高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系精练

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(建议用时：45分钟)

[达标必做]

一、选择题

1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　)

A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α

C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α

【解析】　由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．

【答案】　D

2．如图2­3­8，三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是(　　)

图2­3­8

A．∠BPA B．∠PBA

C．∠PBC D．以上都不对

【解析】　由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，

得PA⊥平面ABC，

所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.

【答案】　B

3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)

 【导学号：09960073】

A．有且只有一个 B．至多一个

C．有一个或无数个 D．不存在

【解析】　若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．

【答案】　B

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，

∴cos ∠DD1O＝＝＝.

∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为.

【答案】　D

5．(2015·成都高二检测)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是(　　)

A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1

【解析】　正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；

由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，

从而BD⊥AC1，即B正确；

由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，

因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；

由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.

【答案】　D

二、填空题

6．(2016·太原高一检测)如图2­3­9，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．

图2­3­9

【解析】　∵EA⊥α，CD⊂α，

根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.

同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.

又EA∩EB＝E，

∴CD⊥平面AEB.

又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.

【答案】　CD⊥AB

7．如图2­3­10所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．

图2­3­10

【解析】　⇒

⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，

∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.

【答案】　4

三、解答题

8．如图2­3­11，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.

图2­3­11

【证明】　∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE.

又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.

∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.

又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，

∴AE⊥平面BCE.

又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.

9．如图2­3­12所示，三棱锥A­SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．

 【导学号：09960074】

图2­3­12

【解】　因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，

所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.

如图所示，取BC的中点D，

连接AD，SD，则AD⊥BC.

设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝a.

在Rt△ADC中，AD＝＝a.

则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.

又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.

因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．

在Rt△ASD中，SD＝AD＝a，

所以∠ASD＝45°，

即直线AS与平面SBC所成的角为45°.

[自我挑战]

10．(2015·淮安高二检测)如图2­3­13，四棱锥S­ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．

图2­3­13

①AC⊥SB；

②AB∥平面SCD；

③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；

④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．

【解析】　因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.

因为ABCD是正方形，

所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，

所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．

因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，

所以AB∥平面SCD，故②正确．

因为AD是SA在平面ABCD内的射影，

所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．

因为AB∥CD，

所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，

故④正确．

【答案】　4

11．如图2­3­14，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.

 【导学号：09960075】

(1)求证：AN⊥平面PBM；

(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.

图2­3­14

【证明】　(1)∵AB为⊙O的直径，

∴AM⊥BM.

又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.

又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.

又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.

又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.

(2)由(1)知AN⊥平面PBM，

PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.

又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，

∴PB⊥平面ANQ.

又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.