】　∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，

∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC.

又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，

PA⊂平面PAB，

∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，

∴平面PAB⊥平面PBC.

9．如图2­3­46，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.

图2­3­46

(1)求证：AE∥平面BCD；

(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.

【证明】　(1)取BC的中点M，连接DM，

因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2.

所以DM＝1，DM⊥BC.

又因为平面BCD⊥平面ABC，

所以DM⊥平面ABC，

又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.

又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD.

(2)由(1)知AE∥DM，

又AE＝1，DM＝1，所以四边形DMAE是平行四边形，

所以DE∥AM.连接AM，易证AM⊥BC，

因为平面BCD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，

所以DE⊥平面BCD.

又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD.

因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.

因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.

[自我挑战]

10．设m，n，l是三条不同的直线，α是一个平面，l⊥m，则下列说法正确的是(　　)

A．若m⊄α，l⊥α，则m∥α

B．若l⊥n，则m⊥n

C．若l⊥n，则m∥n

D．若m∥n，n⊂α，则l⊥α

【解析】　

若l⊥m，l⊥n，则m与n可能平行，也可能相交或异面，即B，C都不正确；由l⊥m，m∥n，可得l⊥n，不一定有l⊥α，即D不正确；对于A，可在l上取一点P，过P作m′∥m，则m′⊥l，m′与l确定一个平面β，β∩α＝a，由l⊥α，得l⊥a，又m′，a，l同在平面β内，则由l⊥m′，l⊥a得m′∥a，于是m∥a，又m⊄α，所以m∥α.故选A.

【答案】　A

11．如图2­3­47，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．

(1)如果二面角A­DE­C是直二面角，求证：AB＝AC；

(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.

图2­3­47

【解】　

(1)过点A作AM⊥DE于点M，

∵二面角A­DE­C是直二面角，

则AM⊥平面BCDE，

∴AM⊥BC.又AD＝AE，

∴M是DE的中点，取BC中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC.

又AM⊥BC，AM∩MN＝M，

∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.

又∵N是BC中点，∴AB＝AC.

(2)取BC的中点N，连接AN，

∵AB＝AC，∴AN⊥BC.

取DE的中点M，连接MN，AM，

∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，

∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.

又M是DE的中点，AD＝AE，

∴AM⊥DE.

又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，

∴AM⊥平面BCDE.

∵AM⊂平面ADE，

∴平面ADE⊥平面BCDE.